3Eva_2021PAOII_T4 Arena y grava de canteras

3ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 8/Febrero/2022

Tema 4. (20 puntos) Un ingeniero civil que trabaja en la construcción requiere 4800, 5800 y 5700 m3 de arena, grava fina, y grava gruesa, respectivamente, para cierto proyecto constructivo.

Hay tres canteras de las que puede obtenerse dichos materiales.

La composición de dichas canteras es la que sigue:

Arena % Grava fina % Grava gruesa %
Cantera 1 25 45 30
Cantera 2 55 30 15
Cantera 3 25 20 55

¿Cuántos metros cúbicos deben extraerse de cada cantera a fin de satisfacer las necesidades del ingeniero?

a) Plantear el problema usando las ecuaciones y representación matricial para usar un método iterativo,

b) Presentar la matriz ampliada y realice el pivoteo parcial por filas,

c) Seleccionar un vector inicial acorde con el ejercicio (evite usar el vector cero)

d) Realice al menos 3 iteraciones con un método iterativo para la solución de sistemas de ecuaciones. Identifique claramente el método a usar y en cada iteración debe escribir las expresiones completas que permitan verificar el uso del método.

e) Determine y justifique si el método converge

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (3 puntos), literal c (3puntos), literal d (8 puntos), literal e (3 puntos)

Referencia: Chapra (2006) 5Ed. problema 12.13 p342.
Canteras de la vía a la costa tienen hasta el 31 de diciembre para mostrar su permiso ambiental. eluniverso.com. 7/junio/2019. https://www.eluniverso.com/guayaquil/2019/06/17/nota/7381902/canteras-tienen-hasta-31-diciembre-mostrar-su-permiso-ambiental/

tabla = [[25,45,30],
         [55,30,15],
         [25,20,55]]

3Eva_2021PAOII_T3 interpolar cadena desenrollando y cayendo

3ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 8/Febrero/2022

Tema 3. (20 puntos) Para simplificar la ecuación que describe la cantidad de cadena que se desenrolla en las condiciones del tema anterior, se han obtenido datos experimentales descritos en la tabla presentada.

ti 0.0 0.1 0.2 0.25 0.35 0.45 0.5 0.6
xi 3.0 3.0601 3.2426 3.3818 3.7632 4.2951 4.6239 5.4237
ti 0.7 0.8 0.85 0.95 1
xi 6.4405 7.7149 8.4642 10.2245 11.2531

Realice un polinomio de interpolación de grado 4 para el Intervalo entre x0= 3 y la longitud de la cadena L=8

a) Identifique los pares ordenados a usar en la interpolación

b) Seleccione un método de interpolación apropiado para las condiciones dadas, justifique.

c) Desarrolle el método de interpolación, usando expresiones completas que muestre el uso de los pares seleccionados en el literal a.

d) Calcule el error sobre el o los datos que no se usaron en el intervalo

e) Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos entre los dos polinomios.

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (2 puntos), literal c (10 puntos), literal d (2 puntos). literal e (3 puntos).

ti = [0, 0.1, 0.2, 0.25, 0.35, 0.45, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.85, 0.95, 1]
xi = [3, 3.06, 3.2426, 3.3818, 3.7632, 4.2951, 4.6239, 5.4237, 6.4405, 7.7149, 8.4642,10.2245,11.25]

3Eva_2021PAOII_T2 EDO cadena desenrollando y cayendo

3ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 8/Febrero/2022

Tema 2. (30 puntos) Cadena cayendo. Una parte de una cadena de L= 8pies de longitud está enrollada sin apretar alrededor de una clavija en el borde de una plataforma horizontal y la parte restante de la cadena cuelga descansando sobre el borde de la plataforma. Por simplicidad, use g=32 pies/s2.

Suponga que la longitud de la cadena que cuelga es de X0=3 pies, que la cadena pesa 2 lb/pie y que la dirección positiva es hacia abajo.

Comenzando en t=0 segundos, el peso de la cadena que cuelga causa que la cadena sobre la plataforma se desenrolle suavemente y caiga al piso.

Si x(t) denota la longitud de la cadena que cuelga de la mesa al tiempo t=0, entonces v=dx/dt es su velocidad.  V0=0

Cuando se desprecian todas las fuerzas de resistencia se puede demostrar que un modelo matemático que relaciona a v con x está dado por la ecuación mostrada.

\frac{\delta^2 x}{\delta t^2 } - \frac{g}{L} x=0

0≤x≤L

a) Resuelva v(x) usando Runge-Kutta, considere h=0.05

b) Aproxime el tiempo que tarda el resto de la cadena en deslizarse de la plataforma.

c) Estime la velocidad a la cual el extremo de la cadena sale del borde de la plataforma.

Rúbrica: Planteamiento del problema(5 puntos), plantear el método (5 puntos), literal b, iteraciones (10 puntos), valor del tiempo (5 puntos). literal c (5 puntos).

Referencias: Cadena cayendo: Zill Dennis, Ecuaciones Diferenciales 9Ed, Ejercicios 45 p.69 Cadena cayendo. Zayas Martín, Una Física Simplificada (min[30-34]) https://youtu.be/dPn_ggi6zx0?t=1802 ,
Tripulación de barco pierde control de un ancla y provoca accidente.

 

3Eva_2021PAOII_T1 Area con derrame de petroleo usando Simpson

3ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 8/Febrero/2022

Tema 1. (30 puntos) Se reportó un derrame de petróleo del pasado 15 de enero del 2022 en una refinería en el vecino país del sur,
que contaminó al menos 24 playas de la costa central, según indicó el organismo de la Dirección General de Salud Ambiental e Inocuidad Alimentaria.

Usando fotografías aéreas, la guardia costera obtuvo las dimensiones del derrame descrita en la figura y en la tabla mostrada:

x 0 100 200 300 400 470 600 700 800 900 1000
f(x) 0 230 310 300 300 320 400 380 320 230 0
g(x) 0 -200 -200 -330 -320 -350 -400 -400 -360 -260 0

a) Estime el área afectada por el derrame de petróleo, usando principalmente los métodos Simpson
b) Justifique el uso de las formulas compuestas usadas
c) Calcule el error del integral, para toda el área

Rúbrica: literal b (5 puntos), literal a, con expresiones detalladas para cada eje (20 puntos), literal c (5 puntos)

Referencia: Tan S.T (1994). Numerical Integration 7.3 Ejercicio 5.Calculus for the managerial, life, and Social sciences.
Eluniverso.com Derrames de petróleo, una lamentable afectación que es habitual a la región. 31 de enero, 2022. https://www.eluniverso.com/noticias/internacional/derrames-de-petroleo-una-lamentable-afectacion-que-es-habitual-a-la-region-nota/

x  = [0.0, 100, 200, 300, 400, 470, 600, 700, 800, 900, 1000]
fx = [0.0, 230, 310, 300, 300, 320, 400, 380, 320, 230, 0]
gx = [0.0,-200,-200,-330,-320,-350,-400,-400,-360,-260, 0]

 

2Eva_2021PAOII_T3 EDP – Línea de transmisión sin pérdidas

2da Evaluación 2021-2022 PAO II. 25/Enero/2022

Tema 3. (40 puntos) En una línea de transmisión eléctrica de longitud 200 m en forma de cable coaxial, que conduce una corriente alterna de alta frecuencia, para el ejercicio se considera la línea “sin pérdida” o sin resistencia equivalente.


El voltaje V en el cable se describe por medio de:

\frac{\partial ^2 V}{\partial x^2} =LC \frac{\partial ^2 V}{\partial t^2}
0 < x < 200
t>0

Donde:
L = 0.1 Faradios/m, es la inductancia por longitud unitaria y
C = 0.3 Henrios/m es la capacitancia por longitud unitaria

Suponga que el voltaje y la corriente también satisfacen:

V(0,t) = V(200,t) = 0
V(x,0) = 110 \sin \frac{\pi x}{200}
\frac{\partial V}{\partial t}(x,0) = 0

Aplique un método numérico para encontrar voltaje o corriente usando Δx = 10, Δt = 0.1 y muestre:

a. la grafica de malla
b. ecuaciones de diferencias divididas a usar
c. encuentre las ecuaciones considerando las condiciones dadas en el problema.
d. determine el valor de λ, agrupando las constantes durante el desarrollo, revise la convergencia del método.
e. Resuelva para tres pasos
f. Estime el error (solo plantear)
g. Aproxime la solución para t=0.2 y t=0.5

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (2 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), aplicación de condiciones iniciales (5 puntos), literal e (10 puntos), literal f (5 puntos). literal g, usando algoritmo (5 puntos)

Referencia: Burden 9Ed Ejercicios 12.3.8 p745

2Eva_2021PAOII_T2 EDO – Embudos cónicos para llenar botellas

2da Evaluación 2021-2022 PAO II. 25/Enero/2022

Tema 2. (30 puntos) Los embudos cónicos se usan en la industria de bebidas, por ejemplo para el llenado de botellas y tanques de almacenamiento.

Para la sección correspondiente al embudo cónico mostrado en la figura, se tiene como nivel inicial y(0) = 150 mm, diámetro de salida d = 10 mm, la gravedad es 9.8 m/s2, siendo Θ= π/4.

Usando los conceptos de flujo volumétrico q = A Vsalida, siendo A el área transversal del embudo, ∆V=q ∆t , la perdida de volumen ∆V=-(πr2)Δy , que tanΘ = y/r , con la fórmula de Bernoulli  V_{salida} = \sqrt{2gy} .

Al sustituir en las ecuaciones se tiene:

- \pi y(t)^2 \Delta y = \frac{\pi d^2}{4} \sqrt{2g\text{ }y(t)} \Delta t

Reordenando se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria.

\frac{\delta y(t)}{\delta t} + \frac{d^2}{4}\sqrt{2 g \text{ }y(t)}\Bigg[\frac{tan \theta}{y(t)} \Bigg]^2 = 0

a) Plantee el la solución para y(t), usando el método de Runge-Kutta de 2do orden

b) Desarrolle al menos 3 iteraciones del método con sus expresiones completas. Considere h = 0.5

c) usando el algoritmo, encuentre el tiempo en que se vacía el embudo.

Nota: Considere revisar las unidades de medida de cada parámetro

Rúbrica: Planteamiento del problema (5 puntos), literal b planteamient con el método de 2do orden (10 puntos), literal b, iteraciones (10 puntos). literal c (5 puntos).

Referencias: Zill Dennis, Ecuaciones Diferenciales 9Ed, Ejercicios 1.3.14 p.29. Embudo. Materiales de laboratorio. https://materialeslaboratorio.com/embudo/

2Eva_2021PAOII_T1 Promedio de precipitación de lluvia en área

2da Evaluación 2021-2022 PAO II. 25/Enero/2022

Tema 1 (30 puntos) Un mapa asociado al clima muestra los resultados de precipitación que dejó a su paso el Huracán Karl en el año 2010.

Se registró entre 4 a 8 pulgadas de lluvia. El área en observación tiene una extensión de 300 millas de este a oeste y 250 millas de norte a sur.

f(xi,yj)
i \ j 1 2 3 4 5 6
1 0.02 0.36 0.82 0.65 1.7 1.52
2 3.15 3.57 6.25 5 3.88 1.8
3 0.98 0.98 2.4 1.83 0.04 0.01
4 0.4 0.04 0.03 0.03 0.01 0.08

Para las mediciones, se divide el área del mapa en 6 tramos para el eje x, 4 tramos para el eje y, con lo que se encuentran los valores presentados en la tabla.

a) Determine los valores para Δx, Δy.

b) Estime al promedio de precipitación lluviosa en toda el área para los datos registrados para dos días, usando la forma compuesta de Simpson.

f_{promedio} = \frac{1}{A_R} \int \int_R f(x,y) \delta x \delta y

c) Calcule el error del integral

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b, con expresiones detalladas para cada eje (20 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: Stewart. Calculus Example 15.1.10: Calculating Average Storm Rainfall.


A = [[0.02, 0.36, 0.82, 0.65, 1.7 , 1.52],
     [3.15, 3.57, 6.25, 5.  , 3.88, 1.8 ],
     [0.98, 0.98, 2.4 , 1.83, 0.04, 0.01],
     [0.4 , 0.04, 0.03, 0.03, 0.01, 0.08]]
base = 300
altura = 250

1Eva_2021PAOII_T3 Nutrientes en asociación de cultivos

1ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 24/Noviembre/2021

Tema 3. (40 puntos) La asociación de cultivos es la siembra de dos o más especies vegetales muy próximas entre sí, de tal manera que una o ambas pueden obtener tales como la mejora de la productividad, control de plagas, la prevención de enfermedades o adquirir un mejor sabor.

Los beneficios se obtienen a través de la absorción de nutrientes o de cambios en el medio ambiente.

Una forma de medir la absorción de un nutriente de cada especie por ciclo de cultivo es cambiar la cantidad de especies vegetales en distintas parcelas. La diferencia de un nutriente entre el fin e inicio del cultivo se encuentra mostrada en la siguiente tabla.

plátano café cacao Absorción de nutriente
40 110 310 750
400 15 25 445
200 560 310 10

a. Realice el planteamiento del sistema de ecuaciones, presente en la forma Ax=B.

b. De ser necesario, realice operaciones con la matriz aumentada para mejorar la convergencia con un método iterativo.

c. En el contexto del problema, proponga un vector inicial y tolerancia.

d. Realice 3 iteraciones con el método de Gauss-Seidel y estime el error (papel y lápiz)

e. Describa y justifique su observación sobre la convergencia del método y estime una descripción de los resultados.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), iteraciones (15 puntos) cálculo de error(5 puntos), literal d(5 puntos)

Referencia: Asociación de cultivos https://huertocity.com/index.php/asociacion-de-cultivos/
Tabla Asociación de cultivos: 12 ejemplos, importancia. https://ingenieriaambiental.net/asociacion-de-cultivos/

 

1Eva_2021PAOII_T2 Intersección de funciones – Obstrucción Radioenlace

1ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 24/Noviembre/2021

Tema 2. (30 puntos) En un enlace radioeléctrico, se denomina “Zona de Fresnel” al espacio entre un emisor y receptor debe estar libre para minimizar atenuaciones a la onda de propagación.

Una obstrucción es una parte del perfil del terreno que se encuentra dentro de la Zona de Fresnel. El perfil del terreno es la expresión del polinomio del tema anterior P3(d1) en el intervalo [0,1300].

Cuando las antenas del transmisor y receptor se encuentran a la misma altura, la parte inferior del lóbulo, f(d1), se determina a partir de las siguientes fórmulas:

Considere los valores de las constantes hantena= 100 m, n =1, λ=0.3278, denlace=3700 m

Para analizar la obstrucción, se debe determinar los puntos de intersección entre P3(d1) y f(d1)

a. Establezca un intervalo de análisis para cada raíz.

b. Realice al menos 3 iteraciones con el método de la Bisección para encontrar la primera raíz (izquierda)

c. Desarrolle al menos 3 iteraciones con el método del Punto fijo para encontrar el segundo punto (derecha)

d. Realice al menos 3 iteraciones con el método de Newton-Raphson para determinar la altura del perfil que genera el mayor obstáculo dentro del intervalo (altura máxima).

Rúbrica: literal a (4 puntos), literal b (10 puntos), literal c (10 puntos), literal d (6 puntos)

Referencia: Zona de Fresnel, https://youtu.be/v371pPLdf_c

1Eva_2021PAOII_T1 Interpolación para perfil de terreno

1ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 24/Noviembre/2021

Tema 1. (30 puntos) Para el diseño de los enlaces radioeléctricos “punto a punto” se analiza “Zona de Fresnel” que para una buena propagación de señal debe estar libre de obstrucciones.

La altura o perfil del terreno muestra la sección que produce atenuación en la señal del enlace.

La tabla muestra el perfil para un enlace donde se requiere analizar el intervalo entre 0 y 1300 metros desde la antena ubicada en el extremo izquierdo.

distancia d1 0 350 700 1000 1300 1600 2000 3000 3300 3500 3700
Perfil de Terreno 85 95 90 80 75 70 20 25 42 21 71

a. Plantee y desarrolle un polinomio P3(d1) de grado 3, que describa el perfil del terreno en el intervalo [0,1300] de distancias a la primera antena d1.
b. Calcule el error sobre el o los datos que no se usaron en el intervalo
c. Desarrolle y justifique una propuesta para disminuir los errores encontrados en el literal anterior, sobre el mismo intervalo, es decir obtiene un nuevo polinomio (use algoritmo).
d. Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos entre los dos polinomios.

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (4 puntos), literal c (10 puntos), literal d (6 puntos)

Referencia: Zona de Fresnel. https://es.wikipedia.org/wiki/Zona_de_Fresnel