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1Eva_2024PAOI_T3 Tasas de natalidad de reemplazo en Ecuador

1ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 2/Julio/2024

Tema 3 (30 puntos) El  acelerado crecimiento de la población de mayor edad tendrá un fuerte impacto en los gastos futuros del Instituto de Seguridad Social (IESS), una entidad a la que actualmente (2024) no le alcanzan sus ingresos para pagar las pensiones a sus jubilados y otros rubros. [1] trabajadores vs Pensionistas

Un motivo a considerar, podría ser la caída de la natalidad es un fenómeno generalizado en los países desarrollados que tienen tasa de hijos por mujer en edad fértil por debajo de la tasa de reemplazo poblacional de 2.1

Ejemplos de estos casos son Corea del Sur, Japón y China [2,3], países donde la cantidad de personas que trabajan y aportan al seguro social tiende a ser cada vez menor respecto a los pensionistas (jubilados).

Para el caso de Ecuador a fin de realizar un análisis preliminar, se requiere disponer de un modelo matemático que permita estimar cuando ser alcanzaría esta tasa de natalidad.

Promedio Hijos por mujer en Ecuador. INEC 29 Agosto 2019 [4]
tasa 7.32 6.39 5.58 4.89 4.31 3.85 3.50 3.26 3.03 2.79 2.54 2.35
año 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Realice un modelo de interpolación polinómica usando los datos de los años 1965, 1980, 1995 y 2010.

a. Describa el planteamiento del ejercicio, justificando el grado del polinomio seleccionado

b. Realice el del sistema de ecuaciones en su forma matricial y muestre la matriz aumentada

c. Resuelva el sistema usando los algoritmos correspondientes.

d. Presente el polinomio obtenido y grafique verificando que P(x) pase por los puntos de muestra.

e. Use el resultado P(x) para estimar la tasa de hijos por mujer para el año 2020 y calcule el error.

f. Estime el año en que se alcanza la tasa mínima de reemplazo de 2.1

Adjunte los archivos de resultados, algoritmos y gráficas realizados para el ejercicio

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos) ), literal f (5 puntos).

Referencia:  [1] IESS: Envejecimiento de la población disparará gastos; Peña plantea subir aportes. Primicias.ec: 3 Marzo 2024. https://www.primicias.ec/noticias/economia/envejecimiento-poblacion-iess-aportes/
[2] «Emergencia nacional» en Corea del Sur: por qué las mujeres surcoreanas no están teniendo hijos. BBC News Mundo. 30 marzo 2024.

[3] Por qué China amplió a 3 el número de hijos que pueden tener las parejas. BBC News Mundo. 4 junio 2021.
https://www.youtube.com/watch?v=8kErwjPKwjY .
[4] 5 datos sobre población del Ecuador. INEC Ecuador. 29 Agosto 2019. Min 0:45 https://www.youtube.com/watch?v=wjTZNfykmZU [5] ¿Por qué los PAÍSES RICOS se enfrentan al COLAPSO DEMOGRÁFICO? VisualEconomik. 11 Octubre 2022.

import numpy as np
tasa = [7.32, 6.39, 5.58, 4.89, 4.31, 3.85, 3.50, 3.26, 3.03, 2.79, 2.54, 2.35]
anio = [1965, 1970, 1975, 1980, 1985, 1990, 1995, 2000, 2005, 2010, 2015, 2020]
k    = [   0,     1,   2,    3,    4,   5,     6,    7,    8,    9,   10,   11]
cual = [0,3,6,9]
tasamin = 2.1
fi = np.take(tasa,cual) # datos seleccionados
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1Eva_2024PAOI_T2 Temperatura en nodos de placa cuadrada

1ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 2/Julio/2024

Tema 2 (40 puntos) La distribución de temperatura en estado estable en una placa cuadrada caliente está modelada por la ecuación de Laplace [1], cuya solución en su forma iterativa cuando el factor
(Δy)2/(Δx) = 1 se interpreta como:

“La temperatura en los nodos de la malla de una placa se puede calcular con el promedio de las temperaturas de los 4 nodos vecinos de la izquierda, derecha, arriba y abajo” [2].

Considere placa cuadrada de 4.5 cm de lado tiene la temperatura en los nodos de los bordes como se indica en la figura. Placa Cuadrada Calentada Nodos01

a) Plantee el sistema de ecuaciones para encontrar los valores en los nodos a, b, c, d. Use la solución descrita para la ecuación de Laplace.

b) Presente la matriz aumentada y Muestre los pasos detallados para el pivoteo parcial por filas.

c) Desarrolle las expresiones para resolver mediante el método de Gauss-Seidel. Considere para el vector inicial Xo, valores intermedios entre las temperaturas de los bordes de la placa.

d) Realice al menos 3 iteraciones, indicando el error por iteración.

e) Analice la convergencia del método, número de condición y resultados obtenidos.

Adjunte los archivos del algoritmo y resultados de computadora utilizados.

Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (15 puntos). literal e (5 puntos) Adjuntos (5 puntos)

Referencia: [1] Ejercicio 12.39 p339 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.
[2] Ecuaciones Elípticas. Método iterativo. http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/edp-elipticas-metodo-iterativo/

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1Eva_2024PAOI_T1 Vaciado de reservorio semiesférico

1ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 2/Julio/2024

Tema 1. (30 puntos) Un reservorio semiesférico de radio R = 3 m, está lleno agua hasta la altura h como se muestra en la figura. En la base tiene un tubo de salida con abertura de área a = 0.01 m2. El coeficiente de fricción hidráulico K = 0.85   g = 9.8 m/s2.
tanque semiesfera
Se requiere que el reservorio se vacíe en menos de tf = 15 min.
La ecuación diferencial para el vaciado de tanques es:

A(h)\frac{dh}{dt} = -Ka\sqrt{2gh}

Considerando la relación de la altura del líquido h con
respecto al radio R de la semiesfera: r^2 + \Big( R-h\Big)^2 = R^2
Y el Área del círculo en función de h: A(h) = \pi \Big(2Rh -h^2 \Big)

se encuentra la solución general en la expresión:

\frac{4}{3}R \Big(h_f^{3/2} - h_0^{3/2} \Big) - \frac{2}{5}\Big(h_f^{5/2} - h_0^{5/2} \Big) = \frac{Ka}{\pi}\sqrt{2g}\Big(t_0-t_f \Big)

Dado que se vacía el reservorio, hf = 0 y que el experimento inicia en t0=0, h0 =h y tf=t, la expresión se simplifica:

-\frac{4}{3}R h^{3/2} + \frac{2}{5} h^{5/2} = -\frac{Ka}{\pi} t \sqrt{2g}

a. Plantear el ejercicio para encontrar h para un t dado, muestre el intervalo de búsqueda y una gráfica.

b. Desarrolle usando el método de Newton-Raphson para tres iteraciones y tolerancia milimétrica.

c. Verifique el orden de convergencia y observe sus resultados usando el algoritmo.

Nota: la gravedad g tiene unidades de segundos, el tiempo de vaciado está en minutos.

Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), iteraciones y error (15 puntos), análisis de la convergencia (5 puntos). observación de resultados, algoritmo y gráficas adjuntos (5 puntos).

Referencia:
[1] Ejercicio 25.21 p765 y 5.17. p143 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.
[2] Vaciado de un tanque semiesférico. Tiempo total de vaciado. Demostración y aplicación. Sebastian Rodriguez

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3Eva_2023PAOII_T3 Volumen por solido de revolución de un peón

3ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 15/Febrero/2024

Tema 3 (40 puntos) Los sólidos de revolución se generan al girar una región plana alrededor de un eje.un peon 3D

El volumen generado al girar la región de una función f(x) en el intervalo [a,b], se puede calcular como el volumen del disco de radio f(x) y anchura dx.

V = \int_{a}^{b} \pi (f(x))^2 dx

Calcule el volumen de revolución generado por la región sombreada y limitada los puntos de la tabla del tema anterior y la gráfica 2D mostrada. volumen de un Peon 2D de revolucion

Realice el ejercicio usando para los integrales el método de integración por Cuadratura de Gauss para al menos lo tres primeros intervalos.

xi=[ 0, 3, 5.  , 9.985 , 14.97 , 17.97, 40.04, 43.29, 51.6449, 60]
yi=[15,15,13.25,14.1552, 9.6768,  9.67,  4.64,  4.64,  8.9768, 0.]

Para el desarrollo de cada intervalo:
a. Realice el planteamiento de las formulas de volumen de sólido de revolución.
b. Desarrolle las expresiones completas con valores numéricos que permitan revisar sus operaciones.
c. Indique el resultado obtenido para cada integral.
d. Determine el volumen de revolución generado por la región sombreada presentada en la gráfica usando el algoritmo en Python.
e. Adjunte sus resultados.txt y algoritmos.py

Rúbrica: literal a (12 puntos), literal b (12 puntos), literal c (6 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: [1] Volúmenes de sólidos de revolución. Moisés Villena Muñoz. Capítulo 4 p78. https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/4800/4/7417.pdf

[2]Curso Torno Madera. Práctica de realización de peón de ajedrez. Taller Escuela Pinocho. 21 octubre 2021

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3Eva_2023PAOII_T2 perfil de un peón

3ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 15/Febrero/2024

Tema 2 (30 puntos) Las medidas del perfil de un objeto se describen por medio de los siguientes puntos:

xi 0 3 5 9.985 14.97 17.97 40.04 43.29 51.64560 60
yi 15 15 13.25 14.155 9.676 9.676 4.64 4.64 8.976 0

perfil de un peon 01a. Plantee el o los polinomios de interpolación P(x) que describan el perfil del objeto en el intervalo
[0, 14.97] . Justifique la selección del método de interpolación polinómica.

b. Desarrolle los polinomios planteados de forma analítica.

c. Estime el mayor error sobre el o los datos en el intervalo [5, 9.985]. Use como referencia la ecuación del círculo del tema anterior.

d. Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos. Adjunte los archivos realizados como algoritmos.py, resultados.txt y gráficas.png

Rúbrica: literal a (9 puntos), literal b (12 puntos), literal c (6 puntos), literal d (3 puntos)

xi=[ 0, 3, 5.  , 9.985 , 14.97 , 17.97, 40.04, 43.29, 51.6449, 60]
yi=[15,15,13.25,14.1552, 9.6768,  9.67,  4.64,  4.64,  8.9768, 0.]
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3Eva_2023PAOII_T1 Intersección con círculo

3ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 15/Febrero/2024

Tema 1 (30 puntos) Encuentre las raíces de las ecuaciones simultaneas siguientes:

2y+1.75 x= 35.25 (y-7.6)^2 + (x-8.6)^2 = (6.7)^2

a. Use el enfoque gráfico para obtener los valores iniciales. Presente la gráfica realizada con Python.
b. Encuentre un intervalo apropiado para aproximar este valor mediante el método de Newton-Raphson
c. Realice al menos 3 iteraciones de forma analítica, usando tolerancia de 10-4
d. Realice el análisis de la convergencia del método.
Adjunte los archivos realizados como algoritmos.py, resultados.txt y gráficas.png

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), iteraciones(9 puntos), errores entre iteraciones (6 puntos), análisis de convergencia (5 puntos).

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2Eva_2023PAOII_T3 EDP desarrolle expresión

2ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 30/Enero/2024

Tema 3 (30 puntos) Para la siguiente Ecuación Diferencial Parcial con b = 2, resuelva usando las condiciones mostradas

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + b\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial dt}
0 < x < 1

0 < t < 0.5

 Condiciones de frontera:
u(0,t)=0, u(1,t)= 1, 0≤t≤0.5
Condiciones iniciales:
u(x,0)=0, 0≤x≤1

Utilice diferencias finitas centradas y hacia adelante para las variables independientes x,t

a. Plantee las ecuaciones para usar un método numérico en un nodo i,j

b. Realice la gráfica de malla,

c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,tj)

d. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.

e. Estime el error de u(xi,tj) y adjunte los archivos del algoritmo y resultados.

f. Con el algoritmo, estime la solución para b = 0 y b=-4. Realice las observaciones de resultados para cada caso.

Rúbrica: Aproximación de las derivadas parciales (5 puntos), construcción de la malla (5), desarrollo de iteraciones (10), literal e (10 puntos), literal f (5 puntos extra)

Referencia: EDP Parabólicas. Chapra & Canale. 5ta Ed. Ejercicio 30.15. P.904

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2Eva_2023PAOII_T2 Cable cuelga entre apoyos A y B

2ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 30/Enero/2024

Tema 2 (40 puntos) Un cable cuelga de dos apoyos en A y B. cable colgante entre apoyos

El cable sostiene una carga distribuida cuya magnitud varía con x según la ecuación

w = w_0 \Big[ 1+ \sin \Big(\frac{\pi x}{2l_B} \Big) \Big]

donde w0 = 1 000 lbs/ft y T0. = 0.588345×106.
La pendiente del cable (dy/dx) = 0 en x = 0, que es el punto más bajo del cable.

También es el punto donde la tensión del cable alcanza un mínimo de T0. La ecuación diferencial que gobierna el cable es

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{w_0}{T_0} \Big[ 1+ \sin \Big(\frac{\pi x}{2l_B} \Big) \Big]

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b. Desarrolle tres iteraciones para y(x) con tamaño de paso h=0.5

c. Usando el algoritmo, aproxime la solución para x en el intervalo entre [0,200], adjunte sus resultados.txt en la evaluación.

d. Realice sus observaciones sobre los resultados obtenidos sobre la altura y(200) alcanzada en el extremo derecho del cable y lo indicado en la gráfica del enunciado.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c resultados.txt (10 puntos), grafica.png (5 puntos), literal d (5 puntos),

Referencia: Cable entre dos apoyos con carga distribuida. Chapra & Canale. 5ta Ed. Ejercicio 28.21. P849

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2Eva_2023PAOII_T1 Volumen por solido de revolución

2ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 30/Enero/2024

Tema 1 (30 puntos) Los sólidos de revolución se generan al girar una región plana alrededor de un eje. solido de revolucion 1

V = \int_{a}^{b} \pi (f(x))^2 dx

El volumen generado al girar la región de la función f(x) en el intervalo [a,b], se puede calcular como el volumen del disco de radio f(x) y anchura dx.

f(x) = \sqrt{\sin (x/2)} g(x) = e^{x/3} - 1

Calcule el volumen de revolución generado por la región sombreada de la gráfica que ese encuentra entre: f(x) y g(x).
Las funciones se usan en el intervalo [0.1 , 1.8]:

Realice el planteamiento de las ecuaciones para el ejercicio, considerando que

a. Para el integral con f(x), use formulas de Simpson con al menos 3 tramos, mientras que

b. Para el integral con g(x) use Cuadratura de Gauss de dos puntos con al menos 2 tramos.

c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada función.

d. Indique el resultado obtenido para el área requerida y la cota de error.

e. Determine el volumen de revolución generado por la región sombreada

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia:  [1] Volúmenes de sólidos de revolución. Moisés Villena Muñoz.Capítulo 4 p78. https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/4800/4/7417.pdf
[2] 8.2.2 Gráficas en 3D en Python, sólidos de revolución. http://blog.espol.edu.ec/ccpg1001/graficas-en-3d-en-python-sistema-de-ecuaciones-y-planos/
[3] Volumes: Washer Method Animation 2. Stacey Roshan. 24 Abril 2016.

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1Eva_2023PAOII_T3 aceleración en avión de acrobacias

1ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 21/Noviembre/2023

Tema 3. (30 puntos) Por medio del acelerómetro o sensor de fuerzas g de un avión se acrobacias se obtienen datos cada 5 segundos.

t 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Aceleración (G) 1 1.2 1.3 2.5 4.5 3.2 1.4 0.0 -0.9 -1.0 0.2

acrobacias avion 01Para un estudio detallados de la acrobacia realizada se requiere disponer de datos cada segundo
usando interpolación polinómica con el método de Lagrange.

a. Plantear el ejercicio describiendo los criterios a usar para el o los polinomios para el eje y.

b. Desarrolle el método sobre los puntos seleccionados con las expresiones completas desarrolladas con el algoritmo.

c. Presentar el polinomio resultante y la gráfica usando la resolución requerida para el estudio.

d. Encuentre el error obtenido entre el polinomio y el o los puntos de prueba de los datos no usados para generar el polinomio.

e. Adjunte los archivos: algoritmos.py, resultados.txt y gráfica.png del polinomio.

t = [0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50]
G = [1,1.2,1.3,2.5,4.5,3.2,1.4,0.0,-0.9,-1.0,0.2]

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos).

Referencias: [1] VUELO ACROBÁTICO. TDP Club. RTVE. 30 enero 2020

[2] High intensity aerobatic flying with C.J. Wilson and Kirby Chambliss. Red Bull. 6 mar 2014.