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2Eva_IT2012_T3_MN EDO Taylor 2 Contaminación de estanque

2da Evaluación I Término 2012-2013. 28/Agosto/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. (30 puntos) Suponga un estanque de cierto tamaño con agua, la cual está siendo contaminada por una corriente que ingresa constantemente.

En la siguiente ecuación s representa la cantidad de contaminación en el tiempo t:

s'- \frac{26s}{200-t} - \frac{5}{2} = 0 0\leq t \lt 2.00

Con la condición inicial s(0) = 0, la cual significa que inicialmente el agua está limpia.

Determine la cantidad de contaminación s(t) para

t =  [0.1, 0.2, 0.3, 0.4]

usando la fórmula de Euler, es decir los dos primeros términos de la Serie de Taylor.

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2Eva_IT2012_T2_MN Altura del cable teleférico

2da Evaluación I Término 2012-2013. 28/Agosto/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. (30 puntos) Utilice los datos del tema anterior para encontrar el valor aproximado de la altura del cable teleférico cuando x = 0.4. Use el polinomio de diferencias finitas de grado 3 y estime el error en la interpolación.

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2Eva_IT2012_T1_MN Longitud de teleférico

2da Evaluación I Término 2012-2013. 28/Agosto/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. (40 puntos)

La trayectoria de un teleférico está definida por una curva que tiene los puntos (x, f(x)) segun la tabla que se muestra a continuación:

 

x    = [0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00]
f(x) = [25.0, 22.0, 32.0, 51.0, 75.0]

Para calcular la longitud de dicha curva se debe usar la integral:

L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2} \delta x

a. Aproxime el valor de la derivada f‘(x) en todos los puntos de la tabla con fórmulas de orden 2.

b. Aproxime el valor de la longitud del cable del teleférico entre 0 y 1 con la fórmula de Simpson

c. Aproxime el error de la longitud calculada.

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2Eva_IT2012_T3 EDP elíptica, placa rectangular

2da Evaluación I Término 2012-2013. 28/Agosto/2012. ICM00158

Tema 3. (20 puntos) Aproxime la solución de la ecuación diferencial parcial:

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = (x^2 + y^2) e^{xy} 0\lt x \lt 1, 0\lt y \lt 0.5

Con las condiciones de frontera:

u(0,y) = 1, u(1,y) = e^y , 0 \leq y \leq 0.5 u(x,0) = 1, u(x,0.5) = \sqrt{e^x} , 0 \leq x \leq 1

Usando un tamaño de paso hx = hy = 0.25

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2Eva_IT2012_T2 Modelo de clima

2da Evaluación I Término 2012-2013. 28/Agosto/2012. ICM00158

Tema 2. (20 puntos) El meteorólogo Edward Lorenz propuso inicialmente el siguiente sistema para predecir el comportamiento del clima:

\begin{cases} x'(t) = \alpha (y(t) - x(t)) \\ y'(t) = \rho x(t) - y(t) - x(t) z(t) \\ z'(t) = -\beta z(t) + x(t) y(t) \end{cases}

Para su estudio eligió los parámetros α = 10, β = 8/3 , ρ=28 con las condiciones iniciales x(0) = 10, y(0) = 7, z(0) = 7

Use el método de Runge-Kutta clásico de cuarto orden con h = 0.25 para calcular la solución cuando t=1

Referencia: Chapra 28.2 p833 pdf857

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz_system

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2Eva_IT2012_T1 Longitud de teleférico

2da Evaluación I Término 2012-2013. 28/Agosto/2012. ICM00158

Tema 1. (20 puntos)

La trayectoria de un teleférico está definida por una curva que tiene los puntos (x, f(x)) segun la tabla que se muestra a continuación:

 

x    = [ 0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00]
f(x) = [25.00,   22,   45,   62,   75  ]

Para calcular la longitud de dicha curva se debe usar la integral:

\int_0^1 \sqrt{1+[f'(x)]^2} \delta x

a. Aproxime el valor de f'(x) pra cada uno de los valores de x de la tabla

b. Aproxime el valor de la longitud del cable usando el método de Simpson

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2Eva_IIT2011_T3_MN Trazador cúbico

2da Evaluación II Término 2011-2012. 31/Enero/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. (40 puntos) Dados los puntos

(x,y): (2,3), (4,4), (5,6), (6,7), (8,5)

Use el trazador cúbico natural para determinar el valor de y cuando x=3.

Use el método iterativo de Gauss-Seidel para resolver el sistema de ecuaciones que se produce al aplicar la formulación del trazador cúbico.

Comience con un vector solución nulo e itere hasta obtener tres decimales exactos.

xi = [ 2, 4, 5, 6, 8]
yi = [ 3, 4, 6, 7, 5]
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2Eva_IIT2011_T2_MN Profundidad en lago

2da Evaluación II Término 2011-2012. 31/Enero/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. (30 puntos) Utilizando los 9 datos de las cuadrículas centrales de la tabla anterior, calcule aproximadamente la profundidad del lago en el punto de coordenadas x = 250, y = 125

Utilice en ambas direcciones el polinomio de Lagrange o el polinomio de diferencias finitas y estime el error en la interpolación.

 y\x  0 100 200 300 400
 0  0  0  4  6  0
 50  0  3  5  7  3
 100  1  5  6  9  5
 150  0  2  3  5  1
 200  0  0  1  2  0 
profundidad= [[ 0, 0, 4, 6, 0],
              [ 0, 3, 5, 7, 3],
              [ 1, 5, 6, 9, 5],
              [ 0, 2, 3, 5, 1],
              [ 0, 0, 1, 2, 0]]

x = [ 0, 100, 200, 300, 400]
y = [ 0,  50, 100, 150, 200]
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2Eva_IIT2011_T1_MN Volumen de lago

2da Evaluación II Término 2011-2012. 31/Enero/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. (30 puntos) Un lago tiene la forma aproximadamente rectangular de 200 m x 400 m.

Se ha trazado un cuadriculado y se ha medido la profundidad en metros en cada cuadrícula de la malla como se

 y\x  0 100 200 300 400
 0  0  0  4  6  0
 50  0  3  5  7  3
 100  1  5  6  9  5
 150  0  2  3  5  1
 200  0  0  1  2  0

con todos los 25 datos de la tabla, estime el volumen aproximado de agua.

Utilice la fórmula de Simpson en ambas direcciones.

profundidad= [[ 0, 0, 4, 6, 0],
              [ 0, 3, 5, 7, 3],
              [ 1, 5, 6, 9, 5],
              [ 0, 2, 3, 5, 1],
              [ 0, 0, 1, 2, 0]]
x = [ 0, 100, 200, 300, 400]
y = [ 0,  50, 100, 150, 200]
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2Eva_IIT2011_T3 EDP Parabólica, explícito

2da Evaluación II Término 2011-2011. 31/Enero/2012. ICM00158

Tema 3. Aproxime la solución de la ecuación diferencial parcial:

\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =2

t> 0 , 0≤ x ≤ 1

\begin{cases} u(0,t) = u(1,t) = 0, & t\gt0 \\u(x,0) = \sin (\pi x) + x(1-x) \end{cases}

Con h= 0.25 y k=0.04, realizar solo dos iteraciones en el tiempo (j=1,2) .

Indicación: Para establecer el algoritmo, utilice la fórmula progresiva para la primera derivada.