Señal Exponencial compleja

Exponencial est

Otra función importante en señales y sistemas es la señal est, donde s es en general de tipo compleja:

s = σ + jω

lo que convierte:

est = e(σ + jω) 
    = eσ e 
    = eσt ( cos(ωt) + j sin(ωt) )

dado que la conjugada s* = σ – jω

es*t = e(σ - jω) 
    = eσ e-jω 
    = eσt ( cos(ωt) - j sin(ωt) )

por lo que sumando las ecuaciones anteriores:

e^{\sigma t} cos(\omega t) = \frac{1}{2}( e^{st} + e^{s^{*}t} )

Comparado con la formula de Euler, se muestra que est es una generalización de e. mostrando que:

# Señales modelo varias
# propuesta: edelros@espol.edu.ec
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
a = -5 # rango de tiempo
b = 5
dt = 0.1
sigma = 0  # s = 0 +0j
omega = 0

# PROCEDIMIENTO
t = np.arange(a, b, dt)
s = complex(sigma,omega)
senal = np.exp(s*t)

# SALIDA - gráfica
plt.figure(1)
plt.plot(t,np.real(senal),label='real')
plt.plot(t,np.imag(senal),label='imaginaria')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x(t)')
plt.legend()
plt.margins(0.1)
plt.title('e^('+str(sigma) +' + '+str(omega)+'j)')
plt.show()

# un exponencial simple σ>0 ω=0 
sigma = 1
omega = 0

s = complex(sigma,omega)
senal = np.exp(s*t)

# SALIDA - gráfica
plt.figure(2)
plt.plot(t,np.real(senal),label='real')
plt.plot(t,np.imag(senal),label='imaginaria')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x(t)')
plt.legend()
plt.margins(0.1)
plt.title('e^('+str(sigma) +' + '+str(omega)+'j)')
plt.show()

# un exponencial simple σ<0 ω=0
sigma = -1
omega = 0

s = complex(sigma,omega)
senal = np.exp(s*t)

# SALIDA - gráfica
plt.figure(3)
plt.plot(t,np.real(senal),label='real')
plt.plot(t,np.imag(senal),label='imaginaria')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x(t)')
plt.legend()
plt.margins(0.1)
plt.title('e^('+str(sigma) +' + '+str(omega)+'j)')
plt.show()

# un sinusiode σ=0, ω>0
sigma = 0
omega = 1

s = complex(sigma,omega)
senal = np.exp(s*t)

# SALIDA - gráfica
plt.figure(4)
plt.plot(t,np.real(senal),label='real')
plt.plot(t,np.imag(senal),label='imaginaria')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x(t)')
plt.legend()
plt.margins(0.1)
plt.title('e^('+str(sigma) +' + '+str(omega)+'j)')
plt.show()

# un sinusiode σ=0, ω<0
sigma = 0
omega = -1

s = complex(sigma,omega)
senal = np.exp(s*t)

# SALIDA - gráfica
plt.figure(5)
plt.plot(t,np.real(senal),label='real')
plt.plot(t,np.imag(senal),label='imaginaria')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x(t)')
plt.legend()
plt.margins(0.1)
plt.title('e^('+str(sigma) +' + '+str(omega)+'j)')
plt.show()

# un sinusoide con amplitud exponencial σ=0.25, ω>0
sigma = 0.25
omega = 4

s = complex(sigma,omega)
senal = np.exp(s*t)

# SALIDA - gráfica
plt.figure(6)
plt.plot(t,np.real(senal),label='real')
plt.plot(t,np.imag(senal),label='imaginaria')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x(t)')
plt.legend()
plt.margins(0.1)
plt.title('e^('+str(sigma) +' + '+str(omega)+'j)')
plt.show()

# un sinusoide con amplitud exponencial σ=-0.25, ω>0
sigma = -0.25
omega = 4

s = complex(sigma,omega)
senal = np.exp(s*t)

# SALIDA - gráfica
plt.figure(7)
plt.plot(t,np.real(senal),label='real')
plt.plot(t,np.imag(senal),label='imaginaria')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x(t)')
plt.legend()
plt.margins(0.1)
plt.title('e^('+str(sigma) +' + '+str(omega)+'j)')
plt.show()

Referencia: Lathi 1.4.1 pdf/p.63 – 68, Schaum 1.3 pdf/p.17-22 Oppenheim 1.4 pdf/p.61

Publicado por

Edison Del Rosario

edelros@espol.edu.ec / Profesor del FIEC/FCNM-ESPOL