Señales operaciones en tiempo

Referencia: Oppenheim 1.2.1 pdf/p.36, Lathi 1.2 pdf/p.55

Desplazamiento en tiempo

Una señal x(t) que se retrasa por k segundos se representa como una versión desplazada hacia la derecha el eje t.

Es decir:

\phi (t+k)= x(t)

o de otra forma:

\phi (t)= x(t-k)

se podrá observar entonces que el signo determina el desplazamiento hacia:

  • la derecha si se resta k
  • la izquierda si se suma k

Para mostrar las reglas, se tiene el siguiente ejemplo:

# Señales- Operaciones
# propuesta: edelros@espol.edu.ec

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO - tiempo [a,b)
a = -8
b = 8
dt = 0.1
k = 1  # desplazamiento

# PROCEDIMIENTO
t = np.arange(a,b,dt)

senal = np.sin(t)
derecha = np.sin(t-k)
izquierda = np.sin(t+k)


# SALIDA
plt.figure(1)
plt.plot(t,senal,label='x(t)')
plt.plot(t,derecha,label='derecha=x(t-k)')
plt.plot(t,izquierda,label='izquierda=x(t+k)')
plt.axvline(0)
plt.xlabel('t')
plt.legend(loc='lower left')
plt.show()

Escalamiento en tiempo

La compresión o expansión de la señal en el tiempo es conocida como escalamiento en el tiempo.

Considere la señal x(t) afectada en el tiempo por un factor de 2.
Se encuentra que:

\phi\Big(\frac{t}{2}\Big)=x(t) \phi(t)=x(2t)

siguiendo con la señal del ejercicio anterior x(t)=sin(t)

# Escalamiento en tiempo
factor = 2

expande = np.sin((1/factor)*t)
comprime = np.sin(factor*t)

#salida
plt.figure(2)
plt.plot(t,senal,label='x(t)')
plt.plot(t,expande,label='expande=x(t/factor)')
plt.plot(t,comprime,label='comprime=x(t*factor)')
plt.axvline(0)
plt.xlabel('t')
plt.legend(loc='lower left')
plt.show()

Inversión en tiempo

Si la función resultante es x(-t), la señal x(t) se invierte rotando sobre el eje de las ordenadas (vertical).

Observe el resultado de la ecuacion de ejemplo:

# inversion en tiempo
espejo = np.sin(-t)

#salida
plt.figure(3)
plt.plot(t,senal,label='x(t)')
plt.plot(t,espejo,label='espejo=x(-t)')
plt.axvline(0)
plt.xlabel('t')
plt.legend(loc='lower left')
plt.show()

En resumen, el efecto de transformar la variable independiente de una señal x(t) para obtener la señal modificada es de la forma:

x(at+b)

Con la transformación, la variable independiente conserva la forma de x(t). La señal puede ser:

  • alargada linealmente cuando |a| < 1 ,
  • comprimida si |a| > 1,
  • invertida en el tiempo si a < 0, y
  • desplazada en el tiempo si b es diferente de cero.
    • siendo desplazada a la derecha si se resta el valor de |b|
    • siendo desplazada a la izquierda si se suma el valor de |b|

Desplazamiento en tiempo

solo de un click y observe por un minuto el siguiente video sobre el desplazamiento en el tiempo (delay) en una guitarra.

 

 

Publicado por

Edison Del Rosario

edelros@espol.edu.ec / Profesor del FIEC/FCNM-ESPOL