Señales Periódicas y No periódicas

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Señal Periódica

Una señal periódica contínua tiene la propiedad que su valor se repite luego de un desplazamiento de tiempo T.

x(t) = x(t+T)

El valor de T es conocido como el periodo de la señal.

La relación entre el periodo T y la frecuencia f se da por la ecuacion:

f = \frac{1}{T} \text{, en Hz} \omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T} \text{, en rad/s}

otra forma de escribir la ecuación es:

x(t) = x(t + mT)

para cualquer valor de t y cualquier número entero m. El periodo fundamental T0 de x(t) es el valor positivo más pequeño que hace posible la ecuación descrita.

Algoritmo en Python

Se analiza una señal coseno(), con periodo T=2π, en un rango de dos periodos m=2, y 50 muestras, luego se determina el vector t para el rango de observación y se calcula la señal:

# Señales periodicas
# propuesta: edelros@espol.edu.ec

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ingresar parámetros
T = 2*np.pi
m = 2 #periodos para la gráfica
t0 = 0
n = 50

# PROCEDIMIENTO
# vector de tiempo
tn = T*m
dt = (tn-t0)/n
t = np.arange(t0,tn,dt)

# señal
f = 1/T
w = 2*np.pi*f
senal = np.cos(w*t)

# marcar un periodo en [desde, hasta)
desde = T/4
hasta = desde + T + dt
tperiodo = np.arange(desde,hasta,dt)
periodo = np.cos(w*tperiodo)

La gráfica se conforma de dos partes:

  • la señal calculada
  • la señal marcada en un periodo
# SALIDA
# Gráficas
plt.plot(t,senal)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('señal x[(t)]')

# marcar un periodo
plt.title('marcando un periodo')
plt.fill_between(tperiodo,0, periodo,facecolor='green')
plt.show()

Señal periódica discreta

Se define semejante a las señales periódicas contínuas como una secuencia discreta en el tiempo x[n]. La señal es periódica con periodo N si existe un número entero positivo para el que:

x[n + N] = x[n] \text{, para todo n} x[n + mN] = x[n]

para todo n y cualquier entero m

El periodo fundamental N0 de x[n] es el valor positivo mas pequeño para que se cumpla la ecuación en la secuencia de datos de la señal.

Como ejemplo se usa una señal muestreada del coseno:

# ingreso de parámetros
N = 8
m = 4
t0 = 0

# Procedimiento
tn = m*N
w = 2*np.pi/N
n = np.arange(t0,tn,1)
xn = np.cos(w*n)

# Salida
plt.figure(2)
plt.stem(n,xn)
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('x[n]')
plt.show()

Señal No periódica

En éste caso, los valores de la señal no se repiten para ningun valor de T.

También para algunos problemas se considera que T → ∞.

Un ejemplo del tipo de señal es: x(t)=t^2

# continuando con el mismo t del problema anterior
x = t**2

# Gráfica
plt.figure(3)
plt.plot(t,x)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x(t)')
plt.show()


Para el caso de señal discreta:

yn = n**2

# SALIDA - Gráfica
plt.figure(4)
plt.stem(n,yn)
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('y[n]')
plt.show()

Tarea

Pruebe con otras funciones contínuas para x(t) como:

  • t^3
  • e^t
  • \frac{1}{t}

en python, el exponente se escribe como: t**3 y en la otra función np.exp(t)

Realizar el mismo paso para sus formas discretas.

Referencia: Oppenheim 1.2.2 pdf/p.39, schaum cap1.F pdf/p.4, lathi 1.3.3. pdf/p.61

Publicado por

Edison Del Rosario

edelros@espol.edu.ec / Profesor del FIEC/FCNM-ESPOL