Señales de Energía y Potencia

Señal de Energía

Una señal de energía tiene energía finita. En general toda señal en el sentido práctico tiene duración finita, por lo que la energía es finita.

La energía se define como:

E=\int_{-\infty}^{\infty} x^2(t) dt

o de una forma más general incluyendo señales de tipo compleja:

E=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt

No se considera solo como energía como el área bajo la curva, o integral de la señal, debido a que puede contener áreas de signo negativo que pueden cancelar la media. El cuadrado de la señal será siempre positivo.

La señal tiene que ser de tipo finita para que la medida tenga significado.

Una condición necesaria para que la señal sea finita es que su amplitud → 0 cuando |t|→ ∞. En cualquier otro caso la integral no converge.

Para una señal discreta:

E=\sum_{n=-\infty}^{\infty} | x[n] |^2

Ejemplo de señal de Energía

Un ejemplo de señal de Energía es un audio limitado en el tiempo, pues su amplitud tiende a 0 cuando |t|→ ∞.

Usando el mismo archivo de audio del ejercicio de señales analógicas y digitales:
Alarm01.wav

tenemos que:

# Señales de Energía y Potencia
# propuesta: edelros@espol.edu.ec

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.io.wavfile as waves

# INGRESO
# archivo = input('archivo de audio: ')
archivo = 'Alarm01.wav'
muestreo, sonido = waves.read(archivo)

# PROCEDIMIENTO
muestra = len(sonido)
dt = 1/muestreo
t = np.arange(0,muestra*dt,dt)
uncanal = sonido[:,0]

# SALIDA - Observación intermedia
plt.plot(t,uncanal)
plt.xlabel('t segundos')
plt.ylabel('sonido(t)')
plt.show()

El audio mostrado es una señal limitada en el tiempo, por lo que es posible calcular su energía usando la formula descrita.

Integración numérica de muestras

En el caso de las muestras disponibles de audio, las muestras estan igualmente espaciadas, se puede integrar usando la regla de Simpson´s integrate.simps(valores,t) para obtener un estimado de alta precisión.

import scipy.integrate as integrate

# cuadrado de la señal para el integral de energía
cuadrado = uncanal**2

#integrando a partir de muestras de la señal
energia = integrate.simps(cuadrado,t)

# SALIDA
print(' La energía del audio es: ',energia)
print('\n revisando el canal y sus cuadrados')
print(uncanal[2500:2510])
print(cuadrado[2500:2510])
 La energía del audio es:  3827.5753288
 revisando el canal y sus cuadrados
[-16  -1   8  -3  -8   4  11  -1  -4  10]
[256   1  64   9  64  16 121   1  16 100]

Señal de Potencia

Si en x(t) la amplitud no tiende → 0 al mismo tiempo que |t|→ ∞, la energia de la señal será infinita.

Una mejor medida de la señal en este caso es promedio de energia en el un intervalo de tiempo T, si és periódica, existe T.

La señal de potencia se define como:

P_x =\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} | x(t) |^2 dt

y para una señal discreta:

P =\lim_{N \to \infty}\frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} | x[n] |^2

Ejemplo: potencia de una señal

Considere una señal periódica conocida sin(), integrando dentro de un periodo podemos calcular la energía y luego la potencia.

# INGRESO - Parámetros
w = 1
a = 0
b = 2*np.pi #un periodo
dte = 0.005

# PROCEDIMIENTO
T = 2*np.pi/w
te = np.arange(a, b, dte)
xe = np.sin(w*te)

# energía en un periodo
cuadradoxe = xe**2
energiaxe = integrate.simps(cuadradoxe,te)

# potencia en un periodo
potenciaxe = (1/T)*energiaxe

# SALIDA
print('la energia de xe es: ',energiaxe)
print('la potencia de xe es: ',potenciaxe)
# gráfica
plt.plot(te,xe,label='xe')
plt.fill_between(te,0,cuadradoxe,color='lightgreen')
plt.plot(te,cuadradoxe,'g--', label='xe^2')
plt.xlabel('t')
plt.legend()
plt.show()
la energia de xe es:  3.14159264282
la potencia de xe es:  0.499999998285

Para revisar los resultados, realizamos el cáculo de potencia haciendo x(t)=sin(t)

P_x =\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} | x(t) |^2 dt

se tiene que:

=\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} | sin(t) |^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \big[ \frac{1}{2}-\frac{cos(2t)}{2}\big] dt =\frac{1}{4\pi} \int_{0}^{2\pi} \big[ 1-{cos(2t)}\big] dt =\frac{1}{4\pi} \big[\int_{0}^{2\pi} 1 dt - \int_{0}^{2\pi}{cos(2t)} \big]dt =\frac{1}{4\pi} \big[t \Big|_0^{2\pi} \ - \frac{sin(2x)}{2}\Big|_0^{2\pi} \ \big] =\frac{1}{4\pi}\big[(2\pi-0)- (sin(2\pi)-sin(0)) \big] = \frac{1}{2}

que es el resultado de potencia obtenido usando python.

Tarea

Realice el mismo cálculo para la energía de la señal del ejemplo anterior.

Referencia: Lathi 1.1-1 pdf/p.51, Schaum 1.2.G pdf/p.16

Publicado por

Edison Del Rosario

edelros@espol.edu.ec / Profesor del FIEC/FCNM-ESPOL