3ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 17/Septiembre/2024
Tema 3. (35 puntos) Para el salto del Bungee y la tabla del ejercicio del tema 2, realice el sistema de ecuaciones para el polinomio de interpolación usando los tiempos en el vector ts = [0, 0.75,1.375, 2.55]
datos usando h=1/8
ti
vi
0
0.0000
0.25
2.4479
0.5
4.8849
0.75
7.3001
1
9.6832
1.375
13.1763
1.75
16.5451
2.125
19.7641
2.4
22.0193
2.55
23.2075
Plantee el sistema de ecuaciones usando los cuatro puntos datos en el vector ts
Presente el sistema de ecuaciones en su forma matricial y muestre la matriz aumentada y pivoteada
Desarrolle el ejercicio usando el método de Jacobi, para tres iteraciones. Justifique el vector inicial X0
Comente sobre la convergencia del ejercicio y adjunte los archivos para algoritmo.py y resultados.txt
Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), Matriz aumentada y pivoteada (5 puntos), iteraciones(15 puntos), error por iteración (5 puntos), literal d (5 puntos)
3ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 17/Septiembre/2024
Tema 2. (30 puntos)
Para el salto del Bungee del ejercicio del tema anterior se toman lecturas con un sensor de velocidad sujetado a la persona.
De la tabla de datos obtenida, se observa que los tamaños de paso en tiempo no siempre son equidistantes.
Se requiere encontrar un polinomio interpolación de al menos grado 3.
datos usando h=1/8
ti
vi
0
0.0000
0.25
2.4479
0.5
4.8849
0.75
7.3001
1
9.6832
1.375
13.1763
1.75
16.5451
2.125
19.7641
2.4
22.0193
2.55
23.2075
a. Describa el planteamiento del ejercicio, selección de puntos, expresiones usando el método de Lagrange.
b. Resuelva el sistema usando los algoritmos correspondientes.
c. Presente el polinomio obtenido, simplificado y grafique verificando que P(x) pase por los puntos de muestra.
d. Use el resultado P(x) para estimar el error con los valores de vi que no fueron usados para la interpolación.
e. Adjunte los archivos para algoritmo.py, resultados.txt y grafica.png
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)
3ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 17/Septiembre/2024
Tema 1. (35 puntos)
La ecuación diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto del bungee es diferente según si el saltador ha caído una distancia en la que la cuerda está extendida por completo y comienza a estirarse o encogerse.
Si la distancia recorrida es menor que la longitud de la cuerda, el saltador sólo está sujeto a las fuerzas gravitacional y de arrastre de la cuerda.
\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 y \leq L
Suponga que las condiciones iniciales son:
y(0) =0
\frac{dy(0)}{dt} = 0
Una vez que la cuerda comienza a estirarse, también deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda.
\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 -\frac{k}{m}(y-L) - \frac{\gamma}{m}( \frac{dy}{dt}\Big) y \gt L
dy/dt
m/s
velocidad (v)
t
s
tiempo
g
9.8 m/s2
gravedad
cd
0.25 kg/m
coeficiente de arrastre
m
68.1 Kg
masa
L
30 m
Longitud de la cuerda
k
40 N/m
constante de resorte de la cuerda
γ
8 N s/m
coeficiente de amortiguamiento de la cuerda
signo(v)
función que devuelve –1, 0 y 1, para v negativa, cero y positiva, respectivamente
En conocimiento que la primera ecuación es válida solo hasta tc=2.55, L=30mts, v= 23.20752.
Encuentre el tiempo td cuando se alcanza la longitud MÁXIMA de la cuerda extendiday estirada por completo, es decir y>L, con velocidad = 0. (solo 2da ecuación)
a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden
b. Desarrolle tres iteraciones para y(t) con tamaño de paso h=0.5
c. Usando el algoritmo, aproxime la solución para y en el intervalo entre [0,tc], adjunte sus resultados.txt
d. Indique el valor de td, muestre cómo mejorar la precisión y realice sus observaciones sobre los resultados.
Observación: dy/dt = v, función signo(v) en Numpy:np.sign(v)
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c resultados.txt y grafica.png (10 puntos), literal d (5 puntos),
Tema 2. (40 puntos)
Para el salto del Bungee del ejercicio del tema anterior se toman lecturas con un sensor de velocidad sujetado a la persona.
2.1 De la tabla de datos obtenida, se observa que los tamaños de paso en tiempo no siempre son equidistantes.
Se requiere encontrar la distancia recorrida en el intervalo de [0,2.55] usando fórmulas de integración compuestas.
ti
vi
0
0.0000
0.25
2.4479
0.5
4.8849
0.75
7.3001
1
9.6832
1.375
13.1763
1.75
16.5451
2.125
19.7641
2.4
22.0193
2.55
23.2075
2.2 Usando los datos de la tabla para el intervalo [2.55, 5.175] donde la velocidad de la caída de la persona al primer salto ha llegado a casi cero, o antes del primer rebote, se ha obtenido un polinomio de interpolación:
v = -3.979t2 + 21.557t – 5.3997
Obtenga la distancia recorrida en el segundo intervalo usando el método de Cuadratura de Gauss.
a. Realice el planteamiento de las ecuaciones para cada sección del ejercicio.
b. Describa el criterio usado para determinar el número de tramos usado en cada caso.
c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada sección.
d. Encuentre la distancia total (profundidad) alcanzada por la persona al dar el salto.
Rúbrica: literal a 2.1 (5 puntos), a 2.2 (5 puntos) literal b (5 puntos), literal c 2.1 (10 puntos), c 2.2 (10 puntos), literal d (5 puntos)
Tema 1. (30 puntos)
La ecuación diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto del bungee es diferente según si el saltador ha caído una distancia en la que la cuerda está extendida por completo y comienza a estirarse o encogerse.
Si la distancia recorrida es menor que la longitud de la cuerda, el saltador sólo está sujeto a las fuerzas gravitacional y de arrastre de la cuerda.
\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 y \leq L
Suponga que las condiciones iniciales son:
y(0) =0
\frac{dy(0)}{dt} = 0
Una vez que la cuerda comienza a estirarse, también deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda.
\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 -\frac{k}{m}(y-L) - \frac{\gamma}{m}( \frac{dy}{dt}\Big) y \gt L
dy/dt
m/s
velocidad (v)
t
s
tiempo
g
9.8 m/s2
gravedad
cd
0.25 kg/m
coeficiente de arrastre
m
68.1 Kg
masa
L
30 m
Longitud de la cuerda
k
40 N/m
constante de resorte de la cuerda
γ
8 N s/m
coeficiente de amortiguamiento de la cuerda
signo(v)
función que devuelve –1, 0 y 1, para v negativa, cero y positiva, respectivamente
Encuentre el tiempo tc y la velocidad de la persona cuando se alcanza la longitud de la cuerda extendida y sin estirar (30 m), es decir y<L, aún se entra cayendo signo(v)=1. (solo primera ecuación)
a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden
b. Desarrolle tres iteraciones para y(t) con tamaño de paso h=0.5
c. Usando el algoritmo, aproxime la solución para y en el intervalo entre [0,tc], adjunte sus resultados.txt
d. Indique el valor de tc, muestre cómo mejorar la precisión y realice sus observaciones sobre los resultados.
Observación: dy/dt = v, función signo(v) en Numpy:np.sign(v)
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c resultados.txt y grafica.png (5 puntos), literal d (5 puntos),
Tema 3 (30 puntos) El acelerado crecimiento de la población de mayor edad tendrá un fuerte impacto en los gastos futuros del Instituto de Seguridad Social (IESS), una entidad a la que actualmente (2024) no le alcanzan sus ingresos para pagar las pensiones a sus jubilados y otros rubros. [1]
Un motivo a considerar, podría ser la caída de la natalidad es un fenómeno generalizado en los países desarrollados que tienen tasa de hijos por mujer en edad fértil por debajo de la tasa de reemplazo poblacional de 2.1
Ejemplos de estos casos son Corea del Sur, Japón y China [2,3], países donde la cantidad de personas que trabajan y aportan al seguro social tiende a ser cada vez menor respecto a los pensionistas (jubilados).
Para el caso de Ecuador a fin de realizar un análisis preliminar, se requiere disponer de un modelo matemático que permita estimar cuando ser alcanzaría esta tasa de natalidad.
Promedio Hijos por mujer en Ecuador. INEC 29 Agosto 2019 [4]
tasa
7.32
6.39
5.58
4.89
4.31
3.85
3.50
3.26
3.03
2.79
2.54
2.35
año
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
2005
2010
2015
2020
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Realice un modelo de interpolación polinómica usando los datos de los años 1965, 1980, 1995 y 2010.
a. Describa el planteamiento del ejercicio, justificando el grado del polinomio seleccionado
b. Realice el del sistema de ecuaciones en su forma matricial y muestre la matriz aumentada
c. Resuelva el sistema usando los algoritmos correspondientes.
d. Presente el polinomio obtenido y grafique verificando que P(x) pase por los puntos de muestra.
e. Use el resultado P(x) para estimar la tasa de hijos por mujer para el año 2020 y calcule el error.
f. Estime el año en que se alcanza la tasa mínima de reemplazo de 2.1
Adjunte los archivos de resultados, algoritmos y gráficas realizados para el ejercicio
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos) ), literal f (5 puntos).
Referencia: [1] IESS: Envejecimiento de la población disparará gastos; Peña plantea subir aportes. Primicias.ec: 3 Marzo 2024. https://www.primicias.ec/noticias/economia/envejecimiento-poblacion-iess-aportes/
[2] «Emergencia nacional» en Corea del Sur: por qué las mujeres surcoreanas no están teniendo hijos. BBC News Mundo. 30 marzo 2024.
[3] Por qué China amplió a 3 el número de hijos que pueden tener las parejas. BBC News Mundo. 4 junio 2021.
https://www.youtube.com/watch?v=8kErwjPKwjY .
[4] 5 datos sobre población del Ecuador. INEC Ecuador. 29 Agosto 2019. Min 0:45 https://www.youtube.com/watch?v=wjTZNfykmZU [5] ¿Por qué los PAÍSES RICOS se enfrentan al COLAPSO DEMOGRÁFICO? VisualEconomik. 11 Octubre 2022.
Tema 2 (40 puntos) La distribución de temperatura en estado estable en una placa cuadrada caliente está modelada por la ecuación de Laplace [1], cuya solución en su forma iterativa cuando el factor
(Δy)2/(Δx) = 1 se interpreta como:
“La temperatura en los nodos de la malla de una placa se puede calcular con el promedio de las temperaturas de los 4 nodos vecinos de la izquierda, derecha, arriba y abajo” [2].
Considere placa cuadrada de 4.5 cm de lado tiene la temperatura en los nodos de los bordes como se indica en la figura.
a) Plantee el sistema de ecuaciones para encontrar los valores en los nodos a, b, c, d. Use la solución descrita para la ecuación de Laplace.
b) Presente la matriz aumentada y Muestre los pasos detallados para el pivoteo parcial por filas.
c) Desarrolle las expresiones para resolver mediante el método de Gauss-Seidel. Considere para el vector inicial Xo, valores intermedios entre las temperaturas de los bordes de la placa.
d) Realice al menos 3 iteraciones, indicando el error por iteración.
e) Analice la convergencia del método, número de condición y resultados obtenidos.
Adjunte los archivos del algoritmo y resultados de computadora utilizados.
Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (15 puntos). literal e (5 puntos) Adjuntos (5 puntos)
Referencia: [1] Ejercicio 12.39 p339 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.
[2] Ecuaciones Elípticas. Método iterativo. http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/edp-elipticas-metodo-iterativo/
Tema 1. (30 puntos) Un reservorio semiesférico de radio R = 3 m, está lleno agua hasta la altura h como se muestra en la figura. En la base tiene un tubo de salida con abertura de área a = 0.01 m2. El coeficiente de fricción hidráulico K = 0.85 g = 9.8 m/s2.
Se requiere que el reservorio se vacíe en menos de tf = 15 min.
La ecuación diferencial para el vaciado de tanques es:
A(h)\frac{dh}{dt} = -Ka\sqrt{2gh}
Considerando la relación de la altura del líquido h con
respecto al radio R de la semiesfera: r^2 + \Big( R-h\Big)^2 = R^2
Y el Área del círculo en función de h: A(h) = \pi \Big(2Rh -h^2 \Big)
Dado que se vacía el reservorio, hf = 0 y que el experimento inicia en t0=0, h0 =h y tf=t, la expresión se simplifica:
-\frac{4}{3}R h^{3/2} + \frac{2}{5} h^{5/2} = -\frac{Ka}{\pi} t \sqrt{2g}
a. Plantear el ejercicio para encontrar h para un t dado, muestre el intervalo de búsqueda y una gráfica.
b. Desarrolle usando el método de Newton-Raphson para tres iteraciones y tolerancia milimétrica.
c. Verifique el orden de convergencia y observe sus resultados usando el algoritmo.
Nota: la gravedad g tiene unidades de segundos, el tiempo de vaciado está en minutos.
Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), iteraciones y error (15 puntos), análisis de la convergencia (5 puntos). observación de resultados, algoritmo y gráficas adjuntos (5 puntos).
Referencia:
[1] Ejercicio 25.21 p765 y 5.17. p143 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.
[2] Vaciado de un tanque semiesférico. Tiempo total de vaciado. Demostración y aplicación. Sebastian Rodriguez
Tema 3 (40 puntos) Los sólidos de revolución se generan al girar una región plana alrededor de un eje.
El volumen generado al girar la región de una función f(x) en el intervalo [a,b], se puede calcular como el volumen del disco de radio f(x) y anchura dx.
V = \int_{a}^{b} \pi (f(x))^2 dx
Calcule el volumen de revolución generado por la región sombreada y limitada los puntos de la tabla del tema anterior y la gráfica 2D mostrada.
Realice el ejercicio usando para los integrales el método de integración por Cuadratura de Gauss para al menos lo tres primeros intervalos.
Para el desarrollo de cada intervalo:
a. Realice el planteamiento de las formulas de volumen de sólido de revolución.
b. Desarrolle las expresiones completas con valores numéricos que permitan revisar sus operaciones.
c. Indique el resultado obtenido para cada integral.
d. Determine el volumen de revolución generado por la región sombreada presentada en la gráfica usando el algoritmo en Python.
e. Adjunte sus resultados.txt y algoritmos.py
Rúbrica: literal a (12 puntos), literal b (12 puntos), literal c (6 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)
Referencia: [1] Volúmenes de sólidos de revolución. Moisés Villena Muñoz. Capítulo 4 p78. https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/4800/4/7417.pdf
[2]Curso Torno Madera. Práctica de realización de peón de ajedrez. Taller Escuela Pinocho. 21 octubre 2021
