1ra Evaluación – Métodos numéricos

2024-07-032024-07-09

1Eva_2024PAOI_T3 Tasas de natalidad de reemplazo en Ecuador

1ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 2/Julio/2024

Tema 3 (30 puntos) El acelerado crecimiento de la población de mayor edad tendrá un fuerte impacto en los gastos futuros del Instituto de Seguridad Social (IESS), una entidad a la que actualmente (2024) no le alcanzan sus ingresos para pagar las pensiones a sus jubilados y otros rubros. [1]

Un motivo a considerar, podría ser la caída de la natalidad es un fenómeno generalizado en los países desarrollados que tienen tasa de hijos por mujer en edad fértil por debajo de la tasa de reemplazo poblacional de 2.1

Ejemplos de estos casos son Corea del Sur, Japón y China [2,3], países donde la cantidad de personas que trabajan y aportan al seguro social tiende a ser cada vez menor respecto a los pensionistas (jubilados).

Para el caso de Ecuador a fin de realizar un análisis preliminar, se requiere disponer de un modelo matemático que permita estimar cuando ser alcanzaría esta tasa de natalidad.

Promedio Hijos por mujer en Ecuador. INEC 29 Agosto 2019 [4]
tasa	7.32	6.39	5.58	4.89	4.31	3.85	3.50	3.26	3.03	2.79	2.54	2.35
año	1965	1970	1975	1980	1985	1990	1995	2000	2005	2010	2015	2020
k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

Realice un modelo de interpolación polinómica usando los datos de los años 1965, 1980, 1995 y 2010.

a. Describa el planteamiento del ejercicio, justificando el grado del polinomio seleccionado

b. Realice el del sistema de ecuaciones en su forma matricial y muestre la matriz aumentada

c. Resuelva el sistema usando los algoritmos correspondientes.

d. Presente el polinomio obtenido y grafique verificando que P(x) pase por los puntos de muestra.

e. Use el resultado P(x) para estimar la tasa de hijos por mujer para el año 2020 y calcule el error.

f. Estime el año en que se alcanza la tasa mínima de reemplazo de 2.1

Adjunte los archivos de resultados, algoritmos y gráficas realizados para el ejercicio

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos) ), literal f (5 puntos).

Referencia: [1] IESS: Envejecimiento de la población disparará gastos; Peña plantea subir aportes. Primicias.ec: 3 Marzo 2024. https://www.primicias.ec/noticias/economia/envejecimiento-poblacion-iess-aportes/
[2] «Emergencia nacional» en Corea del Sur: por qué las mujeres surcoreanas no están teniendo hijos. BBC News Mundo. 30 marzo 2024.

[3] Por qué China amplió a 3 el número de hijos que pueden tener las parejas. BBC News Mundo. 4 junio 2021.
https://www.youtube.com/watch?v=8kErwjPKwjY .
[4] 5 datos sobre población del Ecuador. INEC Ecuador. 29 Agosto 2019. Min 0:45 https://www.youtube.com/watch?v=wjTZNfykmZU [5] ¿Por qué los PAÍSES RICOS se enfrentan al COLAPSO DEMOGRÁFICO? VisualEconomik. 11 Octubre 2022.

import numpy as np
tasa = [7.32, 6.39, 5.58, 4.89, 4.31, 3.85, 3.50, 3.26, 3.03, 2.79, 2.54, 2.35]
anio = [1965, 1970, 1975, 1980, 1985, 1990, 1995, 2000, 2005, 2010, 2015, 2020]
k    = [   0,     1,   2,    3,    4,   5,     6,    7,    8,    9,   10,   11]
cual = [0,3,6,9]
tasamin = 2.1
fi = np.take(tasa,cual) # datos seleccionados

2024-07-032024-07-03

1Eva_2024PAOI_T2 Temperatura en nodos de placa cuadrada

1ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 2/Julio/2024

Tema 2 (40 puntos) La distribución de temperatura en estado estable en una placa cuadrada caliente está modelada por la ecuación de Laplace [1], cuya solución en su forma iterativa cuando el factor
(Δy)²/(Δx) = 1 se interpreta como:

“La temperatura en los nodos de la malla de una placa se puede calcular con el promedio de las temperaturas de los 4 nodos vecinos de la izquierda, derecha, arriba y abajo” [2].

Considere placa cuadrada de 4.5 cm de lado tiene la temperatura en los nodos de los bordes como se indica en la figura.

a) Plantee el sistema de ecuaciones para encontrar los valores en los nodos a, b, c, d. Use la solución descrita para la ecuación de Laplace.

b) Presente la matriz aumentada y Muestre los pasos detallados para el pivoteo parcial por filas.

c) Desarrolle las expresiones para resolver mediante el método de Gauss-Seidel. Considere para el vector inicial X_o, valores intermedios entre las temperaturas de los bordes de la placa.

d) Realice al menos 3 iteraciones, indicando el error por iteración.

e) Analice la convergencia del método, número de condición y resultados obtenidos.

Adjunte los archivos del algoritmo y resultados de computadora utilizados.

Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (15 puntos). literal e (5 puntos) Adjuntos (5 puntos)

Referencia: [1] Ejercicio 12.39 p339 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.
[2] Ecuaciones Elípticas. Método iterativo. http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/edp-elipticas-metodo-iterativo/

2024-07-032024-07-04

1Eva_2024PAOI_T1 Vaciado de reservorio semiesférico

1ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 2/Julio/2024

Tema 1. (30 puntos) Un reservorio semiesférico de radio R = 3 m, está lleno agua hasta la altura h como se muestra en la figura. En la base tiene un tubo de salida con abertura de área a = 0.01 m². El coeficiente de fricción hidráulico K = 0.85 g = 9.8 m/s².

Se requiere que el reservorio se vacíe en menos de t_f = 15 min.
La ecuación diferencial para el vaciado de tanques es:

A(h)\frac{dh}{dt} = -Ka\sqrt{2gh}

Considerando la relación de la altura del líquido h con
respecto al radio R de la semiesfera: $r^2 + \Big( R-h\Big)^2 = R^2$
Y el Área del círculo en función de h: $A(h) = \pi \Big(2Rh -h^2 \Big)$

se encuentra la solución general en la expresión:

\frac{4}{3}R \Big(h_f^{3/2} - h_0^{3/2} \Big) - \frac{2}{5}\Big(h_f^{5/2} - h_0^{5/2} \Big) = \frac{Ka}{\pi}\sqrt{2g}\Big(t_0-t_f \Big)

Dado que se vacía el reservorio, h_f = 0 y que el experimento inicia en t₀=0, h₀ =h y t_f=t, la expresión se simplifica:

-\frac{4}{3}R h^{3/2} + \frac{2}{5} h^{5/2} = -\frac{Ka}{\pi} t \sqrt{2g}

a. Plantear el ejercicio para encontrar h para un t dado, muestre el intervalo de búsqueda y una gráfica.

b. Desarrolle usando el método de Newton-Raphson para tres iteraciones y tolerancia milimétrica.

c. Verifique el orden de convergencia y observe sus resultados usando el algoritmo.

Nota: la gravedad g tiene unidades de segundos, el tiempo de vaciado está en minutos.

Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), iteraciones y error (15 puntos), análisis de la convergencia (5 puntos). observación de resultados, algoritmo y gráficas adjuntos (5 puntos).

Referencia:
[1] Ejercicio 25.21 p765 y 5.17. p143 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.
[2] Vaciado de un tanque semiesférico. Tiempo total de vaciado. Demostración y aplicación. Sebastian Rodriguez

2023-11-222024-07-11

1Eva_2023PAOII_T3 aceleración en avión de acrobacias

1ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 21/Noviembre/2023

Tema 3. (30 puntos) Por medio del acelerómetro o sensor de fuerzas g de un avión se acrobacias se obtienen datos cada 5 segundos.

t	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
Aceleración (G)	1	1.2	1.3	2.5	4.5	3.2	1.4	0.0	-0.9	-1.0	0.2

Para un estudio detallados de la acrobacia realizada se requiere disponer de datos cada segundo
usando interpolación polinómica con el método de Lagrange.

a. Plantear el ejercicio describiendo los criterios a usar para el o los polinomios para el eje y.

b. Desarrolle el método sobre los puntos seleccionados con las expresiones completas desarrolladas con el algoritmo.

c. Presentar el polinomio resultante y la gráfica usando la resolución requerida para el estudio.

d. Encuentre el error obtenido entre el polinomio y el o los puntos de prueba de los datos no usados para generar el polinomio.

e. Adjunte los archivos: algoritmos.py, resultados.txt y gráfica.png del polinomio.

t = [0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50]
G = [1,1.2,1.3,2.5,4.5,3.2,1.4,0.0,-0.9,-1.0,0.2]

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos).

Referencias: [1] VUELO ACROBÁTICO. TDP Club. RTVE. 30 enero 2020

[2] High intensity aerobatic flying with C.J. Wilson and Kirby Chambliss. Red Bull. 6 mar 2014.

2023-11-222023-11-29

1Eva_2023PAOII_T2 Trayectoria de buque en puerto

1ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 21/Noviembre/2023

Tema 2. (40 puntos) El DPS (Dynamic Positioning System) controla automáticamente la posición y el rumbo de un barco usando propulsión activa mediante un ordenador y una variedad de sistemas y funciones.

En el caso de entradas a puertos comerciales de alto tráfico y limitado espacio se convierten el una herramienta indispensable para gestionar las recorridos de ingreso o salida.

Suponga que como primer paso para planificar una ruta de un barco de contenedores, minimizando el gasto de energía usando la inercia del barco se planifica una ruta siguiendo los puntos de marca indicados en la tabla.

Puntos referenciales para la ruta
x	0.1	2.0	4.0	5.0	7.0
y	1.0	8.0	0.0	-1.0	3.0

a. Plantee el ejercicio usando un polinomio de interpolación y un sistema de ecuaciones.

b. Establezca la forma matricial del sistema de ecuaciones (Vandermonde) y como matriz aumentada

c. De ser necesario realice el pivoteo parcial por filas

d. Use el método directo Gauss, desarrolle todas las expresiones de las operaciones que realiza el algoritmo numérico. Estime la tolerancia y justifique.

e. Comente sobre la convergencia del método si usara un método iterativo. (número de condición)

f. Adjunte los archivos: algoritmos.py, resultados.txt y gráfica.png del polinomio.

x = [0.1,2.0,4.0,5.0,7.0]
y = [1.0,8.0,0.0,-1.0,3.0]

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (15 puntos), literal e (5 puntos), literal f (5 puntos).

Referencia: [1] Gigante buque ingresa a las terminales portuarias de Guayaquil. El Universo. 18 Ene 2020. https://youtu.be/X5S9x53Z_mY?
[2] Reportan congestión de buques de carga en puertos de EE.UU. Noticias Telemundo. 22 sept 2021.

[3] Colisiones y errores de barcos jamás capturados en cámara. 21 oct 2023.

2023-11-222023-11-29

1Eva_2023PAOII_T1 GPR Radar penetrante de suelo

1ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 21/Noviembre/2023

Tema 1. (30 puntos) Radar penetrante o GPR (Ground Penetrating Radar) es el término general aplicado para mapear o cartografiar estructuras enterradas en el suelo.
El GPR se utiliza en muchas áreas como la localización de tuberías enterradas para servicios públicos, la evaluación del sitio en minas, excavaciones arqueológicas, medición del espesor de nieve o hielo para la gestión de pistas de esquí, etc.
Al emitir un pulso de radio hacia el suelo, la señal rebota al cambiar de medio y puede ser detectada en la superficie. Por lo que la distancia recorrida por la señal es de dos veces d.
Simplificando el ejercicio, considere la potencia de la señal recibida en el receptor en dB se expresa como:

RSSI(d)=-10\alpha log_{10}(d)+ P_0 ; d\gt0

Suponga que el coeficiente de atenuación del medio α = 4.5, P0 = – 20 y Rssi = -90, que la composición del suelo es uniforme y no existen pérdidas al rebotar sobre el material de la tubería mostrada en la gráfica.

a. Plantear el ejercicio para encontrar la profundidad a la que se encontraría la tubería usando el método de Newton-Raphson.

b. Describa el criterio para seleccionar un valor inicial de búsqueda y la tolerancia a usar en la solución.

c. Realice al menos tres iteraciones para el método indicado.

d. Realice observaciones sobre la convergencia del método.

e. Adjunte los archivos: algoritmos.py, resultados.txt y gráfica.png

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (3 puntos), literal c (12 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: [1] ¿Puedo predecir la profundidad de exploración?. Sensors&Software. https://www.sensoft.ca/es/blog/what-is-gpr/
[2] Te mostramos en realidad aumentada cómo son los túneles. Univisión Noticias. 16 oct 2023.

2023-07-052023-07-10

1Eva_2023PAOI_T3 Recoger los restos de sumergible

1ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 4/Julio/2023

Tema 3 (35 puntos) Suponga que se requiere planificar la operación de recolección de restos del accidente del sumergible ocurrido en junio del 2023 usando un robot autónomo sumergible.

Existen limitaciones debidas a la profundidad del lecho submarino, las fuertes corrientes que fluyen desde el oeste, limitada energía en las baterías del robot, etc.

El recorrido del robot se puede programar usando un polinomio para el intervalo de las coordenadas presentadas.

Se estima poder realizar tan solo dos recorridos desde el oeste hacia el este.

a. Plantee el ejercicio usando interpolación polinómica para realizar un recorrido para la recolección de restos, describiendo los criterios usados para la selección de los puntos.

b. Desarrolle un primer polinomio usando el método de diferencias divididas de Newton

c. Excluyendo los puntos usados en el literal anterior, desarrolle otro polinomio usando el método de Lagrange.

d. Grafique los resultados obtenidos para cada caso.

e. Determine el error de cada polinomio como la distancia entre cada punto por el que no pasa el polinomio y la coordenada equivalente en el polinomio. Realice observaciones a los resultados.

xi = np.array([0.2478, 0.6316, 1.3802, 2.4744, 2.7351, 2.8008,
               3.5830, 3.6627, 3.7213, 4.2796, 4.3757, 4.6794])
fi = np.array([1.8108, 0.1993, 4.7199, 2.4529, 2.3644, 3.5955,
               2.6558, 4.3657, 4.1932, 4.6998, 4.7536, 1.5673])

Nota: Los valores de la tabla se establecen para el ejercicio y no corresponden a una referencia publicada.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: [1] La Guardia Costera de EE.UU. anuncia una investigación oficial sobre la implosión del sumergible Titán. RTVE.es / EFE. 26.06.2023 https://www.rtve.es/noticias/20230626/eeuu-anuncia-investigacion-oficial-sumergible-titan/2450440.shtml

[2] Así será la recuperación de los restos del sumergible Titán, según un experto militar. CNN en Español. 23 jun 2023.

2023-07-052023-07-10

1Eva_2023PAOI_T2 Productos en combo por subida de precio

1ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 4/Julio/2023

Tema 2 (35 puntos) Un restaurante usa materia prima como: arroz, cebolla, papa, huevos, leche, etc.

Sin embargo los precios han presentado variaciones en el mercado presentando como causas: las lluvias fuertes, el fenómeno del niño, daños en las cosechas y variaciones en insumos por la guerra Ucrania.

Un proveedor mayorista ofrece “combo” de productos por un valor total registrado en varias semanas como:

	arroz [Kg]	cebolla [Kg]	papa [Kg]	huevo [docena]	Total Pagado [USD]
Semana 1	500	600	400	90	1660
Semana 2	800	450	300	100	1825
Semana 3	400	300	600	80	1430

Nota: Los valores de la tabla se establecen para el ejercicio y no corresponden a una referencia publicada.

Se requiere conocer el precio unitario de los insumos para estimar el presupuesto operativo semanal del restaurante.

a. Plantee el ejercicio usando los datos de la tabla. Considere justificar el uso de una variable libre.

b. Establezca la forma matricial del sistema de ecuaciones y como matriz aumentada

c. De ser necesario realice el pivoteo parcial por filas

d. Use el método iterativo de Gauss-Seidel, realizando al menos 3 iteraciones. Estime la tolerancia, y justifique.

e. Comente sobre la convergencia del método y justifique sus observaciones usando los errores entre iteraciones.

Nota: considere el precio de 50 USD para el quintal métrico (100Kg) de arroz, y precios menores del mismo orden de magnitud para los demás productos. La docena de huevo a 2,5 USD.

Rúbrica: literal a (2 puntos), literal b (5 puntos), literal c (3puntos), literal d (15 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: [1] Papa, arroz, huevos, cebolla y gas escasean en las islas Galápagos por problemas de abastecimiento. Eluniverso.com. 9 Junio 2023. https://www.eluniverso.com/noticias/ecuador/escasez-de-productos-en-islas-galapagos-persiste-nota/

[2] El Gobierno importará arroz para controlar que el precio no suba por especulación o escasez. Ecuavisa. 16 junio 2023. https://www.ecuavisa.com/noticias/ecuador/el-gobierno-importara-arroz-para-controlar-que-el-precio-no-suba-por-especulacion-o-escasez-CK5396253

[3] Estos son los alimentos de la canasta básica que se han encarecido por las lluvias. Ecuavisa. 05 junio 2023. https://www.ecuavisa.com/la-noticia-a-fondo/estos-son-los-alimentos-de-la-canasta-basica-que-se-han-encarecido-por-las-lluvias-FX5303236

[4] Cebolla, arroz, piña y tomate son los productos que han subido su precio en mercados de Quito. La Hora. Junio 23, 2023. https://www.lahora.com.ec/pais/cebolla-arroz-pina-y-tomate-son-los-productos-que-han-subido-su-precio-en-mercados-de-quito/

[5] Escasez de arroz ya se refleja en los mercados de Ecuador | Televistazo | Ecuavisa. 14 jun 2023

2023-07-052023-07-10

1Eva_2023PAOI_T1 Desacople de cohete de dos etapas

1ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 4/Julio/2023

Tema 1 (30 puntos) El 20 de abril del 2023 será recordado por SpaceX por ser el día en que Starship, el cohete totalmente re – utilizable más alto y más potente de la historia, consiguió alzar el vuelo.

Sin embargo, la nave ha explotado pocos minutos después de su despegue.

El sistema de lanzamiento es de dos etapas: la primera etapa impulsa el vehículo al momento del lanzamiento, en la segunda etapa el cohete propulsor se desacopla y la nave sigue su camino en solitario encendiendo otros seis motores.

Para el siguiente lanzamiento se usa la separación de etapas en caliente (hot staging), que arranca los motores de la etapa superior, o nave, mientras que la primera etapa, todavía está acoplada y funcionando.

Considere que la velocidad vertical de un cohete se calcula con la fórmula:

v = u \ln\Big(\frac{m_0}{m_0-qt}\Big) - gt

Donde:

v   = velocidad hacia arriba,
u   = 1870 m/s, velocidad a que se expele el combustible en relación con el cohete,
m₀ = 195 000 kg, masa inicial del cohete en el tiempo t = 0,
q    = 2 500 kg/s, tasa de consumo de combustible y
g    = 9.8 m/s2, aceleración de la gravedad

Si la segunda etapa debe iniciar cuando la velocidad del vehículo ha alcanzado los 800 m/s, encuentre el valor de tiempo cuando se debe iniciar el encendido de los seis motores de la nave.

a. Plantee el ejercicio a resolver usando un método numérico para búsqueda de raíces

b. Verifique el intervalo a usar

c. Desarrolle al menos tres iteraciones con todas las expresiones

d. Muestre la tolerancia y errores a considerar

e. Realice las observaciones de convergencia

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (2puntos), literal c (15puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: [1] En su reconstrucción de Starship, Spacex ha encontrado una inspiración sorprendente: el Soyuz soviético. 28 Junio 2023. https://www.xataka.com/espacio/spacex-se-prepara-para-volver-a-lanzar-starship-starship-grandes-cambios-que-recuerdan-al-soyuz-sovietico

[2] Los 4 minutos de gloria del cohete Starship. nationalgeographic.com.es 02 de mayo de 2023. https://www.nationalgeographic.com.es/ciencia/starship-primera-mision-cohete-mas-potente-historia_19780

[3] Starship Explosion Video: Watch Elon Musk’s Rocket Explode After Launch. Wall Street Journal. 20 abr 2023.

2022-11-252022-12-01

1Eva_2022PAOII_T3 Trayectoria de dron con polinomios

1ra Evaluación 2022-2023 PAO II. 22/Noviembre/2022

Tema 3. (30 puntos) La simulación de drones consiste en modelar el comportamiento de un dron o vehículo aéreo no tripulado (VANT) y evaluar su rendimiento en un entorno virtual.

La simulación es un paso importante en el desarrollo de drones y permite comprender la dinámica de los drones antes de fabricar los prototipos.

Para un ejemplo simplificado en 2D, se requiere obtener una trayectoria simulada por polinomios para el dron pase por las marcas de tiempo y su coordenada mostrada.

ti = [0, 1, 2, 3, 4]
xti = [2, 1, 3, 4, 2]
yti = [0, 1, 5, 1, 0]

a. Describa el planteamiento del ejercicio, justificando el grado del polinomio seleccionado.

b. Realice el desarrollo analítico para un eje de posición en el tiempo usando el método de interpolación de Lagrange.

c. Desarrolle con el algoritmo otro eje del literal b y muestre sus resultados.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), algoritmo y resultados.txt (5 puntos), gráfica (5 puntos)

Referencias: [1] Deep Drone Acrobatics (RSS 2020). UZH Robotics and Perception Group. 11 de junio 2020.

[2] Los nuevos robots y drones agrícolas simplificarán el trabajo en el campo. Euronews. 2 Septiembre 2019.