1raEva 2013-2014-2015 – Métodos numéricos

2017-11-152023-02-04

1Eva_IT2015_T4 Lingotes metales

1ra Evaluación I Término 2015-2016. 7/julio/2015. ICM00158

Tema 4. (25 puntos) Se tienen cuatro lingotes de 100 gramos, cada uno compuesto de la forma mostrada en la tabla.

Se requiere determinar el peso en gramos que debe tomarse de cada uno de los cuatro lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 100 gramos que contenga:

27 gramos de oro, 39.5 gramos de plata, 14 gramos de cobre y 19.5 gramos de estaño.

Composición (gramos)
	Oro	Plata	Cobre	Estaño
Lingote 1	20	50	20	10
Lingote 2	30	40	10	20
Lingote 3	20	40	10	30
Lingote 4	50	20	20	10

a) Plantee un modelo matemático para describir este problema

b) Describa un método numérico directo para encontrar la solución.
Muestre evidencia suficiente del uso del método numérico

c) Encuentre una cota para el error en la solución calculada y comente.

Rúbrica: literal a (7 puntos), literal b (10 puntos), literal c (8 puntos)

compuesto = np.array([[ 20, 50, 20, 10],
                      [ 30, 40, 10, 20],
                      [ 20, 40, 10, 30],
                      [ 50, 20, 20, 10]])
proporcion = np.array([ 27, 39.5, 14, 19.5])

2017-11-152023-02-04

1Eva_IT2015_T3 Temperatura en Placa

1ra Evaluación I Término 2015-2016. 7/julio/2015. ICM00158

Tema 3. (25 puntos) La distribución de temperatura de estado estable en una placa cuadrada, de 30 cm de lado y caliente está modelada por la ecuación de Laplace:

\frac{\delta ^2 T}{\delta x^2} + \frac{\delta ^2 T}{\delta y^2} =0

Se representa la placa por una serie de nodos que forman cuadrículas que indican la temperatura en dichos nodos.

Ya se ha calculado la temperatura en los nodos interiores de la placa, estos valores son:

T₁₁ = 106.25 
T₁₂ = 93.75 
T₂₁ = 56.25
T₂₂ = 43.75

Utilice un polinomio de grado tres en ambas direcciones para aproximar la temperatura en el centro de la placa.

	25ºC	25ºC
200ºC	T₁₂	T₂₂	0ºC
200ºC	T₁₁	T₂₁	0ºC
	75ºC	75ºC

Rúbrica: a) Interpolar en x=10, y=15 cm (7 puntos), b) Interpolar en x=20, y=15 cm (7 puntos), c) Interpolar en y=15, x=15 cm (11 puntos)

2017-11-152023-02-04

1Eva_IT2015_T2 Salida cardiaca

1ra Evaluación I Término 2015-2016. 7/julio/2015. ICM00158

Tema 2. (25 puntos) La salida cardiaca es el número de litros de sangre que el corazón bombea por minuto.

Para una persona en reposo, la tasa es de 5 a 6 litros por minuto.
Si se trata de un maratonista durante una carrera, la salida cardiaca puede ser tan elevada como 30 litros por minuto.

Se inyecta un colorante al torrente circulatorio de un paciente para medir su salida cardiaca, que es la tasa de flujo volumétrico de la sangre del ventrículo izquierdo del corazón.

Los datos siguientes muestran la respuesta de un individuo cuando se inyectan 5 mg de colorante en el sistema vascular.

Tiempo (s)	Concentración (mg/L)
2	0.0
6	1.5
9	3.2
12	4.1
15	3.4
18	2.0
20	1.0
24	0.0

a) Ajuste una curva polinómica de grado al menos 2.

b) Utilizando el polinomio anterior, interpole en todos los puntos de la tabla y estime el error

c) Utilice la función polinómica para aproximar la salida cardiaca del paciente mediante la fórmula:

\text{salida cardiaca} = \frac{\text{cantidad de colorante}}{\text{área bajo la curva}}

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos)

# Gráfica de datos experimentales:
t = np.array([2,6,9,12,15,18])
y = np.array([0,1.5,3.2,4.1,3.4,2.0])

2017-11-152023-02-04

1Eva_IT2015_T1 Demostrar convergencia; oferta y demanda

1ra Evaluación I Término 2015-2016. 7/julio/2015. ICM00158

Tema 1. (25 puntos)
a) Sea:

f ∈ C^∞[a, b] ,
∃p ∈ [a, b] ,
tal que f(p)=0 y 
f'(p) ≠ 0,

demuestre que existe un intervalo que contiene a p, tal que el método de Newton-Raphson converge para cualquier p₀ que pertenece a dicho intervalo.

b) El precio de demanda de un producto está modelado mediante la ecuación:

y = 10 e^{-x} + 4

y el precio de la oferta está modelado mediante la ecuación :

y = 10 x^{2} + 2

utilizando el método de Newton, plantee la ecuación y encuentre un intervalo de convergencia.

c) Encuentre el precio y demanda donde las curvas se interceptan (equilibrio).

Rúbrica: literal a 7 puntos, literal b (8 puntos), literal c (10 puntos)

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1Eva_IIT2014_T4 Conceptos

1ra Evaluación II Término 2014-2015. 9/Diciembre/2013. ICM00158

Tema 4. En cada enunciado complete la sentencia para que sea verdadera.

a) Si g es continua, g(x) pertenece al intervalo [a, b] y
……………………………………………………..
entonces existe p tal que g(p)=p y es único.

b) Sea la ecuación matricial x=Tx+c, si la norma de T es menor que 1, entonces,
……………………………………………………..

c) Si x₀, x₁, …, x_n son n+1 números distintos y
se tienen f(x_i) para i=0,1,2,…,n, entonces
……………………………………………………..,
con la propiedad de que f(x_k) = P(x_k) para cada k=0,1,2,…n. $P(x) = \sum_{k=0}^{n} f(x_k)L_k(x)$

2017-11-142023-02-04

1Eva_IIT2014_T3 Oxigeno y temperatura a nivel del mar

1ra Evaluación II Término 2014-2015. 9/Diciembre/2014. ICM00158

Tema 3.
Los siguientes datos definen la concentración de oxígeno disuelto a nivel del mar para agua dulce como función de la temperatura:

Temp (ºC)	0	8	16	24	32	40
Oxigeno (mg/L)	4.621	11.483	9.870	8.418	7.305	6.413

Estime Oxigeno(27) usando:

a. interpolación lineal,

b. polinomio de Lagrange a lo sumo de grado 2 y

c. polinomio de Lagrange de grado a lo sumo 3.

Observe que el resultado exacto es 7.986
Calcule el error para cada caso

Temp = [0.0, 8, 16, 24, 32, 40]
Oxigeno = [4.621, 11.483, 9.870, 8.418, 7.305, 6.413]

2017-11-142023-02-04

1Eva_IIT2014_T2 Componentes eléctricos

1ra Evaluación II Término 2014-2015. 9/Diciembre/2013. ICM00158

Tema 2. Un ingeniero eléctrico supervisa la producción de tres tipos de componentes eléctricos.

Para cada componente se se requieren tres clases de materiales:
metal 1, metal 2 y caucho.

Gramos por componente	Metal 1	Metal 2	Caucho
Componente 1	15	0.25	1.0
Componente 2	17	0.33	1.2
Componente 3	19	0.42	1.6

Se requieren disponer de componentes con el mismo desempeño, pero de menor tamaño y no se dispone de mas gramos de material que:

materiales = [2.63, 0.0534, 0.202]

a) Plantee el sistema de ecuaciones

b) Utilice el método de eliminación de Gauss para resolver el sistema

c) Encuentre la matriz de Jacobi y comente sobre la convergencia

d) Realice tres iteraciones con Gauss Seidel y estime el error de la segunda iteración.

e) Encuentre el número de condición y comente.

A = np.array([[15, 0.25, 1.0],
              [17, 0.33, 1.2],
              [19, 0.42, 1.6]])
B = np.array([2.63, 0.0534, 0.202])

2017-11-142023-10-13

1Eva_IIT2014_T1 Canal Triangular

1ra Evaluación II Término 2014-2015. 9/Diciembre/2013. ICM00158

Tema 1. Usted tiene que diseñar un canal triangular abierto para transportar una corriente de deshechos desde una planta química hasta un depósito de estabilización de desechos.

La velocidad media aumenta con el radio hidráulico,

$R_h = \frac{A}{P}$ ,

donde A es el área y P es el perímetro mojado de la sección transversal.

El perímetro mojado es la longitud
de los lados y fondo del canal que están bajo el agua

Como la razón del flujo máximo corresponde a la velocidad máxima, el diseño óptimo corresponde a un valor θ que maximice R_h. Considere d=1 unidad.

a) Encuentre un modelo para calcular R_h en función de θ.

b) Obtenga la ecuación para encontrar el máximo.

c) Encuentre un intervalo de existencia y un intervalo de convergencia tal que el método de Newton, y

d) Aproxime θ con una precisión de 0.0001.

Nota: Si no logra encontrar el modelo en el literal a) utilice la siguiente ecuación
$R_h= \frac{d \cos(\theta)}{2(1 + \cos (\theta))}$

Referencia: Chapra Problemas 16.11 p442 pdf466.

Siendo c la hipotenusa de un triángulo del canal, la formula queda en función de la profundidad del canal d.

p = w + 2c

\frac{w}{2} = c \cos (\theta)

d = c \sin (\theta)

c = \frac{d}{sin(\theta)}

\frac{w}{2} = \frac{d}{sin(\theta)} \cos(\theta)

w = 2d\frac{ \cos(\theta)}{sin(\theta)}

perimetro p es entonces:

p = 2d\frac{ \cos(\theta)}{sin(\theta)} + 2\frac{d}{sin(\theta)}

p = 2d\frac{ \cos(\theta)+1}{sin(\theta)}

continue calculando el área y encuentre la fórmula para el problema …