Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Tema 2. (25 Puntos) Considere el problema de valor inicial:
y'(t) = f(t,y) = \frac{y}{2t^3}0 ≤ t ≤ 1
y(0.5) = 1.5
a) Escriba la ecuación recursiva que permite aplicar el método de Taylor de orden de error p=2
b) Aproxime el valor de la solución para t= 0.6, 0.7, 0.8 usando el método de Runge-Kutta de orden 2.
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b, tres iteraciones (15 puntos)
Tema 1. (20 Puntos) En el conflicto presentado entre las urbanizaciones y canteras en vía a la costa, se menciona que se ha afectado al ecosistema al disminuir la vegetación en la zona.
Una forma de observar el cambio en la zona es medir el área ocupada por cada actor.
Para la observación considere que la superficie ocupada por las urbanizaciones y canteras se describe con los siguientes datos de frontera:
| xi | 55 | 85 | 195 | 305 | 390 | 780 | 1170 |
| f(xi) | 752 | 825 | 886 | 1130 | 1086 | 1391 | 1219 |
| xi | 55 | … | 705 | 705 | 850 | 850 | 1010 | 1170 |
| f(xi) | 260 | … | 260 | 550 | 741 | 855 | 855 | 1055 |
| xi | 720 | 800 | 890 | 890 | 1170 | 1220 |
| g(xi) | 527 | 630 | 630 | 760 | 760 | 533 |
| xi | 720 | … | 1220 |
| g(xi) | 0 | … | 0 |
Nota: Observe que los tamaños de paso no son todos regulares
Usando el método del trapecio, determine:
a) El área de operación de la cantera
b) El área ocupada por la urbanización
c) ¿Se puede mejorar la precición del cálculo de las áreas, sin quitar o aumentar datos? Justifique su respuesta e indique cómo y dónde.
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b(5 puntos), literal c: cómo (5 puntos), dónde(5 puntos)
Referencia: Google Maps Enero 2019.
Dos bosques cercados por el crecimiento de Guayaquil. 27- Julio-2014.
https://www.eluniverso.com/noticias/2014/07/27/nota/3282036/dos-bosques-cercados-urbe-que-crece
La remediación ambiental en vía a la costa tomará giro legal. 02-Enero-2020.
https://www.expreso.ec/guayaquil/remediacion-ambiental-via-costa-tomara-giro-legal-2518.html
Tema 3. (30 Puntos) Una placa rectangular de plata de 6×5 cm tiene calor que se genera uniformemente en todos los puntos, con una rapidez q = 1.5 cal/cm3 s.
Al representar con x la distancia a lo largo del borde de longitud 6 cm y con y la de 5 cm.
Suponga que la temperatura en los bordes se mantiene como se indica:
| u(x,0) = x(6-x) | u(x,5)=0 | 0≤x≤6 |
| u(0,y) = y(5-y) | u(6,y)=0 | 0≤y≤5 |
Donde el origen se encuentra en una esquina de la placa y los bordes se hayan a lo largo de los ejes positivos x, y.
La temperatura de estado estable u(x,y) satisface la ecuación de Poisson:
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x,y)+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2 } (x,y) = -\frac{q}{K}0≤x≤6
0≤y≤5
Donde K, la conductividad térmica es 1.04 cal/cm deg s.
a. Aproxime la temperatura u(x,y) en los nodos de la malla con hx =2, hy= 2.5
b. Exprese el término del error
Rúbrica: literal a expresiones (10 puntos), valor (10 puntos), literal b (5 puntos)
Referencia: Ejercicio 12.1.8, Burden 9Ed, p724.
Tema 2. (40 Puntos) Suponga que un péndulo tiene 0.6 m de Longitud, se desplaza θ desde la posición vertical de equilibrio.
a. Aproxime la solución de la ecuación para t = [0,1] con pasos de h=0.2
b. Aproxime el valor del error
Rúbrica: literal a, expresiones (20 puntos), valor (10 puntos), literal b (10 puntos)
Referencia: Ejercicio 5.9.8, Burden 9Ed, p338.
2Eva_IT2010_T2 Movimiento angular
Professor of Physics Emeritus Walter Lewin. Lec 11 | 8.01 Physics I: Classical Mechanics, Fall 1999.
El PÉNDULO SIMPLE NO es como te explicaron | Física y Matemáticas. Mates Mike
Tema 1. (30 Puntos) La conducción eléctrica del corazón se identifica en un electrocardiograma por segmentos de ondas P, R, T.
Mediante un sensor se obtuvo lecturas de un pulso cardiaco y se requiere obtener una medida del esfuerzo mediante el valor Xrms expresado como:
| t | 0.0 | 0.04 | 0.08 | 0.1 | 0.11 | 0.12 | 0.13 | 0.16 | 0.20 | 0.23 | 0.25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(t) | 10 | 18 | 7 | -8 | 110 | -25 | 9 | 8 | 25 | 9 | 9 |
a. Aproxime el valor Xrms usando el integral en todo el intervalo [0,0.25], minimice el error usando preferiblemente métodos de Simpson.
b. Estime la cota de error para el valor Xrms encontrado
Justifique sus respuestas escribiendo todas las expresiones
Rúbrica: literal a, expresiones (16 puntos), valor (8 puntos), literal b (6 puntos)
t = np.array([0.0,0.04,0.08,0.1,0.11,0.12,0.13,0.16,0.20,0.23,0.25]) ft = np.array([10.0, 18, 7, -8, 110, -25, 9, 8, 25, 9, 9])
Referencia: Valor cuadrático medio, https://es.wikipedia.org/wiki/Media_cuadr%C3%A1tica
Sensor de pulso cardiaco arduino, http://blog.espol.edu.ec/edelros/pulso-cardiaco/
Tema 3. (40 puntos) Resuelva la siguiente ecuación diferencial parcial (EDP) usando un método de diferencias finitas. Considere b = 0
\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + b\frac{\partial u}{\partial x} 0<x<1, t>0condiciones de frontera U(0,t)=0, U(1,t)=1
condiciones de inicio U(x,0)=0, 0≤x≤1
a) Aproxime la solución con h=0.25, realice dos pasos en t
b) estime el error.
Rúbrica: Plantea la malla (5 puntos), Conoce las fórmulas de las derivadas (5 puntos), Plantea la ecuación en los nodos de la malla (5 puntos), plantea las condiciones iniciales y condiciones de borde (5 puntos), Establece el valor de lamda y calcula el tamaño del paso k, (5 puntos) Realiza dos pasos (5 puntos), Conoce las fórmulas del error (5 puntos), calcula el error (5 puntos).
Tema 2. (30 puntos) Se tiene una ecuación diferencial de segundo orden con valores inciales.
\frac{\delta ^2 x}{\delta t^2} + 5t\frac{\delta x}{\delta t} +(t+7)\sin (\pi t) = 0 0<t<2 x(0)=6,\frac{\delta x}{\delta t}(0) = 1.5a) Transforme la ecuación en un sistema de primer orden.
b) Use el método de Runge-Kutta de orden 2 (modificado de Euler) con h=0.2 para aproximar x para 3 pasos.
c) Estime el error.
Rúbrica: literal a, aplica el cambio de variables (5 puntos).
literal b, Conoce una fórmula de RK2orden (5 puntos). Plantea la fórmula de RK2 orden al sistema (5 puntos). Realiza al menos 3 pasos (5 puntos).
literal c, conoce las fórmulas del error hasta (5 puntos), calcula el error hasta (5 puntos)
Tema 1. (30 puntos) La integración proporciona un medio para calcular cuánta masa entra o sale de un reactor químico durante un periodo específico de tiempo. 
t : min
C(t) : mg/m3
Q(t) : m3/min
a) Con los datos mostrados en la tabla y usando los métodos de Simpson 1/3 y 3/8, aproxime la cantidad de masa que sale de un reactor entre t1=0 y t2=25 min.
| t | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| C(t) | 10 | 18 | 27 | 35 | 40 | 30 |
| Q(t) | 4 | 6 | 7 | 6 | 5 | 5 |
b) Estime el error
Rúbrica: Conoce los métodos de Simpson hasta (5 puntos), Calcula la función a integrar hasta (5 puntos), Separa los intervalos hasta (5 puntos), Aplica las fórmulas correctamente hasta (5 puntos). Literal b, conoce las fórmulas del error (5 puntos), calcula los errores (5 puntos)
Referencia: Chapra problema 24.4 p693 pdf717. Reactor químico, https://es.wikipedia.org/wiki/Reactor_qu%C3%ADmico
t = [0,5,10,15,20,25] C = [10,18,27,35,40,30] Q = [4,6,7,6,5,5]
Tema 4. (30 puntos) Para una sección de 500 m del acceso marítimo a los puertos de Guayaquil se requiere de un canal con:
de tal foma que permita navegar buques de carga de mayor tamaño.
Dispone de las mediciones de profundidad mostradas en la tabla de batimetría:
| yi \ xi | 0 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 |
| 0 | -6.79 | -12.03 | -10.04 | -11.60 | -7.24 | -7.91 |
| 100 | -8.85 | -10.89 | -8.95 | -7.23 | -11.42 | -7.93 |
| 200 | -11.90 | -9.86 | -9.35 | -12.05 | -9.38 | -9.65 |
| 300 | -7.30 | -11.55 | -10.41 | -8.67 | -11.84 | -6.77 |
| 400 | -12.17 | -9.62 | -7.47 | -6.51 | -9.02 | -9.60 |
| 500 | -11.90 | -10.23 | -10.68 | -9.94 | -6.76 | -7.46 |
a) Obtenga la tabla de dragado como la diferencia entre la profundidad del canal requerido y la tabla de batimetría.
b) Estime el volumen de sedimentos a remover por la draga usando integración por el método de Simpson.
Nota: Si el fondo está más alla de los 11 metros, no se requiere la intervención de la draga.
Rúbrica: literal a (5 puntos), selección apropiada del método por rango, aplicación en un eje (15 puntos), integración en el otro eje (5 puntos), presentar las iteraciones correctamente (5 puntos)
MLWS: Nivel Medio de las Bajamares de Sicigia / nivel de referencia.
Batimetría: es el levantamiento del relieve de Superficies Subacuáticas
Referencias: El dragado del canal a los puertos de Guayaquil se anunciará el 26 de marzo del 2018. El comercio. 21/03/2018. https://www.elcomercio.com/actualidad/dragado-canal-puertos-guayaquil-jaimenebot.html.
Calado de puertos. El universo. 2013.08.16 https://www.eluniverso.com/noticias/2013/08/16/nota/1294716/calado-puertos-region-llega-138-m,
Operación Draga: https://www.youtube.com/watch?v=goDq5Ypk–c
profcanal = 11
xi = np.array([ 0., 50., 100., 150., 200., 250.])
yi = np.array([ 0., 100., 200., 300., 400., 500.])
batimetria = [[ -6.79,-12.03,-10.04,-11.60, -7.24,-7.91],
[ -8.85,-10.89, -8.95, -7.23,-11.42,-7.93],
[-11.90, -9.86, -9.35,-12.05, -9.38,-9.65],
[ -7.30,-11.55,-10.41, -8.67,-11.84,-6.77],
[-12.17, -9.62, -7.47, -6.51, -9.02,-9.60],
[-11.90,-10.23,-10.68, -9.94, -6.76,-7.46]]
batimetria = np.array(batimetria)
Tema 3. (25 puntos) Considere el problema con valores en la frontera:
\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 2(x^2+y^2) 0<x<1 0<y<1con las condiciones de frontera en los mismos intervalos que la ecuacion diferencial:
u(x,0) = x + 1 u(0,y) = y+1 u(x,1) = x^2 + x +2 u(1,y) = y^2 + y +2Use el método de diferencias finitas para resolver el problema tomando como tamaño de paso hx = hy = 1/3
Rúbrica: Selección de diferencias finitas divididas, gráfica del problema (5 puntos), ecuación generalizada con diferencias finitas divididas (5 puntos), Sistema de ecuaciones para los puntos desconocidos (10 puntos). Valores de los puntos desconocidos (5 puntos)