Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Tema 2. Use un método de Runge Kutta para sistemas y aproxime la solución de la siguiente EDO de orden superior
y'''+ 2y'' - y'- 2y = e^t0 ≤ t ≤ 1
y(0) = 1
y'(0) = 0
y''(0) = 0
con h = 0.25
Tema 1. La razón de crecimiento específico g de una levadura que produce un antibiótico es una función de la concentración del alimento c,
g = \frac{2c}{4+0.8c + c^2 +0.2 c^3}
Como se ilustra en la figura, el crecimiento parte de cero a muy bajas concentraciones debido a la limitación de alimento.
También parte de cero en altas concentraciones debido a los efectos de toxicidad.
a) Encuentre el valor de c para el cual el crecimiento es un máximo.
b) Evalúe la función g del problema 1 para c=0,1,2,3, y encuentre el trazador cúbico natural para aproximar el máximo de g, encuentre el error.
Tema 4. Dados los puntos x0, x1 y x2, con h constante y sus respectivas imágenes.
Deduzca la fórmula central de orden 2 para aproximar la segunda derivada en el punto x1 y estime el error.
Tema 3. La ecuación de Poisson se puede escribir en tres dimensiones como
\frac{\partial ^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 T}{\partial z^2} = f(x, y ,z)a. Plantee las Temperaturas dentro de un cubo unitario con condiciones de frontera cero y f = -10. Utilice Δx = Δy = Δz = 1/3
b. Utilice el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema en el literal a, (realice tres iteraciones y estime el error)
Tema 2. Use cuadratura de Gauss de 2 términos tanto para el sentido en x como en y para aproximar la integral
I= \int_0^1 \int_0^1 e^{x^2+y^2} \delta y \delta xa) Usando n=1 y m=1 (intervalos)
b) Usando n=2 y m=2 (intervalos)
Siendo n y m, el número de intervalos o tramos en el rango de cada eje.
Tema 1. El problema con valor de frontera
y'' = y'+ 2y+ cos(x)0 ≤ x ≤ π/2
y(0) = -0.3
y(π/2) = -0.1
a) Aproxime usando las diferencias finitas con h = π/4 y estime el error.
b) Aproxime usando las diferencias finitas con h = π/8 y estime el error.
Tema 3. La ecuación de advección-difusión se utiliza para calcular la distribución de la concentración que hay en el lado largo de un reactor químico rectangular,
\frac{\partial c}{\partial t} = D \frac{\partial^2c}{\partial x^2} - U\frac{\partial c}{\partial x} - kcDonde:
c=concentración (mh/m3),
t= tiempo (min),
D=coeficiente de difusión (m2/min),
x= distancia a lo largo del eje longitudinal del tanque (m),
donde x=0 en la entrada del tanque,
U =velocidad en la dirección de x (m/min) y
k = tasa de reacción (1/min) con la que el producto químico se convierte en otro.
Desarrolle un esquema explícito para resolver esta ecuación en forma numérica. Pruébela para k=0.15, D=100 y U=1, para un tanque con una longitud de 10 m. Use Δx=1 m, y un Δt=0.005.
Suponga la concentración del flujo de entrada es de 100 y la concentración inicial en el tanque es de cero.
Realice la simulación de t=0 a 100 y grafique las concentraciones en cada tiempo versus x. (Solo dos iteraciones)
Tema 2. Sea P(t) el número de individuos de una población en el tiempo t, medido en años. 
Si la tasa de natalidad promedio b es constante y la tasa de mortalidad d es proporcional al tamaño de la población (debido a la sobrepoblación), entonces la tasa de crecimiento demográfico estará dada por la ecuación logística
\frac{\delta P(t)}{\delta t} = b P(t) - k[P(t)]^2donde d = k P(t).
Suponga que P(0) = 50976, b = 2.9×10-2 y que k = 1.4×10-7.
Calcule la población después de 2 años, use h = 0.5 años y el método de Taylor de orden 2. Estime el error.
Referencias:
Tema 1. El área de la superficie descrita por z=f(x,y) para (x,y) en R está dada por
\int_R \int \sqrt{\big[f_x(x,y) \big]^2 + \big[f_y(x,y) \big]^2 +1} \text{ } \delta AAproxime el valor de la integral con el método de Simpson 1/3 en ambas direcciones con n = m = 2, para el área de la superficie en el hemisferio
x2 + y2 + z2 = 9,
z ≥ 0
que se encuentra arriba de la región R en el plano descrito por
R={(x,y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
Tema 4. Deducir el método de diferencias finitas para el problema de valor de frontera:
y''= p(x) y' + q(x) y + r(x) a\leq x \leq b y(a)= \alpha y(b)= \betaPara las derivadas, usar las fórmulas de diferencia centrada. Las funciones son continuas en [a,b].