Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Ejercicios de examen
Tema 3. (20 puntos) Se conocen los valores de una función en los siguientes puntos
f(1) = 0.75 f(1.5) = 1.34375 f(2) = 2.5 f(2.25) = 3.34765625 f(2.5) = 4.40625 f(3) = 7.25
Aproximar con el método de Lagrange, p3(x)
xi = [1, 1.5, 2, 2.25, 2.5, 3] fi = [0.75, 1.34375, 2.5, 3.34765625, 4.40625, 7.25]
Tema 2. (20%) Dado el siguiente sistema:
\begin{cases}2x_1+2x_2-x_3+x_4=4\\4x_1+3x_2-x_3+2x_4=6\\8x_1+5x_2-3x_3+4x_4=12\\3x_1+ 3x_2-2x_3+2x_4=6\end{cases}a) Resolver el sistema con un método directo
b) ¿Es posible resolver este sistema con el método iterativo de Jacobi?
Si su respuesta es afirmativa, resuélvalo con una tolerancia de 10-2, con X(0)=0
Si su respuesta es negativa, justifique su conclusión.
A = np.array([[2,2,-1,1],
[4,3,-1,2],
[8,5,-3,4],
[3,3,-2,2]])
B = np.array([[4.0],
[6],
[12],
[6]])
tolera = 0.01
Tema 1. (30 puntos). Determine de ser posible, los puntos de la curva
y=ln(x)para x>0, más cercanos al origen de coordenadas.
a) Plantee la ecuación que permita resolver matemáticamente el problema.
b) Determine de ser posible un intervalo de la solución a la ecuación planteada en el literal anterior.
c) Aproxime la solución numérica de la ecuación planteada, empleando el método de Newton-Raphson con tolerancia de 10−6. Mostrar la tabla de resultados respectiva.
d) Escriba las coordenadas del punto encontrado: (x,y)
Tema 3. En el problema anterior, la empresa ha decidido fabricar un producto adicional D con la siguiente composición y con la misma cantidad de insumos disponibles semanales.
Sea t la cantidad del producto D que se producirá semanalmente (t≥0)
| Insumo1 | Insumo2 | Insumo3 | |
| Producto D | 3 | 2 | 2 |
a) encuentre el conjunto solución para x, y ,z, en términos de la variable independiente t
b) Encuentre el rango de producción posible del producto D, y con éste rango encuentre el rango de producción posible para los otros tres productos.
Tema 2. 
Una empresa produce semanalmente 3 tipos de productos, los insumos que requiere cada unidad producida se indican en la siguiente tabla:
| Insumo1 | Insumo2 | Insumo3 | |
|---|---|---|---|
| Producto A | 2 | 3 | 5 |
| Producto B | 5 | 2 | 7 |
| Producto C | 2 | 1 | 4 |
La cantidad de insumos que debe utilizarse exactamente cada semana es:
| Insumo1 | Insumo2 | Insumo3 |
|---|---|---|
| 200 | 150 | 400 |
Sean x, y, z, la cantidad de productos A,B,C respectivamente, producida semanalmente (x≥0, y≥0, z≥0)
a) Plantee un sistema de ecuaciones
b) Utilice el método de eliminación de Gauss y encuentre la solución.
c) Incremente en 0.1 el primer coeficiente de la matriz. Resuelva nuevamente el sistema y comente acerca del cambio en la solución respecto al cambio en la matriz de coeficientes.
Tema 1. Para que f(x) sea una función de probabilidad, se tiene que cumplir que su integral en el dominio de x debe tener un valor igual a 1.
Encuentre el valor de b para que la función
f(x) = 2 x^2+xsea una función de probabilidad en el dominio [0,b].
Use la fórmula de Newton en la ecuación no lineal resultante. error tolerado=0.0001
Tema 3. Sea f \in C^{4}[0,1] , tal que
f(0.50) = 1.648
f(0.65) = 1.915
f(0.80) = 2.225
f(0.95) = 2.5857
Usando el polinomio interpolante de Lagrange, aproxime:
f(0.76)
f(0.87)
datos = [[0.50, 1.648],
[0.65, 1.915],
[0.80, 2.225],
[0.95, 2.5857]]
Tema 2. Considere el sistema AX = B dado por
\begin{cases} -2x+5y+9z=1\\7x+y+z=6\\-3x+7y-z=-26\end{cases}Arregle el sistema de tal manera que la diagonal de A sea estrictamente dominante.
a) Calcular el valor de ||T||∞
b) Escribir el algoritmo de Gauss-Seidel.
c) Dado X(0) = 0, iterar hasta que
\frac{||X^{(k)} - X^{(k-1)}||}{||X^{(k)}||} \lt 10^{-4}Escriba una tabla de resultados.
A = np.array([[-2, 5, 9],
[ 7, 1, 1],
[-3, 7,-1]])
B = np.array([1,6,-26])
Tema 1. Se requiere aproximar el punto de la curva dada por
y=2x^{5}-3xe^{-x}-10ubicado en el tercer cuadrante, donde su recta tangente sea paralela al eje X.
Determine:
a) La ecuación que corresponda a la solución del problema.
b) Un intervalo donde exista la solución requerida. Justifique su respuesta.
c) La aproximación de la solución, usando el método de Newton, con una tolerancia de 10-6.
Tema 2. Una empresa compra tres materiales A, B, C 
en cantidades en kg como se indica en el cuadro.
Se dispone de tres facturas en las que consta el total pagado en dólares, excepto en la segunda factura:
| Factura | A | B | C | Total |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 5 | 4 | 35 |
| 2 | 3 | 9 | 8 | k |
| 3 | 5 | 3 | 1 | 17 |
a) Construya el modelo matemático para resolver este problema.
b) Con el método de Gauss-Jordan encuentre la solución en función de k.
c) Luego de resolver el sistema, nos comunican que el valor pagado en la segunda factura es 65 dólares. Sustituya en la solución anterior y encuentre la solución exacta.
d) Para verificar que la solución es confiable, en la matriz de coeficientes sustituya 5 por 5.1 y obtenga nuevamente la solución con k=65 y el método anterior. Compare con la solución anterior y comente el resultado obtenido.
e) Encuentre el error relativo de la solución y compare con el error relativo de la matriz. Comente acerca del tipo de sistema.
A = np.array([[2,5,4],
[3,9,8],
[5,3,1]])
B = np.array([[35],
[65],
[17]])