1ra Evaluación II Término 2014-2015. 9/Diciembre/2013. ICM00158
Tema 1. Usted tiene que diseñar un canal triangular abierto para transportar una corriente de deshechos desde una planta química hasta un depósito de estabilización de desechos.
La velocidad media aumenta con el radio hidráulico,
R_h = \frac{A}{P},
donde A es el área y P es el perímetro mojado de la sección transversal.
El perímetro mojado es la longitud
de los lados y fondo del canal que están bajo el agua
Como la razón del flujo máximo corresponde a la velocidad máxima, el diseño óptimo corresponde a un valor θ que maximice Rh. Considere d=1 unidad.
a) Encuentre un modelo para calcular Rh en función de θ.
b) Obtenga la ecuación para encontrar el máximo.
c) Encuentre un intervalo de existencia y un intervalo de convergencia tal que el método de Newton, y
d) Aproxime θ con una precisión de 0.0001.
Nota: Si no logra encontrar el modelo en el literal a) utilice la siguiente ecuación R_h= \frac{d \cos(\theta)}{2(1 + \cos (\theta))}
Referencia: Chapra Problemas 16.11 p442 pdf466.
Siendo c la hipotenusa de un triángulo del canal, la formula queda en función de la profundidad del canal d.
p = w + 2c \frac{w}{2} = c \cos (\theta) d = c \sin (\theta) c = \frac{d}{sin(\theta)} \frac{w}{2} = \frac{d}{sin(\theta)} \cos(\theta) w = 2d\frac{ \cos(\theta)}{sin(\theta)}
perimetro p es entonces:
p = 2d\frac{ \cos(\theta)}{sin(\theta)} + 2\frac{d}{sin(\theta)} p = 2d\frac{ \cos(\theta)+1}{sin(\theta)}
continue calculando el área y encuentre la fórmula para el problema …
1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM02188 Métodos Numéricos
TEMA 3. (35 puntos) Con los mismos datos de las matrices T y D del problema anterior, se decide resolver el sistema mediante el método de Gauss-Jordan, para lo cual la ecuación inicial X = TX + D se la reescribe en la siguiente forma:
(I – T)X = D
en donde I es la matriz identidad.
a) Obtenga la solución transformando la matriz de coeficientes I – T aumentada con el vector D.
Adjunte adicionalmente una matriz identidad que al ser transformada simultáneamente proporcione la inversa de la matriz de coeficientes
b) Calcule el número de condición de la matriz de coeficientes y comente al respecto. Use la norma de fila.
1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM02188 Métodos Numéricos
TEMA 2. (35 puntos) La matriz insumo-producto propuesto por W. Leontief, es un modelo muy importante en Economía.
En ésta matriz se describe la producción de los diferentes sectores económicos y la demanda interna para satisfacer a estos mismos sectores, expresada como una fracción de su producción.
Ejemplo: Suponga que hay tres sectores A: agricultura, M: manufactura S: servicios
y su demanda interna es:
Matriz T
Producción
A
M
S
Demanda
A
0.40
0.03
0.02
Interna
M
0.06
0.37
0.10
S
0.12
0.15
0.19
Sea T el nombre de esta matriz.
Para los datos propuestos, en la primera columna de la matriz T, el sector A requiere 0.4 de su propia producción, 0.06 del sector M, y 0.12 del sector S, etc.
Sea D el vector de demanda externa de cada sector, y X el vector de la producción total de cada sector, requerida para satisfacer las demandas interna y externa:
D = \begin{pmatrix} 80\\ 140\\200 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\x3 \end{pmatrix}
en donde x1, x2, x3 representan la producción total de cada sector.
Entonces la ecuación X = TX + D proporciona la producción total X para satisfacer las demandas externa e interna.
a) Formule un método iterativo en notación vectorial para usar la ecuación anterior. Indique cual es el nombre de la matriz T. Analice esta matriz y determine si el método iterativo es convergente.
b) Comience con un vector inicial X = [200, 200, 200]T realice las iteraciones necesarias hasta que la norma de la diferencia entre dos vectores consecutivos sea menor a 1.
b) ¿Es posible resolver este sistema con el método iterativo de Jacobi?
Si su respuesta es afirmativa, resuélvalo con una tolerancia de 10-2, con X(0)=0
Si su respuesta es negativa, justifique su conclusión.
A = np.array([[2,2,-1,1],
[4,3,-1,2],
[8,5,-3,4],
[3,3,-2,2]])
B = np.array([[4.0],
[6],
[12],
[6]])
tolera = 0.01
1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM00158
Tema 1. (30 puntos). Determine de ser posible, los puntos de la curva
y=ln(x)
para x>0, más cercanos al origen de coordenadas.
a) Plantee la ecuación que permita resolver matemáticamente el problema.
b) Determine de ser posible un intervalo de la solución a la ecuación planteada en el literal anterior.
c) Aproxime la solución numérica de la ecuación planteada, empleando el método de Newton-Raphson con tolerancia de 10−6. Mostrar la tabla de resultados respectiva.
d) Escriba las coordenadas del punto encontrado: (x,y)
