Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Tema 1. Use el método de Runge Kutta de 2do orden (Euler Mejorado) para sistemas de ecuaciones y aproxime la solución de la EDO de orden superior
\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin (\theta) = 0 \theta (0) = \frac{\pi}{6}, \theta '(0) =0Suponga que g=9.8 y L=2
a) Plantee la formulación para 0 ≤t≤2, h=0.1
b) Calcule el ángulo para t=1, usando h=0.25
c) Estime el error (solo la fórmula del error para Euler Mejorado)
Tema 3. (30 puntos) Use el método de diferencias progresivas para aproximar la solución de la siguiente ecuación diferencial parcial parabólica:
\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{1}{\pi ^2} \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} =00 ≤ x ≤ 1, t>0
condiciones de borde: u(0,t) = u(1,t) = 0, t>0,
condiciones iniciales u(x,0) = cos(π(x-0.5)), 0 ≤ x ≤ 1
a) Use dx = 0.2 y dt = 0.01. Realize 3 pasos en el tiempo.
b) Estime el error.
c) Calcule la temperatura promedio para t=0 como el área bajo la curva, mediante el método de Simpson. Repita para t=0.01 y calcule el porcentaje que disminuye.
Rúbrica: Construir la malla hasta 5 puntos, plantear la ecuación en el nodo i,j hasta 5 puntos, calcular el estimado de u(i,j) hasta la tercera fila hasta 5 puntos, calcular la temperatura media estimada hasta 5 puntos.
Tema 2. (40 puntos)
a) Usando un polinomio de grado dos obtenga una fórmula central para la primera derivada y otra para la segunda derivada (la tabla tiene al menos 3 nodos, xi-1, xi, xi+1 )
b) Use el método de diferencias finitas para aproximar la solución al siguiente problema con valor de frontera:
y'' = -3y'+2y+2x+30 ≤ x ≤ 1
y(0) = 2
y(1) = 1
use h = 0.25
c) Estime el error
Rúbrica: Plantear un polinomio hasta 5 puntos, deducir la fórmula de la primera derivada hasta 5 puntos, deducir la fórmula de la segunda derivada hasta 5 puntos, plantear el error en las fórmulas hasta 5 puntos. Indicar los nodos en el intervalo hasta 5 puntos, plantear la ecuación en el nodo i hasta 5 puntos, resolver el sistema hasta 5 puntos y estimar el error hasta 5 puntos.
Tema 1. (30 puntos) El movimiento de un sistema acoplado masa-resorte está descrito por la ecuación diferencial ordinaria que sigue:
Donde:
x = el desplazamiento desde la posición de equilibrio (m),
t = tiempo (s),
m = 20 kg masa,
c = 5 (N s/m) coeficiente de amortiguamiento (sub_amortiguado) y
k = 20 (N/m) constante del resorte
La velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial es 1 m.
a) Resuelva esta ecuación con un método numérico para 0<= t <= 15 s, (solo planteo)
b) Realice 3 iteraciones con h=0.1 s
c) Estime el error acumulado en la tercera iteración.
Rúbrica: Plantear el sistema 5 hasta puntos, Plantear el modelo del método numérico hasta 10 puntos, Realizar 3 iteraciones hasta 10 puntos y estimar el error hasta 5 puntos.
Tema 4. Bono: Deduzca la fórmula de la derivada de y(x1) en función de y(x0), y(x1) y y(x2) considerando h constante.
Tema 3. Si se drena agua desde un tanque cilíndrico vertical por medio de abrir una válvula en la base, el líquido fluirá rápido cuando el tanque está lleno y disminuye el flujo a medida que se drene. 
Como se ve, la tasa a la que el nivel del agua disminuye es:
\frac{dy}{dt} = -k \sqrt{y}Donde k es una constante que depende de la forma del agujero y del área de la sección transversal del tanque y agujero del drenaje. La profundidad del agua del agua se mide en metros y el tiempo t en minutos.
Si k=0.06,
a) Determine en que tiempo la altura del nivel del agua llega a la mitad del nivel inicial que es 3 m. (Solo formule el método de Taylor de orden 2)
b) Realice 3 pasos con h=0.5 min
Tema 2. En una bodega de 4 m x 6m, hay una montaña de cacao seco listo para empaque. 
La tabla indica la altura en metros de la montaña sobre el nodo en el plano medido al centímetro más cercano.
| f(x,y) | x=0 | x=1 | x=2 | x=3 | x=4 |
| y=0 | 0.38 | 0.62 | 0.38 | 0.08 | 0.01 |
| y=1.5 | 1.31 | 2.16 | 1.31 | 0.29 | 0.02 |
| y=3 | 1.02 | 1.68 | 1.02 | 0.23 | 0.02 |
| y=4.5 | 0.18 | 0.29 | 0.18 | 0.04 | 0.00 |
| y=6 | 0.01 | 0.01 | 0.01 | 0.00 | 0.00 |
Use el método de Simpson 1/3 en ambas direcciones para aproximar el volumen V:
a) Realice la formulación del método indicando los puntos de la cuadrícula.
b) Estime la cota del error propagado y error total
Rúbrica: Planteamiento del problema (5 puntos), selección de método minimizando cotas de error (5 puntos), integración en un eje (5 puntos), integración en el otro eje (5 puntos), Estimación de errores (5 puntos)
x = [ 0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0]
y = [ 0.0, 1.5, 3.0, 4.5, 6.0]
fxy = [[0.38, 0.62, 0.38, 0.08, 0.01],
[1.31, 2.16, 1.31, 0.29, 0.02],
[1.02, 1.68, 1.02, 0.23, 0.02],
[0.18, 0.29, 0.18, 0.04, 0.00],
[0.01, 0.01, 0.01, 0.00, 0.00]]
Tema 1. El coeficiente de Gini es una medida para medir la desigualdad.
G=\frac{a}{a+b}
Donde b es el área bajo la curva de Lorentz (Porcentaje de ingresos de las personas que menos ganan f(x) versus porcentaje de la población x, a + b = 0.5
Suponga que una población tiene los siguientes ingresos:
| segmento (%) | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
| Ingresos ($) | 10000 | 20000 | 25000 | 30000 | 85000 |
a) Calcule los porcentajes acumulados y construya la función f(x) en función de x
(Curva de Lorentz)
b) Aproxime b = \int_0^1 f(x) dx mediante el método del trapecio,
c) Estime el error
segmento = [ 20, 20, 20, 20, 20] ingresos = [ 10000, 20000, 25000, 30000, 85000]
Referencia: El coeficiente Gini, a partir del minuto 5:00, durante al menos 9:00
País de desigualdad (1/3) | DW Documental