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3Eva_IT2015_T3 Poisson 3D

3ra Evaluación I Término 2015-2016. 22/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 3. La ecuación de Poisson se puede escribir en tres dimensiones como

\frac{\partial ^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 T}{\partial z^2} = f(x, y ,z)

a. Plantee las Temperaturas dentro de un cubo unitario con condiciones de frontera cero y f = -10. Utilice Δx = Δy = Δz = 1/3

b. Utilice el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema en el literal a, (realice tres iteraciones y estime el error)

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3Eva_IT2015_T2 Aproximar integral

3ra Evaluación I Término 2015-2016. 22/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 2. Use cuadratura de Gauss de 2 términos tanto para el sentido en x como en y para aproximar la integral

I= \int_0^1 \int_0^1 e^{x^2+y^2} \delta y \delta x

a) Usando n=1 y m=1 (intervalos)
b) Usando n=2 y m=2 (intervalos)

Siendo n y m, el número de intervalos o tramos en el rango de cada eje.

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3Eva_IT2015_T1 Valor de Frontera

3ra Evaluación I Término 2015-2016. 22/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 1. El problema con valor de frontera

y'' = y'+ 2y+ cos(x)

0 ≤ x ≤ π/2

y(0) = -0.3
y(π/2) = -0.1

a) Aproxime usando las diferencias finitas con h = π/4 y estime el error.

b) Aproxime usando las diferencias finitas con h = π/8 y estime el error.

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3Eva_IIT2014_T3 Advección-difusión

3ra Evaluación II Término 2014-2015. 10/Marzo/2015. ICM00158

Tema 3. La ecuación de advección-difusión se utiliza para calcular la distribución de la concentración que hay en el lado largo de un reactor químico rectangular,

\frac{\partial c}{\partial t} = D \frac{\partial^2c}{\partial x^2} - U\frac{\partial c}{\partial x} - kc

Donde:
c=concentración (mh/m3),
t= tiempo (min),
D=coeficiente de difusión (m2/min),
x= distancia a lo largo del eje longitudinal del tanque (m),

donde x=0 en la entrada del tanque,
U =velocidad en la dirección de x (m/min) y
k = tasa de reacción (1/min) con la que el producto químico se convierte en otro.

Desarrolle un esquema explícito para resolver esta ecuación en forma numérica. Pruébela para k=0.15, D=100 y U=1, para un tanque con una longitud de 10 m. Use Δx=1 m, y un Δt=0.005.

Suponga la concentración del flujo de entrada es de 100 y la concentración inicial en el tanque es de cero.

Realice la simulación de t=0 a 100 y grafique las concentraciones en cada tiempo versus x. (Solo dos iteraciones)

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3Eva_IIT2014_T2 Crecimiento demográfico

3ra Evaluación II Término 2014-2015. 10/Marzo/2015. ICM00158

Tema 2. Sea P(t) el número de individuos de una población en el tiempo t, medido en años.

Si la tasa de natalidad promedio b es constante y la tasa de mortalidad d es proporcional al tamaño de la población (debido a la sobrepoblación), entonces la tasa de crecimiento demográfico estará dada por la ecuación logística

\frac{\delta P(t)}{\delta t} = b P(t) - k[P(t)]^2

donde d = k P(t).

Suponga que P(0) = 50976, b = 2.9×10-2 y que k = 1.4×10-7.

Calcule la población después de 2 años, use h = 0.5 años y el método de Taylor de orden 2. Estime el error.

Referencias:

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3Eva_IIT2014_T1 Integral en superficie

3ra Evaluación II Término 2014-2015. 10/Marzo/2015. ICM00158

Tema 1. El área de la superficie descrita por z=f(x,y) para (x,y) en R está dada por

\int_R \int \sqrt{\big[f_x(x,y) \big]^2 + \big[f_y(x,y) \big]^2 +1} \text{ } \delta A

Aproxime el valor de la integral con el método de Simpson 1/3 en ambas direcciones con n = m = 2, para el área de la superficie en el hemisferio

x2 + y2 + z2 = 9,

z ≥ 0

que se encuentra arriba de la región R en el plano descrito por

R={(x,y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

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3Eva_IT2012_T4 EDO, deducir con diferencias finitas

3ra Evaluación I Término 2012-2013. 11/Septiembre/2012. ICM00158

Tema 4. Deducir el método de diferencias finitas para el problema de valor de frontera:

y''= p(x) y' + q(x) y + r(x) a\leq x \leq b y(a)= \alpha y(b)= \beta

Para las derivadas, usar las fórmulas de diferencia centrada. Las funciones son continuas en [a,b].

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3Eva_IT2012_T3 EDO Valor inicial concepto

3ra Evaluación I Término 2012-2013. 11/Septiembre/2012. ICM00158

Tema 3. Deducir el método iterativo del punto medio para el problema de valor inicial:
\begin{cases} y'= f(t,y), a\leq t \leq b \\ y(a) = \alpha \end{cases}
a partir de  y(ti+1) = y(ti) + h T(2) (ti, y(ti))

Donde h es el tamaño de paso.

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3Eva_IT2012_T2 factor de compensación

3ra Evaluación I Término 2012-2013. 11/Septiembre/2012. ICM00158

Tema 2. Un sistema de compensación para un estudiante que hace una maestría o Doctorado en el extranjero utiliza un trazador cúbico natural para establecer el factor f(x) de ayuda de acuerdo con la siguiente tabla:

x 1.0 1.3 1.7 2.0
f(x) 2.0 2.3 3.3 3.5

x, nivel de vida del país; f(x), factor de ayuda

a. Encuentre el trazador cúbico natural (S»(1) = 0, S»(2) = 0).

b. Aproxime la integral de f(x) desde x=1, hasta x=2, empleando el resultado obtenido en el literal a.

xi = [ 1.0, 1.3, 1.7, 2.0]
fi = [ 2.0, 2.3, 3.3, 3.5]
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3Eva_IT2012_T1 Sistema Ecuaciones no lineales

3ra Evaluación I Término 2012-2013. 11/Septiembre/2012. ICM00158

Tema 1. Dado el sistema de ecuaciones no lineales

3x^2 + 3y^2 - 15 = 0 2x^2y- 1 = 0

x∈R;   y ≥ 1

a. Realice un bosquejo gráfico y especifique el número de soluciones del sistema.

b. Determine la ecuación en términos de una variable para resolver el sistema.

c. Justifique un intervalo donde se encuentre la solución de la ecuación planteada en literal b.

d. Aproxime la solución empleando el método de Newton-Raphson con tolerancia de 10-6.

e. Escriba correctamente la solución hallada.