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Referencia: Rodriguez 4.3.9 p129, Burden 6.4 p296, Chapra 9.1.2 p250.
El determinante de una matriz cuadrada triangular superior también puede calcularse como el producto de los coeficientes de la diagonal principal, considerando el número de cambios de fila del pivoteo k.
det(A) = (-1)^k \prod_{i=1}^n a_{i,i}Si observamos que en las secciones anteriores se tiene desarrollado los algoritmos para obtener la matriz triangular superior en el método de Gauss, se usan como punto de partida para obtener los resultados del cálculo del determinante.
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1. Ejercicio
Referencia: Chapra Ejemplo 9.12 p277
Calcular el determinante de la matriz A.
A= \begin{pmatrix} 3 & -0.1 & -0.2 \\ 0.1 & 7 & -0.3 \\0.3 & -0.2 & 10 \end{pmatrix}El algoritmo para ejercicio se convierte en una extensión de los algoritmos anteriores.
A = np.array([[3. , -0.1, -0.2],
[0.1, 7. , -0.3],
[0.3, -0.2, 10. ]])
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2. Algoritmo en Python
El algoritmo parte de lo realizado en método de Gauss, indicando que la matriz a procesar es solamente A. Se mantienen los procedimientos de «pivoteo parcial por filas» y » eliminación hacia adelante»
Para contar el número de cambios de filas, en la sección de pivoteo se añade un contador cambiofilas en el condicional de cambio de filas.
Para el resultado del operador multiplicación, se usan todas las casillas de la diagonal al acumular las multiplicaciones.
Se aplica la operación de la fórmula planteada para el método, y se presenta el resultado.
# Determinante de una matriz A # convirtiendo a diagonal superior import numpy as np # INGRESO A = np.array([[3. , -0.1, -0.2], [0.1, 7. , -0.3], [0.3, -0.2, 10. ]]) # PROCEDIMIENTO # Matriz aumentada AB = np.copy(A) # Pivoteo parcial por filas cambiofila = 0 # contador tamano = np.shape(AB) n = tamano[0] m = tamano[1] # Para cada fila en AB for i in range(0,n-1,1): # columna desde diagonal i en adelante columna = abs(AB[i:,i]) dondemax = np.argmax(columna) # dondemax no está en diagonal if (dondemax !=0): # intercambia filas cambiofila = cambiofila +1 temporal = np.copy(AB[i,:]) AB[i,:] = AB[dondemax+i,:] AB[dondemax+i,:] = temporal AB1 = np.copy(AB) # eliminación hacia adelante for i in range(0,n-1,1): pivote = AB[i,i] adelante = i + 1 for k in range(adelante,n,1): factor = AB[k,i]/pivote AB[k,:] = AB[k,:] - AB[i,:]*factor # calcula determinante multiplica = 1 for i in range(0,n,1): multiplica = multiplica*AB[i,i] determinante = ((-1)**cambiofila)*multiplica # SALIDA print('Pivoteo parcial por filas') print(AB1) print('eliminación hacia adelante') print(AB) print('determinante: ') print(determinante)
el resultado obtenido es:
determinante: 210.35299999999995
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3. Algoritmo como función en Numpy
se verifica usando la función de Numpy:
>>> np.linalg.det(A) 210.3529999999999