Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Tema 1. Resolver la siguiente ecuación diferencial usando el método de Runge-Kutta de cuarto orden:
x\frac{\delta y}{\delta x} + xy = 1-y y(1) = 0a. Escriba la función f(t,w) para la ecuación dada
b. Escriba el algoritmo para la i-ésima iteración con la función definida en el literal a.
c. Escriba la tabla de resultados para h = 0.2 e i = 0, 4.
Tema 3. (30 puntos) Se tiene la siguiente ecuación no lineal con derivadas:
y'' +y'+y = \ln (x) 1\leq x \leq 3, y(1)=0, y(3) =1Se requiere determinar la solución de ésta ecuación como la función y(x) .
Siga el siguiente procedimiento para obtener tres puntos de ésta función y(x) para los valores de x=1.5, 2.0 y 2.5
a. Sustituya las derivadas por aproximaciones en un punto i. También exprese las variables x,y en el punto i. Escriba la ecuación resultante, la cual se denomina ecuación de diferencias.
b. Evalúe la ecuación de diferencias en cada uno de los tres puntos xi, i = 1, 2, 3 en los que se desea concocer yi.
Se obtendrá un sistema de ecuaciones lineales en el que las incógnitas son los tres valores de yi.
Escriba el sistema lineal resultante.
c. Realice dos iteraciones con el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema de ecuaciones. Comience con los tres valores iniciales iguales a 0.5
d. Calcule la norma del error con los valores obtenidos en las dos iteraciones.
¿Se puede predecir que converge?
¿Se puede asegurar que converge?
Justifique sus respuestas.
Tema 3. En un circuito con un voltaje E(t) y una inductancia L, la primera ley de Kirchoff da la siguiente relación:
E(t) = L \frac{\delta i}{\delta t} + RiDonde R es la resistencia del circuito e i es la corriente.
Con los datos de la tabla aproxime el voltaje E(t) con inductancia L=0.98 Henrios y resistencia R=0.142 Ohmios, para los valores de tiempo dados.
| t | 1.00 | 1.01 | 1.02 | 1.03 | 1.04 |
| i | 3.10 | 3.12 | 3.14 | 3.18 | 3.20 |
t = [ 1.00, 1.01, 1.02, 1.03, 1.04] i = [ 3.10, 3.12, 3.14, 3.18, 3.20]
Tema 2. Un proyectil de masa = 0.11 Kg es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial V(0) = 8 m/s. 
El proyectil disminuye su velocidad por efecto de la fuerza de gravedad
Fg = -mg
y por la resistencia del aire
Fr = kv|v|
donde g = 9.8 m/s2 y k = 0.002 Kg/m.
La ecuación diferencial de la velocidad está dada por:
m \frac{\delta v}{\delta t} = -mg - kv|v|a. Calcule la velocidad con el método de Runge-Kutta de cuarto orden para
t = 0.2, 0.4, … , 1.0 segundos.
b. Calcule en que tiempo el proyectil alcanzará la altura máxima.
Referencias:
Tema 3. Resolver la ecuación diferencial usando el método de Taylor de orden dos:
y'= 1 +\frac{y}{t} + \Big(\frac{y}{t}\Big) ^2 1\leq t\leq 2 y(1)=0, h=0.2No olvide escribir todos los pasos necesarios para establecer el algoritmo.
Tema 1. Resolver el siguiente problema de valor inicial:
y'+ \frac{2}{t}y = \frac{\cos (t)}{t^2} y(\pi)=0, t\gt 0a. Determinar f(t,y)
b. Escribir el algoritmo de Runge-Kutta de 4to orden para la función definida en el literal a.
c. Presentar la tabla de resultados para el tamaño de paso h=0.2, con i = [0,9]
Tema 2. La ecuación de un movimiento angular está dada por
y'' + 10 \sin (y) =0 0\leq t \leq 1 y(0)=0, y'(0)=0.1Empleando el método de Runge-Kutta de 4to orden generalizado y un paso de 0.25, aproximar la solución de la ecuación en t=0.50
Referencia: Chapra 28.4 p842 pdf 866
