3Eva_2022PAOI_T3 EDO Modelo de selección híbrida

3ra Evaluación 2022-2023 PAO I. 13/Septiembre/2022

Tema 3. (35 puntos) En genética, el modelo de selección híbrida representa la porción de la población que tiene ciertas características a lo largo del tiempo medido en generaciones (h=1).

Para una población de escarabajos, la rapidez de transferencia que una característica D pasa de una generación a la siguiente está dada por:

\frac{d}{dt}y(t) = k(1-y(t))(a-by(t))

Las constantes a, b y k dependen de las características genéticas estudiadas.

Al inicio del estudio, t=0, se encuentra que la mitad de la población tiene la característica D, y(0)=0.5. El factor k=0.26 considera la trasferencia al combinarse los especímenes “Sin D” y “con D”. Use los valores de a=2 y b=1.

a) Realice el planteamiento del problema de la Ecuación Diferencial Ordinaria usando el método de Runge-Kutta de 4to Orden

b) Desarrolle al menos tres iteraciones usando las expresiones completas.

c) estime la cota de error de la solución.

d) Adjunte el desarrollo completo usando un algoritmo con Python para las próximas 10 generaciones. tabla y gráfica.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), gráfica(5puntos)

Referencias: Larson. Cálculo aplicado, 7ma Ed. Apéndice C, ejemplo 4. https://college.cengage.com/mathematics/larson/calculus_applied/7e/students/appendices/appendix_c04.pdf
Los mecanismos del cambio. https://www.sesbe.org/evosite/evo101/IIIBMechanismsofchange.shtml.html

2Eva_2022PAOI_T2 EDO de circuito RLC con interruptor intermedio

2da Evaluación 2022-2023 PAO I. 30/Agosto/2022

Tema 2. (30 puntos) El circuito de la figura 2a tiene el interruptor en posición cerrada por largo tiempo antes de t=0, con lo que la corriente en el inductor será de 2 Amperios, y(0)=2. Para t<0, el inductor opera como un conductor sin caída de voltaje, el capacitor está cargado a 10V y solo pasaría corriente por la resistencia de 5 Ohm.


En el tiempo t=0, el interruptor se abre de forma instantánea y el circuito cambia al modelo de la figura 2b.


La corriente del inductor y(t) para t≥0 está dada por la ecuación:

\frac{\delta}{\delta t}y(t) + 2 y(t) + 5 \int_{-\infty}^t y(\tau) \delta \tau = 10 \mu(t)

En t=0, luego de abrir el interruptor, los voltajes de la fuente y el capacitor son iguales. La corriente inicial sobre el resistor de 2 A genera un voltaje que se compensa con el voltaje del inductor pero en signo opuesto. Lo que implica que y’(0) = -4

V_{Inductor} = - V_{resistor} y'(0) = -4

Derive la expresión de corrientes y(t) para obtener una ecuación diferencial ordinaria.

a) Realice el planteamiento del problema usando el método de Runge-Kutta de 2do orden para 2da derivada

b) Desarrolle las expresiones para al menos tres iteraciones usando h=0.01

c) Estime el valor del error.

d) Muestre el resultado con el algoritmo para el intervalo t entre [0,5] segundos

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: Lathi B.P. Green R. Linear Systems and Signals, 3rd Edition. ejemplo 4.13 p364

3Eva_2021PAOII_T2 EDO cadena desenrollando y cayendo

3ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 8/Febrero/2022

Tema 2. (30 puntos) Cadena cayendo. Una parte de una cadena de L= 8pies de longitud está enrollada sin apretar alrededor de una clavija en el borde de una plataforma horizontal y la parte restante de la cadena cuelga descansando sobre el borde de la plataforma. Por simplicidad, use g=32 pies/s2.

Suponga que la longitud de la cadena que cuelga es de X0=3 pies, que la cadena pesa 2 lb/pie y que la dirección positiva es hacia abajo.

Comenzando en t=0 segundos, el peso de la cadena que cuelga causa que la cadena sobre la plataforma se desenrolle suavemente y caiga al piso.

Si x(t) denota la longitud de la cadena que cuelga de la mesa al tiempo t=0, entonces v=dx/dt es su velocidad.  V0=0

Cuando se desprecian todas las fuerzas de resistencia se puede demostrar que un modelo matemático que relaciona a v con x está dado por la ecuación mostrada.

\frac{\delta^2 x}{\delta t^2 } - \frac{g}{L} x=0

0≤x≤L

a) Resuelva v(x) usando Runge-Kutta, considere h=0.05

b) Aproxime el tiempo que tarda el resto de la cadena en deslizarse de la plataforma.

c) Estime la velocidad a la cual el extremo de la cadena sale del borde de la plataforma.

Rúbrica: Planteamiento del problema(5 puntos), plantear el método (5 puntos), literal b, iteraciones (10 puntos), valor del tiempo (5 puntos). literal c (5 puntos).

Referencias: Cadena cayendo: Zill Dennis, Ecuaciones Diferenciales 9Ed, Ejercicios 45 p.69 Cadena cayendo. Zayas Martín, Una Física Simplificada (min[30-34]) https://youtu.be/dPn_ggi6zx0?t=1802 ,
Tripulación de barco pierde control de un ancla y provoca accidente.

 

2Eva_2021PAOII_T2 EDO – Embudos cónicos para llenar botellas

2da Evaluación 2021-2022 PAO II. 25/Enero/2022

Tema 2. (30 puntos) Los embudos cónicos se usan en la industria de bebidas, por ejemplo para el llenado de botellas y tanques de almacenamiento.

Para la sección correspondiente al embudo cónico mostrado en la figura, se tiene como nivel inicial y(0) = 150 mm, diámetro de salida d = 10 mm, la gravedad es 9.8 m/s2, siendo Θ= π/4.

Usando los conceptos de flujo volumétrico q = A Vsalida, siendo A el área transversal del embudo, ∆V=q ∆t , la perdida de volumen ∆V=-(πr2)Δy , que tanΘ = y/r , con la fórmula de Bernoulli  V_{salida} = \sqrt{2gy} .

Al sustituir en las ecuaciones se tiene:

- \pi y(t)^2 \Delta y = \frac{\pi d^2}{4} \sqrt{2g\text{ }y(t)} \Delta t

Reordenando se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria.

\frac{\delta y(t)}{\delta t} + \frac{d^2}{4}\sqrt{2 g \text{ }y(t)}\Bigg[\frac{tan \theta}{y(t)} \Bigg]^2 = 0

a) Plantee el la solución para y(t), usando el método de Runge-Kutta de 2do orden

b) Desarrolle al menos 3 iteraciones del método con sus expresiones completas. Considere h = 0.5

c) usando el algoritmo, encuentre el tiempo en que se vacía el embudo.

Nota: Considere revisar las unidades de medida de cada parámetro

Rúbrica: Planteamiento del problema (5 puntos), literal b planteamient con el método de 2do orden (10 puntos), literal b, iteraciones (10 puntos). literal c (5 puntos).

Referencias: Zill Dennis, Ecuaciones Diferenciales 9Ed, Ejercicios 1.3.14 p.29. Embudo. Materiales de laboratorio. https://materialeslaboratorio.com/embudo/

3Eva_2021PAOI_T3 Respuesta a entrada cero en un sistema LTIC

3ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 14/Septiembre/2021

Tema 2 (30 puntos) Para un circuito eléctrico mostrado en la figura, conocido también como un sistema LTIC (lineal contínuo invariante en el tiempo), la “respuesta a entrada cero” corresponde al comportamiento de la corriente y(t) cuando no se aplica una señal de entrada x(t) = 0.

La expresión que describe la relación de entrada x(t) y salida y(t) que permite analizar el sistema en un intervalo de tiempo es:

\frac{\delta^2 y(t)}{\delta t^2}+3 \frac{\delta y(t)}{ \delta t}+2 y(t) = \frac{\delta x(t)}{\delta t} =0

Los componentes inductores y capacitores almacenan energía representada como condiciones iniciales y0(t) =0 , y’0(t) =-5

Considere como de interés el intervalo de tiempo entre [0,6] con al menos 60 tramos.

a) Realice el planteamiento para encontrar y(t) con las condiciones dadas, usando el método de Runge-Kutta de 2do orden

b) Desarrolle tres iteraciones con expresiones y valores, mostrando el uso del método anterior.

Referencia: Lathi B.P and Green R.A.(2018). Capítulo 2.1 p151.Linear Systems and Signals Third Edition. Oxford University Press.
http://blog.espol.edu.ec/telg1001/ltic-respuesta-entrada-cero-con-python/

Rúbrica: Planteo de ejercicio para el método requerido (5 puntos), tamaño de paso (5 puntos), iteraciones completas (15 puntos), desarrollo algorítmico, gráfica (5 puntos)

2Eva_2021PAOI_T2 EDO para cultivo de peces

2da Evaluación 2021-2022 PAO I. 31/Agosto/2021

Tema 2 (30 puntos) “La tilapia es un pescado que muestra crecimiento en su consumo” y producción en el país.

La actual situación comercial es estable y sin bajas en el precio.

“Santo Domingo es una provincia con una buena cantidad de piscinas para su cultivo. Aunque lo comercializan al fresco, ya que no tienen el equipo para empacar para exportación.”

Suponga una piscina de cultivo donde no existen depredadores y con alimento suficiente para que los peces no luchen por la comida.

Los peces se capturan a intervalos periódicos descritos por la función h(t) mostrada, con a=0.9 y b=0.75, constantes a > b y t>0 el tiempo en años.

h(t) = a + b \sin (2 \pi t)

Se supone que los peces crecen con un ritmo proporcional a su población, entonces la ecuación diferencial dy/dt modela la población de tilapias en el tiempo y r=1 la tasa neta de crecimiento sin captura. Suponga y(0) =1

\frac{\delta y(t)}{\delta t} = r y(t)-h(t)

a) Realice el planteamiento de la solución usando Runge-Kutta 4to orden, para n=12 meses o tramos.

b) Aproxime considerando h=1/12 y realice 2 pasos usando Runge-Kutta de 2do orden, escriba las expresiones completas para los cálculos.

c) Usando el algoritmo, determine si el negocio de cultivo de tilapia con la estrategia de captura h(t) es sostenible en el tiempo. Recomiende y justifique sus conclusiones observando el comportamiento para al menos 2 años (24 meses).

Rúbrica: Planteamiento del problema (5 puntos), uso del método de 4to orden (10 puntos), iteraciones con método de segundo orden (10 puntos). literal c (5 puntos)

Referencia: El consumo de la tilapia, más económica que la carne, crece en Ecuador. Eluniverso.com. Septiembre 5,2018. https://www.eluniverso.com/noticias/2018/09/05/nota/6938243/consumo-tilapia-mas-economica-que-carne-crece-ecuador/
Como empezar un Cultivo de Peces – Piscicultura – TvAgro por Juan Gonzalo Angel. https://www.youtube.com/watch?v=97qIOpSpXCs

3Eva_2020PAOII_T2 EDO – Concentración de solución en tres tanques

3ra Evaluación 2020-2021 PAO II. 9/Febrero/2021

Tema 2. (30 puntos) Tres tanques perfectamente aislados, completamente llenos con una solución cuya concentración es Ci (0) g/L.

Los tanques están interconectados en serie de tal forma que de añadir solución al primero, se transfiere la misma cantidad por la conexión al segundo y al tercero del cual rebosa hacia afuera del sistema.

El tercer tanque tiene una salida por rebose que mantiene constante el volumen V en cada tanque.

Desde un tiempo t0 = 0, al primer tanque se le añade una solución que tiene una concentración 50 g/L, a razón de 300 L/min.

Considere Ci (0) = 30 g/L y el volumen de cada tanque de 1000 L.
En cada tanque entre lo que recibe y se transfiere al siguiente tanque se obtienen las siguientes ecuaciones:

\frac{dC_1}{dt} = \frac{300}{1000}(50) - 0.3 C_1 \frac{dC_2}{dt} = 0.3C_1- 0.3 C_2 \frac{dC_3}{dt} = 0.3C_2- 0.3 C_3

Determine la concentración en cada tanque durante los 3 primeros minutos de iniciar el experimento usando un método de Runge-Kutta de 2do Orden. (tres iteraciones, estime cota del error)

Rúbrica: Planteo del sistema de ecuaciones en el método (10 puntos), iteraciones (15 puntos), estimar errores (5 puntos).

Referencia: GIE -FRSN-UTN. https://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/mnedo/ejercicios%20propuestos.pdf


3Eva_2020PAOI_T2 Modelo epidemiológico no letal

3ra Evaluación 2020-2021 PAO I. 22/Septiembre/2020

Tema 2. (35 puntos) En 1927, Kermack y McKendrick propusieron un modelo epidemiológico no letal simplificado que divide a la población total en estados de S=Susceptible, I=Infectado, R= Recuperado.

Las personas cambian de estado en un solo sentido S-I-R siguiendo la tasa de infección β y el periodo infeccioso promedio 1/γ; los recuperados adquieren inmunidad. Este modelo permite observar que pequeños aumentos de la tasa de contagio pueden dar lugar a grandes epidemias.

Susceptible Infectado Recuperado
Relación \frac{dS}{dt} = -\beta SI \frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I \frac{dR}{dt} = \gamma I
Población (t0=0) S(t0)= 1 I(t0) = 0,001 R(t0) = 0

Los valores de población se encuentran en miles, β = 1.4, γ = 1/4.
Suponga que el tiempo se mide en días, h = 1.

a. Plantear la solución del sistema de EDO usando Runge-Kutta de 2do Orden
b. Desarrolle el ejercicio con al menos 3 iteraciones en el tiempo
c. Estimar el error del método aplicado

Rúbrica: conoce la fórmula de RK2 (5 puntos), plantea la fórmula de RK2 al sistema (5 puntos) literal b (20 puntos), literal c (5 puntos).

Referencia: Modelo SIR https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_SIR. Modelaje matemático de epidemias https://es.wikipedia.org/wiki/Modelaje_matem%C3%A1tico_de_epidemias

2Eva_IIT2019_T2 EDO, problema de valor inicial

2da Evaluación II Término 2019-2020. 28/Enero/2020. MATG1013

Tema 2. (25 Puntos) Considere el problema de valor inicial:

y'(t) = f(t,y) = \frac{y}{2t^3}

0 ≤ t ≤ 1
y(0.5) = 1.5

a) Escriba la ecuación recursiva que permite aplicar el método de Taylor de orden de error p=2

b) Aproxime el valor de la solución para t= 0.6, 0.7, 0.8 usando el método de Runge-Kutta de orden 2.

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b, tres iteraciones (15 puntos)

2Eva_IT2019_T2 Péndulo vertical

2da Evaluación I Término 2019-2020. 27/Agosto/2019. MATG1013

Tema 2. (40 Puntos) Suponga que un péndulo tiene 0.6 m de Longitud, se desplaza θ desde la posición vertical de equilibrio.

\frac{d^2\theta }{dt^2}+\frac{g}{L}\sin (\theta)=0 0\lt t \lt 1 g = 9.81 \frac{m}{s^2} \theta(0) = \frac{\pi}{6} \theta '(0) = 0

a. Aproxime la solución de la ecuación para t = [0,1] con pasos de h=0.2
b. Aproxime el valor del error

Rúbrica: literal a, expresiones (20 puntos), valor (10 puntos), literal b (10 puntos)


Referencia: Ejercicio 5.9.8, Burden 9Ed, p338.
2Eva_IT2010_T2 Movimiento angular

Professor of Physics Emeritus Walter Lewin.  Lec 11 | 8.01 Physics I: Classical Mechanics, Fall 1999.

El PÉNDULO SIMPLE NO es como te explicaron | Física y Matemáticas. Mates Mike