Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Método de interpolación con polinomios
Tema 3. Con respecto a los datos del Tema 2, aproxime la integral de g(x) con el método de la cuadratura de Gauss de dos términos usando n = 1, 2, 3 subintervalos.
Con éstos resultados estime la precisión de la respuesta del integral.
Previamente debe usar los datos para aproximar g(x) mediante un polinomio de interpolación.
Tema 1. La siguiente tabla indica la ganancia neta g, medida en millones de dólares, de una empresa multinacional con respeto al tiempo t medido en años.
| t | 1 | 2 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| g | 6.4 | 6.2 | 7.4 | 7.2 |
a. Encuentre el polinomio de interpolación que incluye a los cuatro puntos. Trace el gráfico aproximado de los puntos y del polinomio.
b. Con el polinomio encuentre la ganancia cuando t=3
c. Con el polinomio enuentre t cuando la ganancia fué de 7.0 millones de dólares.
d. Con el polinomio encuentre el monto y el tiempo correspondientes a la mayor ganancia.
t = [ 1 , 2 , 4 , 5 ] g = [ 6.4, 6.2, 7.4, 7.2]
Tema 1. Dados los valores de una función y sus derivadas en los extremos,
f(0)= 1.5
f(1/2) = 1.37758
f(1) = 1.0403
f'(0) = 0
f'(1) = – 0.84147
determinar el trazador cúbico sujeto y luego aproximar la función en los puntos x=0.2 y x=0.8
fxi = [[ 0, 1.5 ],
[1/2, 1.37758],
[ 1, 1.0403 ]]
Tema 1. (25 puntos) Para aproximar la profundidad de una ladera submarina se han hecho mediciones, las cuales relacionan la profundidad de la ladera, expresada en m, con la distancia respecto a la orilla, expresada en km.
Empleando los datos que se dan a continuación, construya el trazador cúbico natural para aproximar la profundidad de la ladera a 1.5 km respecto a la orilla.
| Distancia a orilla | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Profundidad ladera | 1 | 170 | 235 | 320 |
Escriba el sistema de ecuaciones del cual se obtienen los valores de ci.
distancia = [ 0, 1, 2, 3] profundidad = [ 1, 170, 235, 320]
Referencias:
EEUU vierte arena en playas de Miami Beach erosionadas por el cambio climático | AFP
Tema 1. (25 puntos) Dado los valores de una función, construir el trazador cúbico fijo.
f(0) = 1,
f(0.25) = 1.14012
f(0.5) = 1.32436
f(0.75) = 1.5585
y con las derivadas, f'(0) = 0.5, f'(0.75) = 1.0585
a. Establecer el sistema para determinar los valores de ci
b. Aproximar f(0.15) y f(0.6)
Rúbrica: Sistema de ecuaciones (7.5 puntos), polinómios cúbicos (10 puntos), aproximación correcta de los puntos (7.5 puntos)
datos = [[0, 1],
[0.25, 1.14012],
[0.5 , 1.32436],
[0.75, 1.5585 ]]
Tema 1. (40 puntos) En los siguientes datos (x, f(x)), x representa el tiempo en horas de entrenamiento que realizaron 4 empleados de una empresa y f(x) representa su eficiencia actual para realizar cierta tarea (tiempo en minutos):
(0.0, 4.0), (2.0, 3.6), (4.0, 2.8), (6.0, 2.5)
a. Use el polinomio de interpolación de tercer grado para estimar la eficiencia (tiempo en minutos) si el entrenamiento es 5 horas.
b. Use el polinomio de interpolación de tercer grado para estimar el tiempo de entrenamiento que se requiere para que la eficiencia sea exactamente 3.0 minutos.
datos = [[0.0, 4.0],
[2.0, 3.6],
[4.0, 2.8],
[6.0, 2.5]]
Tema 2. Un servomecanismo presenta la potencia de tracción en función del ángulo de elevación como se indica en la tabla.
a. Construya el trazador cúbico natural
b. Aproxime la potencia cuando el ángulo es 35 grados, y determine el error de interpolación.
| Elevación (grados) | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| Potencia (Joules/s) | 34,202 | 50,000 | 64,279 | 76,604 | 86,603 |
elevacion = [ 20, 30, 40, 50, 60] potencia = [34202, 50000, 64279, 76604, 86603]
Referencia:
COMO HACEN LOS BRAZOS ROBOTICOS Discovery MAX
Tema 2. Dados los siguientes datos:
f(0) = 1, f\Big(\frac{\pi}{6}\Big) =1.5, f\Big(\frac{\pi}{3}\Big) =1.866 f\Big(\frac{\pi}{2}\Big) =2, f'(0)=1, f'\Big(\frac{\pi}{2}\Big) =0Construir el trazador cúbico fijo:
a. Establecer el sistema de ecuaciones para obtener lso valores de c
b. Con los valores de c, determinar b y d.
c. Escribir los polinomios con sus respectivos intervalos.
Tema 2. (40 puntos) Se han registrado seis mediciones de la emisión en Kg de CO2 en una fábrica entre la 1 y las 3 de la tarde:
| t | hora | 1.0 | 1.4 | 1.8 | 2.2 | 2.6 |
| emisión[t] | Kg | 2.2874 | 5.5947 | 10.6046 | 16.0527 | 18.0455 |
a. Tabule las diferencias finitas hacia adelante
b. Con un polinomio de segundo grado, calcule la cantidad de CO2 que se emitió a las 2 de la tarde. Encuentre el error en el resultado obtenido
c. Usando una fórmula de segundo orden, calcule la velocidad (emisión‘(t)) con la que está emitiéndose la cantidad de CO2 cuando t=1.8 horas. Estime el error en el resultado obtenido.
d. Usando una fórmula de segundo orden, calcule la aceleración (emisión»(t)) con la que está emitiéndose la cantidad de CO2 cuando t=1.8 horas. Estime el error en el resultado obtenido.
e. Usando una aproximación lineal entre los datos de las mediciones, calcule la cantidad total de CO2 que se emitió entre la una de la tarde y las tres de la tarde (fórmula de los trapecios). Estime el error en el resultado obtenido.
f. Usando una aproximación parabólica entre los datos de las mediciones calcule la cantidad total de CO2 que se emitió entre la una de la tarde y las tres de la tarde (fórmula de Simpson). Estime el error en el resultado obtenido.
t = [ 1.0, 1.4, 1.8, 2.2, 2.6 ] emision = [ 2.2874, 5.5947, 10.6046, 16.0527, 18.0455]
Tema 1. (30 puntos) La siguiente tabla presenta el costo anual C(x) de una máquina en función de los años de vida x
| x (años) | 5 | 10 | 15 | 20 |
| C[x] ($) | 10300 | 8700 | 9600 | 12300 |
a. Use todos los datos para obtener un polinomio para aproximar el costo anual en función de x
b. Con el polinomio obtenido encuentre el tiempo de vida aproximado para el cual el costo anual es mínimo.
x = [ 5, 10, 15, 20] C = [10300, 8700, 9600, 12300]