1Eva_2022PAOII_T3 Trayectoria de dron con polinomios

1ra Evaluación 2022-2023 PAO II. 22/Noviembre/2022

Tema 3. (30 puntos) La simulación de drones consiste en modelar el comportamiento de un dron o vehículo aéreo no tripulado (VANT) y evaluar su rendimiento en un entorno virtual.

La simulación es un paso importante en el desarrollo de drones y permite comprender la dinámica de los drones antes de fabricar los prototipos.

Para un ejemplo simplificado en 2D, se requiere obtener una trayectoria simulada por polinomios para el dron pase por las marcas de tiempo y su coordenada mostrada.

ti = [0, 1, 2, 3, 4]
xti = [2, 1, 3, 4, 2]
yti = [0, 1, 5, 1, 0]

a. Describa el planteamiento del ejercicio, justificando el grado del polinomio seleccionado.

b. Realice el desarrollo analítico para un eje de posición en el tiempo usando el método de interpolación de Lagrange.

c. Desarrolle con el algoritmo otro eje del literal b y muestre sus resultados.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), algoritmo y resultados.txt (5 puntos), gráfica (5 puntos)

Referencias: [1] Deep Drone Acrobatics (RSS 2020). UZH Robotics and Perception Group. 11 de junio 2020.

[2] Los nuevos robots y drones agrícolas simplificarán el trabajo en el campo. Euronews. 2 Septiembre 2019.

3Eva_2022PAOI_T2 Perfil de sendero en montaña

3ra Evaluación 2022-2023 PAO I. 13/Septiembre/2022

Tema 2. (30 puntos) Una persona al recorrer un sendero de ascenso a una montaña, registra en la tabla mostrada, la distancia horizontal desde el punto de partida y la altura del nivel del mar.

Para resumir los datos del perfil de elevación en el sendero en la montaña, se prefiere una descripción mediante un polinomio de interpolación.

a) Plantear el o los polinomios de interpolación para las muestras presentadas para todo el intervalo de la tabla. Indique los criterios usados para el grado del polinomio y los puntos seleccionados que minimicen las distorsiones posibles por el grado polinomio.

b) Desarrolle las expresiones para los polinomios usando el método de Lagrange. (al menos dos polinomios)

c) Determine el error para el polinomio planteado sobre los datos.

d) Adjunte el desarrollo del ejercicio realizado con el algoritmo en Python.

Recorrido (Km) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,2 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0
Altura (m) 4315 4447 4559 4692 4884 5201 5366 5310 5249 5175 5034 4787

Rúbrica: Literal a. criterios (6 puntos), literal b,  (12 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: Ascensión al Chimborazo (6.268m) Andes de Ecuador. Abril 29,2020. https://carrerasdemontana.com/2020/04/29/ascension-al-chimborazo/ ; El último hielero de Ecuador | DW Documental. 28 jul 2018 https://youtu.be/mESOZvOgs5k

xi = [0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.2,
      7.0, 8.0, 9.0, 10.0, 11.0]
yi = [4315, 4447, 4559, 4692, 4884, 5201, 5366, 
      5310, 5249, 5175, 5034, 4787]

1Eva_2022PAOI_T3 Interpolar crecimiento de contagios

1ra Evaluación 2022-2023 PAO I. 5/Julio/2022

Tema 3. (35 puntos). Según los reportes epidemiológicos para el mes de junio-2022, se presenta un aumento de resultados positivos de COVID-19.

Un médico especialista indica que entre los motivos para transmisión y contagio se encuentran que no se usan las mascarilla y las aglomeraciones como las presentadas durante el paro nacional.

Para las últimas semanas, los resultados han pasado desde 1%, 5.6 %, 27 % y hasta 43.5 %.

Día del mes 1 8 15 22
Contagios 1 5.6 27 43.5

Para un análisis de comportamiento de contagios durante el mes, se requiere disponer de un polinomio de interpolación de grado 3 que describa el comportamiento de los contagios.

a) Realice el planteamiento del sistema de ecuaciones que se usaría usando el método de interpolación polinómica.

b) Realice el planteamiento del sistema de ecuaciones en su forma matricial y muestre la matriz aumentada.

c) Desarrolle el pivoteo parcial por filas, indicando las operaciones realizadas en éste proceso

d) Usando el método directo de Gauss-Jordan, muestre las expresiones necesarias para el algoritmo.

e) Para el día 19 se encuentra que el valor correspondiente a contagios es de 37%. Estime el error presentado del modelo para ese día.

f) Desarrolle el ejercicio usando otro método para encontrar el polinomio de interpolación.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (2 puntos), literal c (5 puntos), eliminación hacia adelante (5 puntos), eliminación hacia atrás (5 puntos) literal e (3 puntos), literal f (10 puntos).

Referencias: El nivel de positividad para COVID-19 llega a un 40 %; ingresos hospitalarios son pocos, pero aglomeraciones por el paro ponen en alerta a epidemiólogos. Eluniverso.com 4-julio-2022.

https://www.eluniverso.com/noticias/ecuador/nivel-de-positividad-para-covid-19-llega-a-un-40-ingresos-hospitalarios-son-pocos-pero-aglomeraciones-en-el-paro-indigena-ponen-en-alerta-a-epidemiologos-nota/?modulo=destacadas-dos

Ligero incremento de casos de covid-19 en Ecuador. elcomercio.com 17-mayo-2022. https://www.elcomercio.com/tendencias/sociedad/ligero-incremento-casos-covid19-ecuador.html

3Eva_2021PAOII_T3 interpolar cadena desenrollando y cayendo

3ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 8/Febrero/2022

Tema 3. (20 puntos) Para simplificar la ecuación que describe la cantidad de cadena que se desenrolla en las condiciones del tema anterior, se han obtenido datos experimentales descritos en la tabla presentada.

ti 0.0 0.1 0.2 0.25 0.35 0.45 0.5 0.6
xi 3.0 3.0601 3.2426 3.3818 3.7632 4.2951 4.6239 5.4237
ti 0.7 0.8 0.85 0.95 1
xi 6.4405 7.7149 8.4642 10.2245 11.2531

Realice un polinomio de interpolación de grado 4 para el Intervalo entre x0= 3 y la longitud de la cadena L=8

a) Identifique los pares ordenados a usar en la interpolación

b) Seleccione un método de interpolación apropiado para las condiciones dadas, justifique.

c) Desarrolle el método de interpolación, usando expresiones completas que muestre el uso de los pares seleccionados en el literal a.

d) Calcule el error sobre el o los datos que no se usaron en el intervalo

e) Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos entre los dos polinomios.

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (2 puntos), literal c (10 puntos), literal d (2 puntos). literal e (3 puntos).

ti = [0, 0.1, 0.2, 0.25, 0.35, 0.45, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.85, 0.95, 1]
xi = [3, 3.06, 3.2426, 3.3818, 3.7632, 4.2951, 4.6239, 5.4237, 6.4405, 7.7149, 8.4642,10.2245,11.25]

1Eva_2021PAOII_T1 Interpolación para perfil de terreno

1ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 24/Noviembre/2021

Tema 1. (30 puntos) Para el diseño de los enlaces radioeléctricos “punto a punto” se analiza “Zona de Fresnel” que para una buena propagación de señal debe estar libre de obstrucciones.

La altura o perfil del terreno muestra la sección que produce atenuación en la señal del enlace.

La tabla muestra el perfil para un enlace donde se requiere analizar el intervalo entre 0 y 1300 metros desde la antena ubicada en el extremo izquierdo.

distancia d1 0 350 700 1000 1300 1600 2000 3000 3300 3500 3700
Perfil de Terreno 85 95 90 80 75 70 20 25 42 21 71

a. Plantee y desarrolle un polinomio P3(d1) de grado 3, que describa el perfil del terreno en el intervalo [0,1300] de distancias a la primera antena d1.
b. Calcule el error sobre el o los datos que no se usaron en el intervalo
c. Desarrolle y justifique una propuesta para disminuir los errores encontrados en el literal anterior, sobre el mismo intervalo, es decir obtiene un nuevo polinomio (use algoritmo).
d. Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos entre los dos polinomios.

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (4 puntos), literal c (10 puntos), literal d (6 puntos)

Referencia: Zona de Fresnel. https://es.wikipedia.org/wiki/Zona_de_Fresnel

1Eva_2021PAOI_T3 Interpolar, modelo de contagios 2020

1ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 6/Julio/2021

Tema 3 (35 puntos) Para evaluar las medidas de confinamiento aplicadas durante el año 2020 se requiere de un modelo del comportamiento de contagios por unidad de tiempo.

Se disponen de los datos de casos graves por semana mostrados en la tabla y se busca obtener un polinomio de interpolación de grado 4 semejante al mostrado en la figura.

Semana Fecha casos graves
9 2/3/2020 1435
10 9/3/2020 1645
11 16/3/2020 1503
12 23/3/2020 3728
13 30/3/2020 7154
14 6/4/2020 6344
15 13/4/2020 4417
16 20/4/2020 3439
17 27/4/2020 2791
18 4/5/2020 2576
19 11/5/2020 2290
20 18/5/2020 2123
21 25/5/2020 2023
22 1/6/2020 2067
23 8/6/2020 2163
24 15/6/2020 2120
25 22/6/2020 2125

a. Desarrolle el polinomio de interpolación usando los puntos sombreados en la tabla, correspondientes a las semanas 11, 13, 16, 18 y 20.

b. Calcule los errores en el intervalo sobre los datos que no se usaron entre las semanas [11,20]

c. Desarrolle y justifique una propuesta para disminuir los errores encontrados en el literal anterior, sobre el mismo intervalo, es decir obtiene un nuevo polinomio.

d. Calcule los errores en el intervalo para el modelo del literal c y compare con los obtenidos en el literal b.

e. Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos entre los dos polinomios.

Rúbrica: literal a (7 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (8 puntos)


xi = [    9,   10,   11,   12,   13,   14,
         15,   16,   17,   18,   19,   20,
         21,   22,   23,   24,   25,   26 ]
fi = [ 1435, 1645, 1503, 3728, 7154, 6344,
       4417, 3439, 2791, 2576, 2290, 2123,
       2023, 2067, 2163, 2120, 2125, 2224 ]

Referencia:
– Eluniverso.com. 2/07/2021. Casos de coronavirus en Ecuador al viernes 2 de julio: 461.157 confirmados, 21.623 fallecidos y 1′416.916 vacunados. https://www.eluniverso.com/noticias/ecuador/coronavirus-covid-19-ecuador-cifras-vacunados-casos-contagios-muertes-9-junio-2021-nota-18/ .

https://flo.uri.sh/visualisation/5585865/embed

– BBC News Mundo. La “doble curva” del coronavirus y el “falso dilema” entre salvar vidas o la economía. 8/mayo/2020. https://youtu.be/SlTSFkTsZL8

1Eva_IIT2010_T1 Aproximar con polinomio

1ra Evaluación II Término 2010-2011. 7/Diciembre/2010. ICM00158

Tema 1. La función de variable real f(x) será aproximada con el polinomio de segundo grado P(x) que incluye los tres puntos f(0), f(π/2), f(π).

f(x) = e^x \cos (x) +1 0\leq x \leq \pi

Encuentre la magnitud del mayor error E(x) = f(x) -P(x), que se produciría al usar esta aproximación. Resuelva la ecuación no lineal resultante con la fórmula de Newton con un error máximo de 0.0001.

3Eva_IIT2019_T4 completar polinomio de interpolación

3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

Tema 4. (25 puntos) Una función f(x) en el intervalo [0,1] está definida por el trazador cúbico natural S(x):

S_0(x) = 1 + 1.1186x + 0.6938 x^3

 0.0 ≤ x ≤ 0.4

S_1(x) = 1.4918 + 1.4516(x-0.4) + c(x-0.4)^2 +d(x-0.4)^3

0.4 ≤ x ≤ 0.6

S_2(x) = 1.8221 + 1.8848(x-0.6) + +1.3336(x-0.6)^2 - 1.1113(x-0.6)^3

0.6 ≤ x ≤ 1.0

Sin embargo, el papel donde se registraron los polinomios sufrió un percance que no permite leer algunos valores para S1(x).

a) Realice las operaciones necesarias para encontrar os valores: c, d
b) Use el método de Newton para resolver la ecuación S(x) = 1.6

Rúbrica: plantear las condiciones(10 puntos), resolver el sistema (5 puntos), literal b (10 puntos)

3Eva_IIT2019_T1 Lanzamiento de Cohete

3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

Tema 1. (25 Puntos)
En el lanzamiento de un cohete se midieron las alturas alcanzadas a intervalos regulares de tiempo, mostradas en la siguiente tabla:

t s 0 25 50 75 100 125
y(t) Km 0 32 58 78 92 100

Usando tres puntos, se requiere obtener el polinomio de grado 2 que describe la función de altura y(t) a partir de los datos obtenidos, usando interpolación

a) Realice la tabla de diferencias finitas
b) Plantee el polinomio de interpolación con diferencias finitas avanzadas
c) A partir del polinomio obtenido, escriba las funciones de velocidad y’(t)
y aceleración y’’(t) en cada punto de la tabla

Rúbrica: literal a (5 puntos) literal b (5 puntos), literal c (15 puntos)

Referencias: Batalla por la luna, el programa Apolo.History Latinoamérica

1Eva_IIT2019_T2 Proceso Termodinámico

1ra Evaluación II Término 2019-2020. 26/Noviembre/2019. MATG1013

Tema 2. (20 puntos).  Para simular la disminución de la temperatura en un proceso termodinámico,
un algoritmo evolutivo necesita usar un polinomio para aproximar en el intervalo [0,4] la función f con regla de correspondencia

f(x)=e^{-0.5x}

con constante k = 0.5

Para construir el mencionado polinomio, considere la tabla:

x 0 1 2 3 4
f(x) f(0) f(1) f(2) f(3) f(4)

a) Aplique interpolación polinomial y aproxime el valor de f(2.4) usando un polinomio de grado 2.

b) Encuentre una cota superior para el error de interpolación en la aproximación de f(1.7)}

Rúbrica: literal a (15 puntos), literal b (5 puntos)