1Eva_2021PAOI_T2 Atención hospitalaria con medicamentos limitados

1ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 6/Julio/2021

Tema 2 (35 puntos) Durante el año 2020, ante el aumento de atención hospitalaria estatal en la región y el limitado acceso a medicamentos, como una primera estrategia de manejo de recursos se derivan el exceso de pacientes hacia la atención en hospitales privados.

En la tabla  se muestra la cantidad de los tres medicamentos (mg, ml) que se administran al atender a cada paciente clasificado por grupo etario: niños, adolescentes, adultos y adultos mayores.

También se dispone del total de medicamentos existente en bodegas en cada semana.

Niños Adolescentes Adultos Adultos Mayores Medicamentos /semana
Medicamento_A 0.3 0.4 1.1 4.7 3500
Medicamento_B 1 3.9 0.15 0.25 3450
Medicamento_C 0 2.1 5.6 1.0 6500

Es de interés conocer la cantidad de pacientes de cada grupo que se podría atender con los recursos disponibles.

a.  Realice el planteamiento de un sistema de ecuaciones que permita determinar la cantidad máxima de pacientes de cada grupo etario que podrían ser atendidos usando todos los medicamentos disponibles.

Una vez planteadas las ecuaciones, se le indica que la capacidad K para pacientes niños sea una variable libre, por consumir menos recursos y se podrían derivar al sistema privado.

b.  Escriba el conjunto de soluciones posibles en función de la variable libre, considerando la cantidad de niños a atender como máximo de K=100.

c. Determine la capacidad de atención usando un método Iterativo con una tolerancia de 10-2. Realice tres iteraciones completas y revise la convergencia del método. Se estima atender al inicio de semana al menos 100 pacientes de cada grupo.

d. Suponga que la cantidad de pacientes en cada grupo para una semana dada es: [350, 1400, 1500, 1040]. ¿Hay suficiente cantidad de medicamentos para atender el promedio actual de pacientes? Analice y describa los resultados encontrados.

e. Si se decide vacunar primero a todos los niños, entonces ya no requieren atención hospitalaria (K=0) ¿Cuál es el número máximo de pacientes de cada grupo que podría incrementarse dadas las condiciones actuales? Resuelva usando un método directo.

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (2 puntos), pivoteo por filas(5 puntos), iteraciones (10 puntos), análisis de convergencia (4 puntos), literal d (5 puntos) literal e (6 puntos)

Referencias:
– BBC News Mundo. El país que está vacunando contra el covid-19 primero a los jóvenes y no a los ancianos. 16/enero/2021. https://youtu.be/oo2itoBBwyY

– Manejo clínico de la COVID-19, orientaciones provisionales 27/mayo/2020. https://apps.who.int/iris/bitstream/handle/10665/332638/WHO-2019-nCoV-clinical-2020.5-spa.pdf

1Eva_IIT2019_T3 Circuito eléctrico

1ra Evaluación II Término 2019-2020. 26/Noviembre/2019. MATG1013

Tema 3. (30 puntos) El sistema de ecuaciones que sigue se generó por medio de aplicar la ley de malla de corriente al circuito de la figura.

\begin{cases} 55 I_1 - 25 I_4 = -200 \\ -37 I_3 - 4 I_4 = -250 \\ -25 I_1 - 4 I_3 + 29 I_4 = 100 \end{cases}

a) Use el método de eliminación de Gauss para calcular I1, I3, I4, I1 observando que
I2 = -10

b) Encuentre la norma infinita de la matriz de transición T en el método de Jacobi y comente.

c) Con el método de Gauss-Seidel realice tres iteraciones comenzando con el vector cero. Además en la tercera iteración, encuentre una cota para el error relativo.

Rúbrica: literal a (12 puntos), literal b (6 puntos), literal c (12 puntos)


A = [[ 55.0, 0,  0, -25],
     [  0  , 0,-37,  -4],
     [-25  , 0, -4,  29],
     [  0  ,  1, 0,   0]]

B = [-200,-250,100,-10]

1Eva_IT2018_T3 Temperatura en nodos de placa

1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/junio/2018. MATG1013

Tema 3. (25 puntos). La temperatura en los nodos de la malla de una placa se puede calcular con el promedio de las temperaturas de los 4 nodos vecinos de la izquierda, derecha, arriba y abajo.

Una placa cuadrada de 3 m de lado tiene la temperatura en los nodos de los bordes como se indica en la figura,

a) Plantee el sistema de ecuaciones y resuelva con eliminación de Gauss, encontrar a, b, c, d.

b) Encuentre la matriz T de Jacobi y comente sobre la convergencia

c) Con X[0]=[a=60, b=40, c=70, d=50], realice 3 iteraciones, estime el error, comente.

d) Con la tercera iteración calcule el residuo y encuentre una cota del error absoluto y error relativo

Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos).

1Eva_IIT2010_T2 Sistema ecuaciones, X0 = unos

1ra Evaluación II Término 2010-2011. 7/Diciembre/2010. ICM00158

Tema 2. Considere el sistema AX = B dado por:

\begin {cases} 0.4 x + 1.1 y +3.1z = 7.5 \\ 4x + 0.15y + 0.25z = 4.45\\ 2x+5.6y+3.1z=0.1\end{cases}

De ser posible, manipule el sistema de tal forma que se garantice la convergencia del método de Gauss-Seidel, determine la norma de la matriz T.

Determine la solución con éste método con el vector inicial (1,1,1) y con una tolerancia 10-4.


A = np.array([[0.4, 1.1 ,  3.1],
              [4.0, 0.15, 0.25],
              [2.0, 5.6 , 3.1]])
B = np.array([7.5, 4.45, 0.1])
X = np.array([1.0, 1.0, 1.0])
tolera = 1e-4
iteramax = 100

3Eva_IIT2009_T3 Sistema de ecuaciones

3ra Evaluación II Término 2009-2010. 23/Febrero/2010. ICM00158

Tema 4. (25 puntos) Enunciar el teorema de convergencia del método iterativo para resolver un sistema de ecuaciones lineales AX=B.

Exponer el método iterativo de Gauss-Seidel para sistemas ecuaciones lineales.

Construir un ejemplo de un sistema de 3×3, cuya diagonal principal sea estrictamente dominante y realizar cuatro iteraciones con el método de Gauss-Seidel, comenzando con el vector cero.

1Eva_IIT2017_T3 Circuito eléctrico

1ra Evaluación II Término 2017-2018. 28/Noviembre/2017. MATG1013

Tema 3. (25 puntos) El sistema de ecuaciones que sigue se generó por medio de aplicar la ley de malla de corriente al circuito de la figura.

\begin{cases} 55 I_1 - 25 I_4 = -200 \\ -37 I_3 - 4 I_4 = -250 \\ -25 I_1 - 4 I_3 + 29 I_4 = 100 \\ I_2 = -10 \end{cases}

a) Use el método de eliminación de Gauss para resolver el sistema

b) Use el método de Jacobi y determine el número de iteraciones para ε=0.01

c) Si el coeficiente 55 se cambia a 54.9, encuentre el error relativo de la aproximación en el literal a.

Rúbrica: Aplicación del método de eliminación de Gauss hasta 10%, Uso del método de Jacobi hasta 5% y determinación del número de iteraciones hasta 5%, Calculo del residuo y cota del error relativo hasta 5%.


A = [[ 55.0, 0,  0, -25],
     [  0  , 0,-37,  -4],
     [-25  , 0, -4,  29],
     [  0  ,  1, 0,   0]]

B = [-200,-250,100,-10]

1Eva_IIT2007_T2 Aplicar Gauss-Seidel

1ra Evaluación II Término 2007-2008. 4/Diciembre/2007. ICM00158

Tema 2. Dadas las matrices:

A = [[7.63, 0.30, 0.15,  0.50, 0.34, 0.84],
     [0.38, 6.40, 0.70,  0.90, 0.29, 0.57],
     [0.83, 0.19, 8.33,  0.82, 0.34, 0.37],
     [0.50, 0.68, 0.86, 10.21, 0.53, 0.70],
     [0.71, 0.30, 0.85,  0.82, 5.95, 0.55],
     [0.43, 0.54, 0.59,  0.66, 0.31, 9.25]]

B = [[ -9.44],
     [ 25.27],
     [-48.01],
     [ 19.76],
     [-23.63],
     [ 62.59]]

a) Escribir los sitemas AX=B y X=TX+C

b) Determine ||A||, y ||T||

c) Establezca la solución con el método de Gauss-Seidel con una tolerancia de 10-5

1Eva_IIT2011_T2 Sistema de Ecuaciones, diagonal dominante

1ra Evaluación II Término 2011-2012. 29/Noviembre/2011. ICM00158

Tema 2. Considere el sistema AX = B dado por

\begin{cases} -2x+5y+9z=1\\7x+y+z=6\\-3x+7y-z=-26\end{cases}

Arregle el sistema de tal manera que la diagonal de A sea estrictamente dominante.

a) Calcular el valor de ||T||

b) Escribir el algoritmo de Gauss-Seidel.

c) Dado X(0) = 0, iterar hasta que

\frac{||X^{(k)} - X^{(k-1)}||}{||X^{(k)}||} \lt 10^{-4}

Escriba una tabla de resultados.


A = np.array([[-2, 5, 9],
              [ 7, 1, 1],
              [-3, 7,-1]])
B = np.array([1,6,-26])

1Eva_IT2012_T2_MN Modelo Leontief

1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

TEMA 2. (35 puntos) La matriz insumo-producto propuesto por W. Leontief, es un modelo muy importante en Economía.

En ésta matriz se describe la producción de los diferentes sectores económicos y la demanda interna para satisfacer a estos mismos sectores, expresada como una fracción de su producción.

Ejemplo: Suponga que hay tres sectores
A: agricultura,
M: manufactura
S: servicios
y su demanda interna es:

Matriz T Producción
A M S
Demanda A 0.40 0.03 0.02
Interna M 0.06 0.37 0.10
S 0.12 0.15 0.19

Sea T el nombre de esta matriz.

Para los datos propuestos, en la primera columna de la matriz T, el sector A requiere 0.4 de su propia producción, 0.06 del sector M, y 0.12 del sector S, etc.

Sea D el vector de demanda externa de cada sector, y X el vector de la producción total de cada sector, requerida para satisfacer las demandas interna y externa:

D = \begin{pmatrix} 80\\ 140\\200 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\x3 \end{pmatrix}

en donde x1, x2, x3 representan la producción total de cada sector.

Entonces la ecuación X = TX + D proporciona la producción total X para satisfacer las demandas externa e interna.

a) Formule un método iterativo en notación vectorial para usar la ecuación anterior. Indique cual es el nombre de la matriz T. Analice esta matriz y determine si el método iterativo es convergente.

b) Comience con un vector inicial X = [200, 200, 200]T realice las iteraciones necesarias hasta que la norma de la diferencia entre dos vectores consecutivos sea menor a 1.

Use la norma de fila.


Referencia: Modelo Input-Output. https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_Input-Output, https://es.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief

T = np.array([[0.40, 0.03, 0.02],
              [0.06, 0.37, 0.10],
              [0.12, 0.15, 0.19]])

D = np.array([80.0, 140.0, 200.0],dtype=float)

Xa = np.array([200.0,200.0,200.0])

1Eva_IIT2014_T2 Componentes eléctricos

1ra Evaluación II Término 2014-2015. 9/Diciembre/2013. ICM00158

Tema 2. Un ingeniero eléctrico supervisa la producción de tres tipos de componentes eléctricos.

Para cada componente se se requieren tres clases de materiales:
metal 1, metal 2 y caucho.

Gramos por componente Metal 1 Metal 2 Caucho
Componente 1 15 0.25 1.0
Componente 2 17 0.33 1.2
Componente 3 19 0.42 1.6

Se requieren disponer de componentes con el mismo desempeño, pero de menor tamaño y no se dispone de mas gramos de material que:

materiales = [2.63, 0.0534, 0.202]

a) Plantee el sistema de ecuaciones

b) Utilice el método de eliminación de Gauss para resolver el sistema

c) Encuentre la matriz de Jacobi y comente sobre la convergencia

d) Realice tres iteraciones con Gauss Seidel y estime el error de la segunda iteración.

e) Encuentre el número de condición y comente.


A = np.array([[15, 0.25, 1.0],
              [17, 0.33, 1.2],
              [19, 0.42, 1.6]])
B = np.array([2.63, 0.0534, 0.202])