Publicado en por Edison Del Rosario

s2Eva_2022PAOII_T1 Altura de cohete en 30 segundos

Ejercicio: 2Eva_2022PAOII_T1 Altura de cohete en 30 segundos

literal a

v = u \ln\Big(\frac{m_0}{m_0-qt}\Big) - gt v = 1800 \ln\Big(\frac{160000}{160000-2500t}\Big) - 9.8t

Seleccionando el método de Simpson de 3/8, se requieren al menos 3 tramos o segmentos para usarlo, que generan 4 muestras. El vector de tiempo se obtiene como:

v = lambda t: 1800*np.log(160000/(160000-2500*t))-9.8*t
a = 0
b = 30
tramos = 3
h = (b-a)/tramos
ti = np.linspace(a,b,tramos+1)
vi = v(ti)

siendo los vectores:

ti = [ 0. 10. 20. 30.]
vi = [ 0. 207.81826623 478.44820899 844.54060574]

la aplicación del método de Simpson de 3/8 es:

I = \frac{3}{8}(10) \Bigg(1800 \ln\Big(\frac{160000}{160000-2500(0)}\Big) - 9.8(0) +3(1800 \ln\Big(\frac{160000}{160000-2500(10)}\Big) - 9.8(10)) +3(1800 \ln\Big(\frac{160000}{160000-2500(20)}\Big) - 9.8(20)) +1800 \ln\Big(\frac{160000}{160000-2500(30)}\Big) - 9.8(30) \Bigg) = I = \frac{3}{8}(10) \Big(v(0)+3(v(10))+3(v(20))+v(30) \Big) I = \frac{3}{8}(10) \Big(0+3(207.81)+3(478.44)+844.54 \Big) I = 10887.52

literal b

para el primer segmento se usa t entre [0,10]

x_a = \frac{0+10}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{10-0}{2} = 7.88 x_b = \frac{0+10}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{10-0}{2} = 2.11 I = \frac{10-0}{2}\Big(v(7.88)+v(2.11)\Big)=995.79

para el 2do segmento se usa t entre [10,20]

x_a = \frac{10+20}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{20-10}{2} = 17.88 x_b = \frac{10+20}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{20-10}{2} = 12.11 I = \frac{20-10}{2}\Big(v(17.88)+v(12.11)\Big) =3368.42

para el 3er segmento se usa t entre [20,30]

x_a = \frac{20+30}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{30-20}{2} = 27.88 x_b = \frac{20+30}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{30-20}{2} = 22.11 I = \frac{30-20}{2}\Big(v(27.88)+v(22.11)\Big) = 6515.23 Altura = 995.79+ 3368.42 + 6515.23 = 10879.44

literal c

el error es la diferencia entre los métodos
error_entre = |10887.52-10879.44| = 8.079

Resultados con algoritmo

Método de Simpon 3/8
ti
[ 0. 10. 20. 30.]
vi
[ 0. 207.81826623 478.44820899 844.54060574]
Altura con Simpson 3/8 : 10887.52511781406
segmento Cuad_Gauss :    [995.792, 3368.421, 6515.231]
Altura Cuadratura Gauss: 10879.445437288954
diferencia s3/8 y Cuad_Gauss: 8.079680525106596
>>>

Instrucciones en Python

# 2Eva_2022PAOII_T1 Altura de cohete en 30 segundos
import numpy as np

# INGRESO
v = lambda t: 1800*np.log(160000/(160000-2500*t))-9.8*t
a = 0
b = 30
tramos = 3

# PROCEDIMIENTO literal a
def integrasimpson38_fi(xi,fi,tolera = 1e-10):
    ''' sobre muestras de fi para cada xi
        integral con método de Simpson 3/8
        respuesta es np.nan para tramos desiguales,
        no hay suficientes puntos.
    '''
    n = len(xi)
    i = 0
    suma = 0
    while not(i>=(n-3)):
        h  = xi[i+1]-xi[i]
        h1 = (xi[i+2]-xi[i+1])
        h2 = (xi[i+3]-xi[i+2])
        dh = abs(h-h1)+abs(h-h2)
        if dh<tolera:# tramos iguales
            unS38 = fi[i]+3*fi[i+1]+3*fi[i+2]+fi[i+3]
            unS38 = (3/8)*h*unS38
            suma = suma + unS38
        else:  # tramos desiguales
            suma = 'tramos desiguales'
        i = i + 3
    if (i+1)<n: # incompleto, tramos por calcular
        suma = 'tramos incompletos, faltan '
        suma = suma +str(n-(i+1))+' tramos'
    return(suma)

h = (b-a)/tramos
ti = np.linspace(a,b,tramos+1)
vi = v(ti)
altura = integrasimpson38_fi(ti,vi)

# SALIDA
print('Método de Simpon 3/8')
print('ti')
print(ti)
print('vi')
print(vi)
print('Altura con Simpson 3/8 :',altura)

# PROCEDIMIENTO literal b
# cuadratura de Gauss de dos puntos
def integraCuadGauss2p(funcionx,a,b):
    x0 = -1/np.sqrt(3)
    x1 = -x0
    xa = (b+a)/2 + (b-a)/2*(x0)
    xb = (b+a)/2 + (b-a)/2*(x1)
    area = ((b-a)/2)*(funcionx(xa) + funcionx(xb))
    return(area)

area = 0
area_i =[]
for i in range(0,tramos,1):
    deltaA = integraCuadGauss2p(v,ti[i],ti[i+1])
    area = area + deltaA
    area_i.append(deltaA)
# SALIDA
print('segmento Cuad_Gauss :   ', area_i)
print('Altura Cuadratura Gauss:', area)

print('diferencia s3/8 y Cuad_Gauss:',altura-area)

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(ti,vi)
plt.plot(ti,vi,'o')
plt.title('v(t)')
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('v (m/s)')
plt.grid()
plt.show()