Ejercicio: 3Eva_IT2010_T2 EDO problema con valor inicial dy/dx

Ecuación del problema:

(2y^2 + 4x^2)\delta x -xy \delta y =0

se despeja dy/dx:

(2y^2 + 4x^2)\delta x = xy \delta y \frac{\delta y}{\delta x} =\frac{2y^2 + 4x^2}{xy}

con valores iniciales de x₀ = 1, y₀=-2 , h=0.2 e intervalo [1,2]

Usando Runge-Kutta de 2do Orden

Iteración 1

K_1= h\frac{\delta y}{\delta x}(1,-2) =(0.2)\frac{2(-2)^2 + 4(1)^2}{(1)(-2)}= -1.2 K_2= h\frac{\delta y}{\delta x}(1+0.2,-2+(-1.2)) =(0.2)\frac{2(-2-1.2)^2 + 4(1+0.2)^2}{(1+0.2)(-2-1.2)}= -1.3667 y_1 = -2 + \frac{-1.2-1.3667}{2} = -3.2833 x_1 = x_0 + h = 1 + 0.2 = 1.2 error = O(h^3) = O(0.2^3) = 0.008

Iteración 2

K_1= h\frac{\delta y}{\delta x}(1.2,-3.2833) =(0.2)\frac{2(-3.2833)^2 + 4(1.2)^2}{(1.2)(-3.2833)}= -1.3868 K_2= h\frac{\delta y}{\delta x}(1.2+0.2,-3.2833+(-1.3868)) =(0.2)\frac{2(-3.2833+(-1.3868))^2 + 4(1.2+0.2)^2}{(1.2+0.2)(-3.2833+(-1.3868))}= -1.5742 y_2 = -3.2833 + \frac{-1.3868-1.5742}{2} = -4.7638 x_2 = x_1 + h = 1.2 + 0.2 = 1.4

Iteración 3

K_1= h\frac{\delta y}{\delta x}(1.4,-4.7638) =(0.2)\frac{2(-4.76383)^2 + 4(1.4)^2}{(1.4)(-4.7638)}= -1.5962 K_2= h\frac{\delta y}{\delta x}(1.4+0.2,-4.7638+(-1.5962)) =(0.2)\frac{2(-4.7638+(-1.5962))^2 + 4(1.4+0.2)^2}{(1.4+0.2)(-4.7638+(-1.5962))}= -1.7913 y_3 = -4.7638 + \frac{-1.5962-1.7913}{2} = -6.4576 x_3 = x_2 + h = 1.4 + 0.2 = 1.6

con lo que usando el algoritmo se obtiene la tabla y gráfica:

 [xi,       yi,       K1,     K2     ]
[[  1.      -2.       0.       0.    ]
 [  1.2     -3.2833  -1.2     -1.3667]
 [  1.4     -4.7638  -1.3868  -1.5742]
 [  1.6     -6.4576  -1.5962  -1.7913]
 [  1.8     -8.3698  -1.8126  -2.0119]
 [  2.     -10.5029  -2.032   -2.2342]

Algoritmo en Python

# 3Eva_IT2010_T2 EDO
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
d1y = lambda x,y : (2*(y**2)+4*(x**2))/(x*y)
x0 = 1
y0 = -2
h = 0.2
a = 1
b = 2

# PROCEDIMIENTO
muestras = int((b -a)/h)+1
tabla = np.zeros(shape=(muestras,4),dtype=float)

i = 0
xi = x0
yi = y0
tabla[i,:] = [xi,yi,0,0]

i = i+1
while not(i>=muestras):
    K1 = h* d1y(xi,yi)
    K2 = h* d1y(xi+h,yi+K1)
    yi = yi + (K1+K2)/2
    xi = xi +h
    tabla[i,:] = [xi,yi,K1,K2]
    i = i+1
# vector para gráfica
xg = tabla[:,0]
yg = tabla[:,1]

# SALIDA
# muestra 4 decimales
np.set_printoptions(precision=4)
print(' [xi, yi, K1, K2]')
print(tabla)

# Gráfica
plt.plot(xg,yg)
plt.xlabel('xi')
plt.ylabel('yi')
plt.grid()
plt.show()

Tarea: Realizar con Runge Kutta de 4to Orden

Ejercicio: 3Eva_IT2010_T1 Envase cilíndrico

Se conoce que el volumen del cilindro es 1000 cm³
que se calcula como:

Volumen = area_{base} . altura = \pi r^2 h \pi r^2 h = 1000 h = \frac{1000}{\pi r^2}

con lo que la altura queda en función del radio, pues el volumen es una constante.

Para conocer el área de la hoja de material para el envase se conoce que las tapas cilíndricas deben ser 0.25 mas que el radio para sellar el recipiente

Area de una tapa circular:

Area_{tapa} = \pi (r+ 0.25)^2

para la hoja lateral:

Area_{lateral} = base * altura = (2 \pi r + 0.25) h

que en función del radio, usando la fórmula para h(r) se convierte en:

Area_{lateral} = (2 \pi r + 0.25) \frac{1000}{\pi r^2}

por lo que el total de material de hoja a usar corresponde a dos tapas circulares y una hoja lateral.

Area total = 2 \pi (r+ 0.25)^2 + (2 \pi r + 0.25) \frac{1000}{\pi r^2}

---

la gráfica permite observar el comportamiento entre el área de la hoja necesaria para fabricar el envase y el radio de las tapas circulares.

El objetivo es encontrar el área mínima para consumir menos material. Con la fórmula mostrada se puede aplicar uno de los métodos para encontrar raíces a partir de la derivada de la fórmula.

Tarea: Encontrar el valor requerido para r con la tolerancia indicada para el examen.

---

Instrucciones para la gráfica:

# 3Eva_IT2010_T1 Envase cilíndrico
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
a = 0.5
b = 20
muestras = 51

Area = lambda r: (2*np.pi)*(r+0.25)**2 +(2*np.pi*r+0.25)*1000/(np.pi*(r**2))

# PROCEDIMIENTO
ri = np.linspace(a,b,muestras)
Areai = Area(ri)

# SALIDA
plt.plot(ri,Areai)
plt.xlabel('r (cm)')
plt.ylabel('Area (cm2)')
plt.title('Area hoja para material cilindro')
plt.show()

Ejercicio: 3Eva_IIT2009_T2 Valor inicial Runge-Kutta 4to orden dy/dx

La ecuación del problema:

(1-x^2)y' - xy = x (1-x^2)

se despeja:

(1-x^2)y' = x (1-x^2) - xy y' = x - \frac{xy}{(1-x^2)}

con valores iniciales x₀ = 0 , y₀ = 2, h = 0.1 en el intervalo [0, 0.5]

Usando Runge-Kutta de 2do Orden

Iteración 1

K_1 = h y'(0,2) = (0.1)\Big[0 - \frac{0 (2)}{(1-(0^2))}\Big] = 0 K_2 = h y'(0+0.1, 2 + 0) = (0.1)\Big[0.1 - \frac{0.1 (2+0)}{(1-(0.1^2))}\Big] = 0.0302 y_1= 2 + \frac{0+0.0302}{2} = 2.0151 x_1 = x_0 + h = 0 + 0.1 = 0.1

Iteración 2

K_1 = h y'(0.1,2.0151) = (0.1)\Big[0.1 - \frac{0.1 (2.0151)}{(1-(0.1^2))}\Big] = 0.0304 K_2 = h y'(0.1+0.1, 2.0151 + 0.0304) = (0.1)\Big[0.2 - \frac{0.2 (2.0151 + 0.0304)}{(1-(0.2^2))}\Big] = 0.0626 y_2 = 2.0151 + \frac{0.0304+0.0626}{2} = 2.0616 x_2 = x_1 + h = 0.1 + 0.1 = 0.2

Iteración 3

K_1 = h y'(0.2,2.0616) = (0.1)\Big[0.2 - \frac{0.2 (2.0616)}{(1-(0.2^2))}\Big] = 0.0629 K_2 = h y'(0.2+0.1, 2.0616 + 0.0629) = (0.1)\Big[0.3 - \frac{0.3 (2.0616 + 0.0629)}{(1-(0.3^2))}\Big] = 0.1 y_3 = 2.0151 + \frac{0.0629+0.1}{2} = 2.1431 x_3 = x_2 + h = 0.2 + 0.1 = 0.3

siguiendo el algoritmo se completa la tabla:

 [xi,    yi,    K1,    K2    ]
[[0.     2.     0.     0.    ]
 [0.1    2.0151 0.     0.0302]
 [0.2    2.0616 0.0304 0.0626]
 [0.3    2.1431 0.0629 0.1   ]
 [0.4    2.2668 0.1007 0.1468]
 [0.5    2.4463 0.1479 0.211 ]]

Algoritmo en Python

# 3Eva_IIT2009_T2 Valor inicial Runge-Kutta 4to orden dy/dx
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
d1y = lambda x,y : x + x*y/(1-x**2)
x0 = 0
y0 = 2
h = 0.1
a = 0
b = 1/2

# PROCEDIMIENTO
muestras = int((b -a)/h)+1
tabla = np.zeros(shape=(muestras,4),dtype=float)

i = 0
xi = x0
yi = y0
tabla[i,:] = [xi,yi,0,0]

i = i+1
while not(i>=muestras):
    K1 = h* d1y(xi,yi)
    K2 = h* d1y(xi+h,yi+K1)
    yi = yi + (K1+K2)/2
    xi = xi +h
    tabla[i,:] = [xi,yi,K1,K2]
    i = i+1
# vector para gráfica
xg = tabla[:,0]
yg = tabla[:,1]

# SALIDA
# muestra 4 decimales
np.set_printoptions(precision=4)
print(' [xi, yi, K1, K2]')
print(tabla)

# Gráfica
plt.plot(xg,yg)
plt.xlabel('xi')
plt.ylabel('yi')
plt.grid()
plt.show()

Tarea: Realizar con Runge-Kutta de 4to Orden

Ejercicio: 3Eva_IT2009_T2 EDO Taylor Seno(x)

La ecuación del problema es:

xy'+ 2y = \sin (x) \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} y\Big(\frac{\pi}{2} \Big) = 1

Para el algoritmo se escribe separando y’:

y' = \frac{\sin (x)}{x} - 2\frac{y}{x}

tomando como referencia Taylor de 3 términos más el término de error O(h³)

y_{i+1} = y_i +\frac{h}{1!}y'_i + \frac{h^2}{2!}y''_i + \frac{h^3}{3!}y'''_i

Se usa hasta el tercer término para el algoritmo.

y_{i+1} = y_i +\frac{h}{1!}y'_i + \frac{h^2}{2!}y''_i

Se determina que se requiere la segunda derivada para completar la aproximación. A partir de la ecuación del problema se aplica en cada término:

\Big(\frac{u}{v}\Big)' = \frac{u'v-uv' }{v^2} y'' = \frac{\cos (x) x - sin(x)}{x^2} - 2\frac{y'x-y}{x^2} y'' = \frac{\cos (x) x - sin(x)}{x^2} - 2\frac{\Big(\frac{\sin (x)}{x} - 2\frac{y}{x} \Big)x-y}{x^2}

Con lo que se realizan las iteraciones para llenar la tabla

iteración 1

x₀ = π/2= 1.57079633

y₀= 1

y' = \frac{\sin (π/2)}{π/2} - 2\frac{1}{π/2} = -0.40793719 y'' = \frac{\cos (π/2) π/2 - sin(π/2)}{(π/2)^2}+ - 2\frac{(-0.40793719)(π/2)-1}{(π/2)^2}= 0.48531359 y_{1} = 1 +\frac{\pi/10}{1!}(-0.40793719) + \frac{(\pi/10)^2}{2!}(0.48531359) = 0.86

x₁ = x₀+h = 1.57079633 + π/10 =1.88495559

iteración 2

x₁ = 1.88495559

y₁ = 0.86

y' = \frac{\sin (1.88495559)}{1.88495559} - 2\frac{0.86}{1.88495559} = -0.31947719 y'' = \frac{\cos (1.88495559)(1.88495559) - sin(1.88495559)}{(1.88495559)^2} - 2\frac{(-0.31947719) (1.88495559)-y}{(1.88495559)^2} = 0.16854341 y_{2} = 0.86 +\frac{\pi /10}{1!}(-0.31947719) + \frac{(\pi /10)^2}{2!}(0.16854341) = 0.75579202

x₂ = x₁+ h = 1.88495559 + π/10 = 2.19911486

iteración 3

x₂ = 2.19911486

y₂ = 0.75579202

y' = \frac{\sin (2.19911486)}{2.19911486} - 2\frac{y}{2.19911486} = -0.29431724 y'' = \frac{\cos (2.19911486)(2.19911486) - sin(2.19911486)}{(2.19911486)^2} + - 2\frac{(-0.29431724)(2.19911486)-0.75579202}{(2.19911486)^2} = 0.0294177 y_{3} = 0.75579202 +\frac{\pi/10}{1!}(-0.29431724) + \frac{(\pi /10)^2}{2!}(0.0294177)

x₃ = x₃+h = 2.19911486 + π/10 = 2.19911486

Con lo que se puede realizar el algoritmo, obteniendo la siguiente tabla:

estimado
 [xi,          yi,         d1y,        d2y       ]
[[ 1.57079633  1.         -0.40793719  0.48531359]
 [ 1.88495559  0.86       -0.31947719  0.16854341]
 [ 2.19911486  0.75579202 -0.29431724  0.0294177 ]
 [ 2.51327412  0.66374258 -0.29583247 -0.02247944]
 [ 2.82743339  0.5727318  -0.30473968 -0.02730493]
 [ 3.14159265  0.47868397 -0.31027009 -0.00585871]
 [ 3.45575192  0.38159973 -0.30649476  0.02930236]
 [ 3.76991118  0.28383639 -0.29064275  0.06957348]
 [ 4.08407045  0.18899424 -0.26221809  0.10859762]
 [ 4.39822972  0.10111944 -0.22243506  0.14160656]
 [ 4.71238898  0.02410027  0.          0.        ]]

Algoritmo en Python

# 3Eva_IT2009_T2 EDO Taylor Seno(x)
# EDO. Método de Taylor 3 términos 
# estima solucion para muestras separadas h en eje x
# valores iniciales x0,y0
# entrega arreglo [[x,y]]
import numpy as np

def edo_taylor3t(d1y,d2y,x0,y0,h,muestras):
    tamano = muestras + 1
    estimado = np.zeros(shape=(tamano,4),dtype=float)
    # incluye el punto [x0,y0]
    estimado[0] = [x0,y0,0,0]
    x = x0
    y = y0
    for i in range(1,tamano,1):
        y = y + h*d1y(x,y) + ((h**2)/2)*d2y(x,y)
        x = x+h
        estimado[i-1,2:]= [d1y(x,y),d2y(x,y)]
        estimado[i,0:2] = [x,y]
    return(estimado)

# PROGRAMA PRUEBA
# 3Eva_IT2009_T2 EDO Taylor Seno(x).

# INGRESO.
# d1y = y', d2y = y''
d1y = lambda x,y: np.sin(x)/x - 2*y/x
d2y = lambda x,y: (x*np.cos(x)-np.sin(x))/(x**2)-2*(x*(np.sin(x)/x - 2*y/x)-y)/(x**2)
x0 = np.pi/2
y0 = 1
h = np.pi/10
muestras = 10

# PROCEDIMIENTO
puntos = edo_taylor3t(d1y,d2y,x0,y0,h,muestras)
xi = puntos[:,0]
yi = puntos[:,1]

# SALIDA
print('estimado[xi, yi, d1yi, d2yi]')
print(puntos)

# Gráfica
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(xi[0],yi[0],'o', color='r', label ='[x0,y0]')
plt.plot(xi[1:],yi[1:],'o', color='g', label ='y estimada')
plt.title('EDO: Solución con Taylor 3 términos')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

Ejercicio: 3Eva_IIT2007_T3 EDO Taylor orden 2

La ecuación del problema es:

y'= 1 +\frac{y}{t} + \Big(\frac{y}{t}\Big) ^2 1\leq t\leq 2 y(1)=0, h=0.2

Tomando como referencia Taylor de 3 términos más el término de error O(h³)

y_{i+1} = y_i +\frac{h}{1!}y'_i + \frac{h^2}{2!}y''_i + \frac{h^3}{3!}y'''_i

Se usa hasta el tercer término para el algoritmo.

y_{i+1} = y_i +\frac{h}{1!}y'_i + \frac{h^2}{2!}y''_i

Se determina que se requiere la segunda derivada para completar la aproximación. A partir de la ecuación del problema se aplica en cada término:

\Big(\frac{u}{v}\Big)' = \frac{u'v-uv' }{v^2} y'= 1 +\frac{y}{t} + \frac{y^2}{t^2} y''= 0+\frac{y't-y}{t^2} + \frac{2yy't^2-2y^2t}{t^4} y''= \frac{y't-y}{t^2} + \frac{2y\Big(1 +\frac{y}{t} + \frac{y^2}{t^2}\Big) t^2-2y^2t}{t^4}

Con lo que se realizan las iteraciones para llenar la tabla

iteración 1

t₀ = 1

y₀= 0

y'= 1 +\frac{0}{1} + \Big(\frac{0}{1}\Big)^2 = 1 y''= \frac{(1)(1)-0}{(1)^2} + \frac{2(0)(1)(1)^2-2(0)^2(1)}{(1)^4} = 1 y_{1} = 0 +\frac{0.2}{1!}(1) + \frac{0.2^2}{2!}(1) = 0.22

t₁ = t₀ + h = 1 + 0.2 = 1.2

iteración 2

t₁ = 1.2

y₁= 0.22

y'= 1 +\frac{0.22}{1.2} + \Big(\frac{0.22}{1.2}\Big) ^2 = 1.21694444 y''= \frac{y'(1.2)-0.22}{1.2^2} + \frac{2(0.22)y'(1.2)^2-2(0.22)^2(1.2)}{(1.2)^4} = 1.17716821 y_{2} = 0.22 +\frac{0.2}{1!}(1.21694444) + \frac{0.2^2}{2!}(1.17716821) = 0.48693225

t₂ = t₁ + h = 1.2 + 0.2 = 1.4

iteración 3

t₂ = 1.4

y₂= 0.48693225

y'= 1 +\frac{0.48693225}{1.4} + \Big(\frac{0.48693225}{1.4}\Big) ^2 = 1.46877968 y''= \frac{(1.46877968)(1.4)-0.48693225}{1.4^2} + \frac{2(0.48693225)(1.46877968)(1.4)^2-2(0.48693225)^2(1.4)}{1.4^4} = 1.35766995 y_{3} = 0.48693225 +\frac{0.2}{1!}(1.46877968) + \frac{0.2^2}{2!}(1.35766995) = 0.80784159

t₃ = t₂ + h = 1.4 + 0.2 = 1.6

Con lo que se puede realizar el algoritmo, obteniendo la siguiente tabla:

estimado
 [xi,        yi,        d1yi,      d2yi]
[[1.         0.         1.         1.        ]
 [1.2        0.22       1.21694444 1.17716821]
 [1.4        0.48693225 1.46877968 1.35766995]
 [1.6        0.80784159 1.759826   1.57634424]
 [1.8        1.19133367 2.09990017 1.8564435 ]
 [2.         1.64844258 0.         0.        ]]

Ejercicio: 3Eva_IIT2007_T1 EDP Eliptica, problema de frontera

Con los datos del ejercicio se plantean de la siguiente forma en los bordes:

La ecuación a resolver es:

\frac{\delta^2u}{\delta x^2} +\frac{\delta^2 u}{\delta y^2} = 4

Que en su forma discreta, con diferencias divididas centradas es:

\frac{u[i-1,j]-2u[i,j]+u[i+1,j]}{(\Delta x)^2} + \frac{u[i,j-1]-2u[i,j]+u[i,j+1]}{(\Delta y)^2} = 4

Al agrupar constantes se convierte en:

u[i-1,j]-2u[i,j]+u[i+1,j] + + \frac{(\Delta x)^2}{(\Delta y)^2} \Big(u[i,j-1]-2u[i,j]+u[i,j+1] \Big)= 4(\Delta x)^2

Siendo Δx= 1/3 y Δy =2/3, se mantendrá la relación λ = (Δx/Δy)²

u[i-1,j]-2u[i,j]+u[i+1,j] + + \lambda u[i,j-1]-2\lambda u[i,j]+\lambda u[i,j+1] = = 4(\Delta x)^2

---

u[i-1,j]-2(1+\lambda)u[i,j]+u[i+1,j] + + \lambda u[i,j-1]+\lambda u[i,j+1] = 4(\Delta x)^2

---

Se pueden realizar las iteraciones para los nodos y reemplaza los valores de frontera:

i=1 y j=1

u[0,1]-2(1+\lambda)u[1,1]+u[2,1] + + \lambda u[1,0]+\lambda u[1,2] = 4(\Delta x)^2 \Delta y^2-2(1+\lambda)u[1,1]+u[2,1] + + \Delta x^2+\lambda u[1,2] = 4(\Delta x)^2 -2(1+\lambda)u[1,1]+u[2,1] +\lambda u[1,2] = 4(\Delta x)^2 - \Delta y^2 - \Delta x^2 -2(1+0.25)u[1,1]+u[2,1] +0.25 u[1,2] = 4(1/3)^2 - (2/3)^2- (1/3)^2 -2.5u[1,1]+u[2,1] +0.25 u[1,2] = -0.1111

i=2 , j=1

u[1,1]-2(1+\lambda)u[2,1]+u[3,1] + + \lambda u[2,0]+\lambda u[2,2] = 4(\Delta x)^2 u[1,1]-2(1+\lambda)u[2,1]+(\delta y-1)^2 + + \Delta x^2 +\lambda u[2,2] = 4(\Delta x)^2 u[1,1]-2(1+\lambda)u[2,1] + \lambda u[2,2] = 4(\Delta x)^2 - (\Delta y-1)^2 - \Delta x^2 u[1,1]-2(1+0.25)u[2,1] + 0.25 u[2,2] = 4(1/3)^2 - (2/3-1)^2 - (1/3)^2 u[1,1]-2.5u[2,1] + 0.25 u[2,2] = 0.2222

i=1 , j=2

u[0,2]-2(1+\lambda)u[1,2]+u[2,2] + + \lambda u[1,1]+\lambda u[1,3] = 4(\Delta x)^2 (2\Delta y^2)-2(1+\lambda)u[1,2]+u[2,2] + + \lambda u[1,1]+\lambda (\Delta x-1)^2 = 4(\Delta x)^2 -2(1+\lambda)u[1,2]+u[2,2] + \lambda u[1,1] = 4(\Delta x)^2 - (2\Delta y^2) -\lambda (\Delta x-1)^2 -2(1+0.25)u[1,2]+u[2,2] + 0.25 u[1,1] = 4(1/3)^2 - (2(2/3)^2] -0.25 (1/3-1)^2 -2.5u[1,2]+u[2,2] + 0.25 u[1,1] = -0.5555

i=2, j=2

u[1,2]-2(1+\lambda)u[2,2]+u[3,2] + + \lambda u[2,1]+\lambda u[2,3] = 4(\Delta x)^2 u[1,2]-2(1+\lambda)u[2,2]+(\Delta y-1)^2 + + \lambda u[2,1]+\lambda (\Delta x-1)^2 = 4(\Delta x)^2 u[1,2]-2(1+\lambda)u[2,2] + \lambda u[2,1] =4(\Delta x)^2- (\Delta y-1)^2 -\lambda (\Delta x-1)^2 u[1,2]-2(1+0.25)u[2,2] + 0.25 u[2,1] =4(1/3)^2- (2/3-1)^2 -0.25(1/3-1)^2 u[1,2]-2.5u[2,2] + 0.25 u[2,1] =-0.2222

Obtiene el sistema de ecuaciones a resolver:

-2.5u[1,1]+u[2,1] +0.25 u[1,2] = -0.1111 u[1,1]-2.5u[2,1] + 0.25 u[2,2] = 0.2222 -2.5u[1,2]+u[2,2] + 0.25 u[1,1] = -0.5555 u[1,2]-2.5u[2,2] + 0.25 u[2,1] =-0.2222

Se escribe en forma matricial Ax=B

\begin {bmatrix} -2.5 && 1&&0.25&&0 \\1&&-2.5&&0&&0.25\\0.25&&0&&-2.5&&1\\0&&0.25&&1&&-2.5\end{bmatrix} \begin {bmatrix} u[1,1] \\ u[2,1]\\ u[1,2]\\u[2,2] \end{bmatrix} = \begin {bmatrix}-0.1111\\0.2222\\-0.5555\\-0.2222 \end{bmatrix}

que se resuelve con un algoritmo:

import numpy as np

A = np.array([[-2.5,1,0.25,0],
              [1,-2.5,0,0.25],
              [0.25,0,-2.5,1],
              [0,0.25,1,-2.5]])
B = np.array([-0.1111,0.2222,-0.5555,-0.2222])

x = np.linalg.solve(A,B)

print(x)

y los resultados son:

[ 0.05762549 -0.04492835  0.31156835  0.20901451]

Ejercicio: 1Eva_IT2017_T2 Tanque esférico-volumen

a. Planteamiento del problema

V = \frac{\pi h^{2} (3r-h)}{3}

Si r=1 m y V=0.75 m³,

0.75 = \frac{\pi h^{2} (3(1)-h)}{3} 0.75 -\frac{\pi h^{2} (3(1)-h)}{3} = 0 f(h) = 0.75 -\frac{\pi h^{2} (3-h)}{3} = 0.75 -\frac{\pi}{3}(h^{2} (3)-h^{2}h) = 0.75 -\frac{\pi}{3}(3 h^{2} - h^{3}) f(h) = 0.75 -\pi h^{2} + \frac{\pi}{3}h^{3}

---

b. Intervalo de búsqueda de raíz

El tanque vacio tiene h=0 y completamente lleno h= 2r = 2(1) = 2, por lo que el intevalo tiene como extremos:

[0,2]

Verificando que exista cambio de signo en la función:

f(0) = 0.75 -\pi (0)^{2} + \frac{\pi}{3}(0)^{3} = 0.75 f(2) = 0.75 -\pi (2)^{2} + \frac{\pi}{3}(2)^{3}= -3.4387

y verificando al usar la gráfica dentro del intervalo:

Tolerancia

Se indica en el enunciado como 0.01 que es la medición mínima a observar con un flexómetro.

tolera = 0.01

---

c. Método de Newton-Raphson
d. Método de Punto Fijo

---

c. Método de Newton-Raphson

El método de Newton-Raphson requiere la derivada de la función:

x_{i+1} = x_i -\frac{f(x_i)}{f'(x_i)} f(h) = 0.75 -\pi h^{2} + \frac{\pi}{3}h^{3} f'(h) = -2\pi h + \pi h^{2}

Tomando como punto inicial de búsqueda el extremo izquierdo del intervalo, genera una división para cero. Por lo que se mueve un poco a la derecha, algo más cercano a la raiz, viendo la gráfica por ejemplo 0.1

x₀ = 0.1

iteración 1

i =0

f(0.1) = 0.75 -\pi (0.1)^{2} + \frac{\pi}{3}(0.1)^{3} =0.7196 f'(0.1) = -2\pi (0.1) + \pi (0.1)^{2} = -0.5969 x_{1} = x_0 -\frac{0.7496 }{-0.0625} = 1.3056 tramo = |x_{1}-x_{0}| = |0.1-1.3056 | = 1.2056

iteración 2

i =1

f(1.3056) = 0.75 -\pi (1.3056)^{2} + \frac{\pi}{3}(1.3056)^{3} = -2.2746 f'(1.3056) = -2\pi (1.3056) + \pi (1.3056)^{2} =-2.8481 x_{1} = x_0 -\frac{-2.2746}{-2.8481} = 0.5069 tramo = |x_{2}-x_{1}|=|0.5069-1.3056|=0.7987

iteración 3

i =2

f(0.5069) = 0.75 -\pi (0.5069)^{2} + \frac{\pi}{3}(0.5069)^{3} = 0.0789 f'(0.5069) = -2\pi (0.5069) + \pi (0.5069)^{2} =-2.3780 x_{1} = x_0 -\frac{0.0789}{-2.3780} = 0.5401 tramo = |x_{3}-x_{2}| =|0.5401 - 0.5069| = 0.0332

Observe que el tramo disminuye en cada iteración , por lo que el método converge, si se siguen haciendo las operaciones se tiene que:

 [ xi, xnuevo, tramo]
[[1.00000000e-01 1.30560920e+00 1.20560920e+00]
 [1.30560920e+00 5.06991599e-01 7.98617601e-01]
 [5.06991599e-01 5.40192334e-01 3.32007350e-02]
 [5.40192334e-01 5.39518667e-01 6.73667593e-04]]
raiz 0.5395186666699257

Instrucciones en Python

para Método de Newton-Raphson

# 1Eva_IT2017_T2 Tanque esférico-volumen
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
fx = lambda h: 0.75 - np.pi*(h**2)+(np.pi/3)*h**3
dfx = lambda h: -2*np.pi*h+np.pi*(h**2)

# Parámetros de método
a = 0
b = 2
tolera = 0.01
x0 = 0.1
iteramax = 100

# parametros de gráfica
La = a
Lb = b
muestras = 21

# PROCEDIMIENTO
# Newton-Raphson
tabla = []
tramo = abs(2*tolera)
xi = x0
while (tramo>=tolera):
    xnuevo = xi - fx(xi)/dfx(xi)
    tramo = abs(xnuevo-xi)
    tabla.append([xi,xnuevo,tramo])
    xi = xnuevo
tabla = np.array(tabla)

# calcula para grafica
hi = np.linspace(La,Lb,muestras)
fi = fx(hi)
gi = dfx(hi)

# SALIDA
print(' [ xi, xnuevo, tramo]')
print(tabla)
print('raiz', xnuevo)
plt.plot(hi,fi)
plt.plot(xi,fx(xi),'ro')
plt.axhline(0, color='green')
plt.xlabel('h')
plt.ylabel('V')
plt.title('Método Newton-Raphson')
plt.show()

---

Planteo con Punto Fijo

---

d. Método de Punto Fijo

Del planteamiento del problema en el literal a, se tiene que:

0.75 = \frac{\pi h^{2} (3(1)-h)}{3}

de donde se despeja una h:

\frac{3(0.75)}{\pi (3(1)-h) } = h^{2} h = \sqrt{\frac{3*0.75}{\pi (3-h) }} h = \sqrt{\frac{2.25}{\pi (3-h) }}

con lo que se obtienen las expresiones a usar en el método

identidad = h g(h) = \sqrt{\frac{2.25}{\pi (3-h) }}

El punto inicial de búsqueda debe encontrarse en el intervalo, se toma el mismo valor que x0 en el método de Newton-Raphson

x₀ = 0.10

Iteracion 1

x_0= 0.10 g(0.10) = \sqrt{\frac{2.25}{\pi (3-(0.10) }}= 0.4969 tramo= |0.4969-0.10| = 0.3869

Iteracion 2

x_1= 0.4969 g(0.4969) = \sqrt{\frac{2.25}{\pi (3-(0.4969 ) }}= 0.5349 tramo= |0.5349- 0.4969| = 0.038

Iteracion 3

x_2 =0.5349 g(0.5349) = \sqrt{\frac{2.25}{\pi (3-(0.5349) }}= 0.5390 tramo= |0.5390 - 0.5349| = 0.0041

con lo que se cumple el criterio de tolerancia, y se obtiene la raiz de:

raiz = 0.5390

Tabla de resultados, donde se observa que el tramo o error en cada iteración disminuye, por lo que el método converge.

 [i,xi,xi+1,tramo]
[[1.         0.1        0.4969553  0.3969553 ]
 [2.         0.4969553  0.5349116  0.03795631]
 [3.         0.5349116  0.53901404 0.00410243]]
raiz 0.5390140355891347
>>> 

Instrucciones en Python

para Método de Punto-Fijo, recordamos que el método puede diverger, por lo que se añade el parámetro iteramax

# 1Eva_IT2017_T2 Tanque esférico-volumen
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
fx = lambda h: h
gx = lambda h: np.sqrt(2.25/(np.pi*(3-h)))

a = 0.1
b = 2
tolera = 0.01
iteramax = 100

La = a
Lb = b
muestras = 21

# PROCEDIMIENTO
# Punto Fijo
tabla = []
i = 1 # iteración
b = gx(a)
tramo = abs(b-a)
while not(tramo<=tolera or i>=iteramax):
    tabla.append([i,a,b,tramo])
    a = b
    b = gx(a)
    tramo = abs(b-a)
    i = i+1
tabla.append([i,a,b,tramo])
respuesta = b

# Validar respuesta
if (i>=iteramax):
    respuesta = np.nan
tabla = np.array(tabla)

# calcula para grafica
hi = np.linspace(La,Lb,muestras)
fi = fx(hi)
gi = gx(hi)

# SALIDA
print(' [i, xi, xi+1, tramo]')
print(tabla)
print('raiz', respuesta)
plt.plot(hi,fi, label = 'identidad', color='green')
plt.plot(hi,gi, label = 'g(h)', color = 'orange')
plt.plot(b,gx(b),'ro')
plt.axhline(0, color='green')
plt.xlabel('h')
plt.ylabel('V')
plt.title('Método Punto Fijo')
plt.legend()
plt.axhline(0, color='green')
plt.show()

Otra forma de probar la convergencia es que |g'(x)|<1 que se observa en la una gráfica adicional, lo que limita aún más el intervalo de búsqueda.

Desarrollo en la siguiente clase.

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Ejercicio: 1Eva_IT2016_T3_MN Tasa interés anual

Propuesta de Solución  empieza con el planteamiento del problema, luego se desarrolla con el método de Bisección y método del Punto Fijo solo con el objetivo de comparar resultados.

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Planteamiento del problema

La fórmula del enunciado para el problema es:

A = P \frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n} -1}

que con los datos dados se convierte a:

5800 = 35000 \frac{i(1+i)^8}{(1+i)^8 -1} 35000 \frac{i(1+i)^8}{(1+i)^8 -1}-5800 =0

que es la forma de f(x) = 0

f(i)=35000 \frac{i(1+i)^8}{(1+i)^8 -1}-5800

Intervalo de búsqueda

Como el problema plantea la búsqueda de una tasa de interés, consideramos que:

• Las tasas de interés no son negativas. ⌉(i<0)
• Las tasas de interés no son cero en las instituciones bancarias (i≠0)
• Las tasas muy grandes 1 = 100/100 = 100% tampoco tienen mucho sentido

permite acotar la búsqueda a un intervalo (0,1].
Sin embargo tasas demasiado altas tampoco se consideran en el problema pues el asunto es regulado (superintendencia de bancos), por lo que se podría intentar entre un 1% = 0.01l y la mitad del intervalo 50%= 0.5 quedando

[0.01,0.5]

Tolerancia

si la tolerancia es de tan solo menor a un orden de magnitud que el valor buscado, se tiene que las tasas de interés se representan por dos dígitos después del punto decimal, por lo que la tolerancia debe ser menor a eso.

Por ejemplo: tolerancia < 0.001 o aumentando la precisión

tolera = 0.0001

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Método de la Bisección

itera = 1

a = 0.01, b = 0.5

c = \frac{a+b}{2} = \frac{0.01+0.5}{2} = 0.255 f(0.01) = 35000 \frac{0.01(1+0.01)^8}{(1+0.01)^8-1}-5800 = -1225.83 f(0.5) = 35000 \frac{0.5(1+0.5i)^8}{(1+0.5)^8-1}-5800 = 12410.54

con lo que se verifica que existe cambio de signo al evaluar f(x) en el intervalo y puede existir una raíz.

f(0.255) = 35000 \frac{0.255(1+0.255)^8}{(1+0.255)^8-1}-5800 = 4856.70

lo que muestra que f(x) tiene signos en a,c,b de (-) (+) (+), seleccionamos el intervalo izquierdo para continuar la búsqueda [0.01, 0.255]

El tramo permite estimar el error, reduce el intervalo a:

tramo = b-a = 0.255-0.01 = 0.245

valor que todavía es más grande que la tolerancia de 10^-4, por lo que hay que continuar las iteraciones.

itera = 2

a = 0.01, b = 0.255

c = \frac{0.01+0.255}{2} = 0.1325 f(0.01) = -1225.83 f(0.255) = 4856.70 f(0.1325 ) = 35000 \frac{0.1325(1+0.1325)^8}{(1+0.1325)^8-1}-5800 = 1556.06

lo que muestra que f(x) tiene signos en a,c,b de (-) (+) (+), seleccionamos el intervalo izquierdo para continuar la búsqueda [0.01, 0.1325]

El tramo permite estimar el error, reduce el intervalo a:

tramo = b-a = 0.1325-0.01 = 0.1225

valor que todavía es más grande que la tolerancia de 10-4, por lo que hay que continuar las iteraciones.

itera = 3

a = 0.01, b = 0.1325

c = \frac{0.01+0.1225}{2} = 0.071 f(0.01) = -1225.83 f(0.1325) = 1556.06 f(0.071 ) = 35000 \frac{0.071(1+0.071)^8}{(1+0.071)^8-1}-5800 = 89.79

lo que muestra que f(x) tiene signos en a,c,b de (-) (+) (+), seleccionamos el intervalo izquierdo para continuar la búsqueda [0.01, 0.071]

El tramo permite estimar el error, reduce el intervalo a:

tramo = b-a = 0.071-0.01 = 0.061

valor que todavía es más grande que la tolerancia de 10-4, por lo que hay que continuar las iteraciones.

Para una evaluación del tema en forma escrita es suficiente para mostrar el objetivo de aprendizaje, el valor final se lo encuentra usando el algoritmo.

       raiz en:  0.06724243164062502
error en tramo:  5.981445312500111e-05
iteraciones:  13
>>>

Algoritmo en Python

# 1Eva_IT2016_T3_MN Tasa interés anual
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
fx = lambda x: 35000*(x*(1+x)**8)/((1+x)**8 -1) -5800
a = 0.01
b = 0.5
tolera = 0.0001

# PROCEDIMIENTO
cuenta = 0
np.set_printoptions(precision=3)
tramo = b-a
while not(tramo<tolera):
    c = (a+b)/2
    fa = fx(a)
    fb = fx(b)
    fc = fx(c)
    cambia = np.sign(fa)*np.sign(fc)
    if cambia < 0: a = a b = c if cambia > 0:
        a = c
        b = b
    tramo = b-a
    cuenta = cuenta+1

# SALIDA
print('       raiz en: ', c)
print('error en tramo: ', tramo)
print('iteraciones: ',cuenta)

---

Método del Punto Fijo

El planteamiendo del punto fijo se realiza con x= g(x), por lo que se reordena la ecuación a:

35000 \frac{i(1+i)^8}{(1+i)^8 -1}-5800 =0 35000 \frac{i(1+i)^8}{(1+i)^8 -1}=5800 \frac{i(1+i)^8}{(1+i)^8 -1}=\frac{5800}{35000} i=\frac{58}{350} \frac{(1+i)^8 -1} {i(1+i)^8}

con lo que g(x) es:

g(i)=\frac{58}{350} \frac{(1+i)^8 -1} {(1+i)^8}

valor inicial de búsqueda

Para el punto inicial i₀ se puede usar uno de los extremos del intervalo propuesto en la sección de planteamiento. Para reducir aun más la búsqueda se pude seleccionar el punto intermedio

 i₀ = 0.255

Itera = 1

 i₀ = 0.255

g(0.255i)=\frac{58}{350} \frac{(1+0.255)^8 -1} {(1+0.255)^8} = 0.1387

el error se estrima como el tramo recorrido entre el valor nuevo y el valor inicial

tramo = | nuevo-antes| = |0.1387 - 0.255| = 0.1163

como el tramo o error es aún mayor que el valor de tolera, se continúa con la siguiente iteración.

Itera = 2

i₁ = g(i₀ ) = 0.1387

g(0.1387)=\frac{58}{350} \frac{(1+0.1387)^8 -1} {(1+0.1387)^8} = 0.1071

el error se estrima como el tramo recorrido entre el valor nuevo y el valor inicial

tramo = | nuevo-antes| = |0.1071 - 0.1387| = 0,0316

como el tramo o error es aún mayor que el valor de tolera, se continúa con la siguiente iteración.

Itera = 3

i₂ = g(i₁ ) = 0.1071

g(0.1071)=\frac{58}{350} \frac{(1+0.1071)^8 -1} {(1+0.1071)^8} = 0.0922

el error se estrima como el tramo recorrido entre el valor nuevo y el valor inicial

tramo = | nuevo-antes| = |0.0922 - 0.1071| = 0,0149

como el tramo o error es aún mayor que el valor de tolera, se continúa con la siguiente iteración.

Observación: Como el error disminuye entre cada iteración, se considera que el método converge, si se realizan suficientes iteraciones se cumplierá con el valor de tolerancia y se habrá llegado a la precisión requerida.

Usando el algoritmo se tiene:

iteraciones: 17
    raiz en: 0.06754389199556779
>>>

Algoritmo en Python

# Algoritmo de Punto Fijo
# x0 valor inicial de búsqueda
# error = tolera

import numpy as np
def puntofijo(gx,antes,tolera, iteramax=50):
    itera = 1 # iteración
    nuevo = gx(antes)
    tramo = abs(nuevo-antes)
    while(tramo>=tolera and itera<=iteramax ):
        antes = nuevo
        nuevo = gx(antes)
        tramo = abs(nuevo-antes)
        itera = itera+1
    respuesta = nuevo
    # Validar respuesta
    if (itera>=iteramax ):
        respuesta = np.nan
    print('iteraciones:',itera)
    return(respuesta)

# PROGRAMA ---------

# INGRESO
gx = lambda i: (58/350)*((1+i)**8-1)/((1+i)**8)

a = 0       # intervalo
b = 0.5

x0 = 0.255
tolera = 0.0001
iteramax  = 50      # itera máximo

# PROCEDIMIENTO
respuesta = puntofijo(gx,0.255,tolera,iteramax)

# SALIDA
print('    raiz en:',respuesta)