1Eva_IT2019_T3 Vector perpendicular a plano

1ra Evaluación I Término 2019-2020. 2/Julio/2019. MATG1013

Tema 2. ( 30 puntos) Considere los siguientes vectores:
V1 = (2,-3,a)
V2=(b,1,-4)
V3= (3,c,2)

Se sabe que V1 es perpendicular a V y V3.

También se sabe que V2.V3=2.

Use un método para encontrar el valor de las incógnitas a,b,c

a) Plantee el sistema

b) Resuelva con el método de eliminación de Gauss

c) Vuelva a resolver con el método de Jacobi con x(0) = [0,0,0], realice tres iteraciones

d) Encuentre el residuo, cota del error absoluto y relativo

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b, ordenar las ecuaciones(5 puntos), método Gauss (10 puntos);  literal c, aplicarJacobi (5 puntos), literal d (5 puntos)


Notas:
– Todos los temas deben mostrar evidencia del desarrollo del método numérico planteado.
– En geometría euclídea se tiene, dos vectores v1 y v2 que son ortogonales forman un ángulo recto, por lo tanto v1 ⋅ v2 = 0. https://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalidad_(matem%C3%A1ticas)

Referencia: Chapra 5ed. problema 10.18 p304, pdf 328.

1Eva_IT2010_T3_MN Precio artículos

1ra Evaluación I Término 2010-2011. 6/Julio/2010. ICM02188. Métodos Numéricos

Tema 3. Un comerciante compra cuatro artículos: arroz, manzanas, papas y tomates.

Estos productos se venden por peso en Kg.

El cajero registra el peso adquirido de cada artículo y el costo total en dólares que debe pagar por los cuatro artículos.

El comerciante desea conocer el precio por Kg. de cada artículo, para lo cual dispone de cuatro facturas con los siguientes datos:

cantidades en Kg
 Factura  Arroz  Manzanas  Papas  Tomates  Costo ($)
 1  2  2  4  1  15.0
 2  2  2  5  2  18.3
 3  4  1  1  2  12.3
 4  2  5  2  1  19.2

a. Formule el modelo matemático para resolver este problema: sistema de ecuaciones lineales

b. Use el método de Gauss-Jordan para calcular la solución. Simultáneamente, transforme la matriz identidad para obtener la inversa de la matriz de coeficientes.

3Eva_IIT2008_T2_MN Sistema de ecuaciones

3ra Evaluación II Término 2008-2009. 3/Marzo/2009. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. (30 puntos) Dado el sistema de ecuaciones lineales AX=B:

A = [a_{i,j}], B[b_i] a_{i,j} = \frac{1}{i+j-1}, b_i = i^{2} 1\leq i,j\leq 3

a. Determine el nivel de mal condicionamiento de A con la definición:

cond(A) = ||A|| ||A-1||

b. Obtenga el vector solución X e indique si esta solución es confiable.

Use el método de Gauss-Jordan partiendo de la matriz aumentada, ABI. Al transformar la matriz A en I, las transformaciones aplicadas simultáneamente al vector B, lo convertirán en la solución. El proceso también afecta a la matriz I que se convierte en A-1 .

Use 4 decimales sin redondear en sus cálculos.

1Eva_IIIT2007_T1 Container: Cocinas y Refrigeradoras

1ra Evaluación III Término 2007-2008. 3/Marzo/2008. ICM00158

Tema 1. En un container se transportaron cocinas y refrigeradoras.


Cada cocina pesa 100Kg y cada refrigeradora 200Kg.

Por otro lado, una cocina ocupa un espacio de 1.05 m3 y cada refrigeradora 2 m3.

En total entre cocinas y refrigeradoreas se registró un peso de 1000Kg y ocuparon juntas un espacio de 10.4 m3.

Se desea conocer cuántas cocinas y refrigeradoras se transportó en el container.

a. Plantear este problema como el de un sistema de ecuaciones y resolverlo con un método directo (Gauss), usar aritmética de 4 dígitos.

b. El encargado de transporte se equivocó, y en realidad cada cocina ocupa un espacio de 1.1 m3. Encuentre nuevamente la solución.

c. El sistema de ecuaciones usado ¿Es bién o mal condicionado?


 

1Eva_IIT2008_T1 Distribuidores de productos

1ra Evaluación II Término 2008-2009. 9/Diciembre/2008. ICM00158

Tema 1.  En una región se desean instalar tres nuevos distribuidores X1, X2, X3 de un producto. En las cercanías ya existen otros distribuidores: A, B, C, D, E, F, G del mismo producto.

En el gráfico, los círculos indican el precio de venta del producto que ofrece cada distribuidor. Las líneas con los que otros distribuidores están directamente conectados y el costo del transporte.

Determine el precio de venta que deben establecer los distribuidores X1, X2 y X3, de tal manera que sean el promedio de los precios de los distribuidores con los que están directamente conectados, incluyendo el precio del transporte.

a) Plantee un modelo matemático para describir el problema (sistema de ecuaciones lineales)

b) Encuentre la solución con el método de Gauss-Jordan

c) Determine si el método iterativo de Jacobi converge. Realice tres iteraciones y encuentre la norma del error. Vector inicial. vector cero.

1Eva_IIT2008_T2_MN Distribuidores de productos

1ra Evaluación II Término 2008-2009. 9/Diciembre/2008. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2.  Para mejorar la cadena de distribución de un producto, se desea instalar tres nuevos distribuidores X1, X2, X3 en la parte interna de la región. En las cercanías ya existen otros distribuidores: A, B, C, D, E, F, G del mismo producto.

En el gráfico, el valor de los círculos indican el precio de venta del producto que ofrece cada distribuidor. Las líneas muestran los otros distribuidores que están directamente conectados y el costo del transporte.

Determine el precio de venta que deben establecer los distribuidores X1, X2 y X3, de tal manera que sean el promedio de los precios de los distribuidores con los que están directamente conectados, incluyendo el precio del transporte.

a) Plantee un modelo matemático para describir el problema (sistema de ecuaciones lineales)

b) Encuentre la solución con un método numérico directo

1Eva_IT2008_T2 Temperatura en placa

1ra Evaluación I Término 2008-2009. 8/Julio/2008. ICM00158

Tema 2. La temperatura de una placa está dada por la temperatura de sus bordes, en cada nodo de la malla formada, la temperatura es igual al promedio de los nodos contíguos (arriba, abajo, derecha e izquierda) como se indica en el diagrama adjunto.

a) Plantee el sistema de ecuaciones asociado para hallar las temperaturas en los nodos interiores de la malla.

b) Utilice el método de eliminación de Gauss con una aritmética de 4 dígitos para aproximar la solución del sistema en el literal a.

1Eva_IT2009_T2 Materiales y Productos 3×4

1ra Evaluación I Término 2009-2010. 7/Julio/2009. ICM00158

Tema 2. (40 puntos). Una empresa produce cuatro productos: P1, P2, P3, P4 usando tres tipos de materiales M1, M2, M3.

Para fabricar cada Kg de cada producto se requiere la siguiente cantidad en Kg, de los tres materiales en la siguiente proporción:

P1 P2 P3 P4
M1 0.2 0.5 0.4 0.2
M2 0.3 0 0.5 0.6
M3 0.4 0.5 0.1 0.2

La cantidad disponible de cada material es: 10, 12, 15 Kg respectivamente, los cuales deben usarse completamente.

a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales para determinar la cantidad producida de cada producto. Use el método de Gauss-Jordan para reducir el sistema a la forma escalonada con 1’s en la diagonal hasta donde sea posible. Use dos decimales en los cálculos.

b) Encuentre la variable libre y asígnela un t. Exprese la solución (cantidad de unidades producidas de cada producto) en términos de la variable t y determine su dominio.


Suponiendo que la última variable para P4 sea cero, se inicia con:

A = np.array([[0.2, 0.5, 0.4],
              [0.3, 0.0, 0.5],
              [0.4, 0.5, 0.1]])
B = np.array([10, 12, 15],dtype=float)

1Eva_IIT2009_T2 Contenedores en buque

1ra Evaluación II Término 2009-2010. 1/Diciembre/2009. ICM00158

Tema 2. Un pequeño buque porta-contenedores tiene una capacidad remanente para llevar un peso de 10 toneladas de carga y 10.4 m3 de volumen en contenedores tipo I y tipo II.

Buques portacontenedores. El Triple-E Maersk Mc-Kinney Moller.

Los contenedores tipo I tienen un peso de 1 tonelada y ocupan un volumen de 1.1 m3, mientras que los de tipo II tienen un peso de 2 toneladas y ocupan un volumen de 2 m3.

Si se llenó la capacidad remanente del buque tanto en peso como en volumen, y utilizando el método directo de Gauss con aritmética de 3 dígitos y estrategia de pivoteo parcial:

a) Determinar cuántos contenedores tipo I y tipo II llevó el buque.

b) Luego se comprobó que hubo un pequeño error en la estimación del volumen que ocupa cada contenedor del tipo I. En lugar de 1.1 m3 en realidad estos contenedores ocupan 1.05 m3, los otros parámetros estaban bien estimados. Determinar cuál era la cantidad real de contenedores tipo I y II que debió haber llevado el buque para utilizar su capacidad completa de peso y volumen.

c) El sistema es bien o mal condicionado? Determine el número de condición.


1Eva_IIT2009_T3_MN Productos y materiales 4×3

1ra Evaluación II Término 2009-2010. 1/Diciembre/2009. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. (40 puntos). Productos plásticos
Una empresa produce cuatro productos:
P1, P2, P3, P4 usando tres tipos de materiales M1, M2, M3.

Para fabricar cada Kg. de cada producto se requiere la siguiente cantidad en Kg, de los tres materiales en la siguiente proporción:

P1 P2 P3 P4
M1 0.2 0.2 0.1 0.5
M2 0.4 0.6 0.8 0.4
M3 0.4 0.2 0.1 0.1

La cantidad disponible de cada material es: 15, 20, 12 Kg. respectivamente, los cuales deben usarse completamente.

a) Resuelva este sistema dejando como variable libre la cantidad del producto P4. Use el método de Gauss-Jordan para reducir el sistema a la forma diagonal hasta donde sea posible.

b) Luego exprese las ecuaciones en función de la variable libre y determine un rango para la cantidad que debe fabricarse del producto P4 de tal manera que la cantidad fabricada de los otros tres productos sea positiva.

c) Del rango obtenido seleccione un valor entero para la cantidad de P4 y con este valor, determine la cantidad correspondiente para cada uno de los otros tres productos P1, P2, P3.