Propagación multitrayecto o multicamino en plano inclinado
Referencia: Sears-Zemansky Cap33.2 Vol2 Ed.12 p1123, Optica – Rayo reflejado en plano horizontal
El plano de reflexión puede estar inclinado respecto al eje de las x. Para el caso dado, se puede considerar igualar las pendientes del rayo incidente y reflejado referenciadas con la pendiente del plano inclinado.
la pendiente del plano inclinado se obtiene como:
m_s = \frac{\Delta suelo } {\Delta x_{intervalo}} = \frac{s_b-s_a}{x_b-x_a}Respecto al plano, los ángulos de rayo incidente y reflejado son iguales por lo que secorrige con la pendiente del plano. Las pendientes del rayo izquierdo y rayo derecho con la influencia de la pendiente del suelo se igualan:
-(m_z-m_s) = m_r-m_s -m_z = m_r - 2 m_sPara obtener sc como un punto en el plano, requiere función de suelo(x) evaluada en sc , para usar todo en función de xc :
m_s = \frac{\Delta s}{\Delta x} = \frac{s_b-s_a}{x_b-x_a} s(x) = m_s x_a +b_s b_s = s_a-m_s x_a s_c = s(c) = m_s x_c +b_sLo anterior permite actualizar el planteamiento de la pendientes, y despejar el valor de la incógnita xc
-m_z = m_r - 2 m_s - \frac{s_c-y_a}{x_c-x_a} = \frac{y_b-s_c}{x_b-x_c}-2m_s - \frac{s_c-y_a}{x_c-x_a} = \frac{y_b-s_c-2m_s(x_b-x_c)}{x_b-x_c}primero se busca agrupar sc
-(x_b-x_c)(s_c-y_a) = (x_c-x_a)(y_b-s_c-2m_s(x_b-x_c))-s_c(x_b-x_c)+y_a(x_b-x_c) = y_b(x_c-x_a)-s_c(x_c-x_a)-2m_s(x_b-x_c)(x_c-x_a)
-s_c(x_b-x_c) + s_c(x_c-x_a) = -y_a(x_b-x_c) + y_b(x_c-x_a) - 2m_s(x_b-x_c)(x_c-x_a)
s_c(-x_b+x_c+x_c-x_a) = -x_b y_a+x_c y_a + y_b x_c - x_a y_b -2m_s(x_b(x_c-x_a)-x_c(x_c-x_a))
sutituyendo sc con la expresión del plano con pendiente evaluada en el punto xc , lo que se expresa como:
(m_s x_c +b_s)(2 x_c-(x_a+x_b)) = x_c (y_a + y_b)-(x_a y_b -x_b y_a)-2m_s(x_b x_c- x_a x_b - x_c^2 + x_a x_c))teniendo ahora como objetivo encontrar una expresión para xc
m_s x_c (2 x_c-(x_a+x_b))+b_s(2 x_c-(x_a+x_b)) = x_c (y_a + y_b)-(x_a y_b +x_b y_a)-2m_s(- x_c^2 + x_c(x_b + x_a) - x_a x_b)2m_s x_c^2 - m_s x_c(x_a+x_b)+2 b_s x_c-b_s(x_a+x_b) = x_c (y_a + y_b)-(x_a y_b +x_b y_a)+ 2m_s x_c^2 - 2m_s x_c (x_b + x_a) + 2m_s x_a x_b
x_c(- m_s (x_a+x_b)+2 b_s)-b_s(x_a+x_b) = x_c (y_a + y_b- 2m_s (x_b + x_a))-(x_a y_b +x_b y_a) + 2m_s x_a x_b
x_c(- m_s (x_a+x_b)+2 b_s) -x_c (y_a + y_b- 2m_s (x_b + x_a)) = b_s(x_a+x_b) -(x_a y_b +x_b y_a) + 2m_s x_a x_b
x_c(2 b_s - (y_a + y_b) - m_s (x_a+x_b) + 2m_s (x_b + x_a)) = b_s(x_a+x_b) -(x_a y_b +x_b y_a) + 2m_s x_a x_b
x_c(2 b_s - (y_a + y_b) + m_s(x_a+x_b) = b_s(x_a+x_b) -(x_a y_b +x_b y_a) + 2m_s x_a x_b
x_c(2 b_s - (y_a + y_b) + m_s (x_a+x_b)) = b_s(x_a+x_b) -(x_a y_b +x_b y_a) + 2m_s x_a x_b
x_c = \frac{b_s(x_a+x_b) -(x_a y_b +x_b y_a) + 2m_s x_a x_b}{2 b_s - (y_a + y_b) + m_s (x_a+x_b)}
Con el valor de xc se pudede obtener la altura del punto sc. a partir de la ecuación que describe el plano s(x).
Algoritmo en Python
A partir del algoritmo del rayo reflejado en plano horizontal , se añaden las instrucciones para calcular ms, bs, xc, sc.
obteniendo ahora el resultado:
punto reflejado: [ 7.666666666666665 , 1.3333333333333335 ]
con la gráfica
Instrucciones en Python
# rayo incidente y reflejado # en plano inclinado # blog.espol.edu.ec/ccpg1001 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # INGRESO # posición de antenas xa = 1 # Izquierda ya = 4 xb = 11 # Derecha yb = 2 # plano el suelo sa = 2 sb = 1 # muestras en grafica muestras = 21 # PROCEDIMIENTO # pendiente de suelo ms = (sb-sa)/(xb-xa) bs = sa-ms*xa # punto de reflejo numerador = bs*(xa+xb)-(xa*yb+xb*ya)+2*ms*xa*xb denominador = 2*bs-(ya+yb)+ms*(xa+xb) xc = numerador/denominador sc = ms*xc+bs # SALIDA print('punto reflejado: [',xc,',',sc,']') # GRAFICA #puntos en el plano plt.scatter([xa,xc,xb],[ya,sc,yb]) plt.scatter([xc],[sc],label='punto reflejo') # lineas de rayos plt.plot([xa,xc],[ya,sc],label='incidende') plt.plot([xc,xb],[sc,yb],label='reflejado') plt.plot([xa,xb],[sa,sb],label='suelo') # etiquetas anotadas plt.annotate(' reflejo',[xc,sc]) # etiquetas plt.legend() plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('reflexión de rayos en plano inclinado') plt.grid() plt.show()
Tarea: Consiere que el suelo está compuesto de al menos dos segmentos con inclinaciones diferentes. Podría darse mas de una reflexión al punto de recepción o ninguna
Una aplicación relacionada de análisis multitrayecto en Girni: Coordenadas – Rayo reflejado en perfil por tramos
