5.1 Optica – Rayo reflejado en plano horizontal con Python

Referencia: Sears-Zemansky Cap33.2 Vol2 Ed.12 p1123

El modelo de luz basado en rayos permite describir la propagación por: reflexión y refracción.

Un rayo de onda luminosa que incide en una material liso que separa dos materiales transparentes (como el aire y el vidrio o el agua y el vidrio), el rayo es reflejado parcialmente y también refractado parcialmente hacia el segundo material.

Los rayos incidente, reflejado y refractado en una interfaz lisa entre dos materiales ópticos forman ángulos θarb respecto a la normal (perpendicular) a la superficie en el punto de incidencia se ilustra en la figura. Si la superficie es rugosa, tanto la luz transmitida como la reflejada se dispersan en varias direcciones y no hay un ángulo único de transmisión o reflexión.

La reflexión con un ángulo definido desde una superficie muy lisa se llama reflexión especular ( latin de “espejo”). La reflexión dispersa a partir de una superficie áspera se llama reflexión difusa.

Propagación multitrayecto o multicamino en plano horizontal

Referencia: Propagación multicamino

En telecomunicaciones, la propagación de ondas de radio presentan un comportamiento semejante al de la luz para reflexión conocido como propagación multicamino o multitrayecto.

El fenómeno se da cuando las señales de radio llegan a la antena receptora por dos o más caminos y en diferentes tiempos.

La propagación mutitrayecto puede causar problemas en la recepción de la señal, debido a la interacción entre las señales recibidas. A fines prácticos, la señal obtenida en recepción difiere de la original y causa efectos que se han de compensar.

Ejercicio con gráfica

Realizar la gráfica de los rayos incidente, reflejado y directo entre el transmisor y receptor con antenas a diferentes alturas, semejante a la gráfica anterior.

Desarrollo

Si los ángulos incidente y reflejado son iguales, la pendiente rayo incidente debe ser igual en magnitud a la pendiente del rayo reflejado. Las pendientes tienen signo opuesto, el rayo izquierdo tiene pendiente negativa.

- \frac{\Delta y_{izquierda}} {\Delta x_{izquierda}} = \frac{\Delta y_{derecha}}{\Delta x_{derecha}} - \frac{s_c-y_a}{x_c-x_a} = \frac{y_b-s_c}{x_b-x_c}

Por facilidad de la ecuación, se supondrá que el suelo es paralelo al eje x, a una altura sc del eje de referencia.

Se debe obtener el valor de xc  de la ecuación anterior, que realizando un poco de trabajo se obtiene que:

- (x_b-x_c)(s_c-y_a) = (x_c-x_a)(y_b-s_c) - x_b(s_c-y_a) + x_c (s_c-y_a) = x_c (y_b-s_c)-x_a (y_b-s_c) x_c (s_c-y_a) - x_c (y_b-s_c)= -x_a (y_b-s_c) + x_b(s_c-y_a) x_c (2s_c-y_a-y_b)= -x_a (y_b-s_c) + x_b(s_c-y_a) x_c = \frac{x_b(s_c-y_a)-x_a(y_b-s_c)}{2s_c-y_a-y_b}

Obtenido el punto xc  y dado que el plano es horizontal, la altura  sc  es constante.

Con el algoritmo se puede obtener el punto de reflexión para varias alturas de antena y varias alturas del plano.

resultado con datos muestra:

punto reflejado: [ 8.5 , 1 ]

Instrucciones en Python

# rayo incidente y reflejado
# blog.espol.edu.ec/ccpg1001
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
# posición de antenas
xa = 1  # Izquierda
ya = 4
xb = 11 # Derecha
yb = 2

# plano el suelo
sc = 1  # altura

# muestras en grafica
muestras = 21

# PROCEDIMIENTO
numerador   = xb*(sc-ya)-xa*(yb-sc)
denominador = 2*sc-ya-yb
xc = numerador/denominador

# SALIDA
print('punto reflejado: [',xc,',',sc,']')

# GRAFICA
#puntos en el plano
plt.scatter([xa,xc,xb],[ya,sc,yb])
plt.scatter([xc],[sc],label='punto reflejo')
# lineas de rayos
plt.plot([xa,xc],[ya,sc],label='incidende')
plt.plot([xc,xb],[sc,yb],label='reflejado')
plt.plot([xa,xb],[sc,sc],label='suelo')

# etiquetas anotadas
plt.annotate(' reflejo',[xc,sc])

# etiquetas
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('reflexión de rayos en plano')
plt.grid()

plt.show()

Tarea:

a) Añadir la trayectoria directa del rayo entre el transmisor y receptor

b) Considerar que el plano puede estar inclinado respecto al eje de las x,por lo que para igualar las pendientes del rayo incidente y reflejado se referencian con la pendiente del plano.

m_s = \frac{\Delta suelo } {\Delta x_{intervalo}} = \frac{s_b-s_a}{x_b-x_a} -(m_z-m_s) = m_r-m_s -m_z = m_r - 2 m_s