3.3.1 Gauss – determinante

Referencia: Rodriguez 4.3.9 p129, Burden 9Ed 6.4 p396. Chapra 9.1.2 p250, pdf274.

El determinante de una matriz cuadrada triangular superior también puede calcularse como el producto de los coeficientes de la diagonal principal, considerando el número de cambios de fila del pivoteo.

det(A) = (-1)^k \prod_{i=1}^n a_{i,i}

Si observamos que en las secciones anteriores se tiene desarrollado los algoritmos  para obtener la matriz triangular superior en el método de Gauss, se usan como punto de partida para obtener los resultados del cálculo del determinante.


Ejercicio

Calcular el determinante de la matriz A.

A= \begin{pmatrix} 3 & -0.1 & -0.2 \\ 0.1 & 7 & -0.3 \\0.3 & -0.2 & 10 \end{pmatrix}

El  algoritmo para ejercicio se convierte en una extensión de los algoritmos anteriores.

A = np.array([[3. , -0.1, -0.2],
              [0.1,  7. , -0.3],
              [0.3, -0.2, 10.  ]])

Algoritmo en Python

El algoritmo parte de lo realizado en método de Gauss, indicando que la matriz a procesar es solamente A. Se mantienen los procedimientos de «pivoteo parcial por filas» y » eliminación hacia adelante»

Para contar el número de cambios de filas, en la sección de pivoteo se añade un contador cambiofilas en el condicional de cambio de filas.

Para el resultado del operador multiplicación, se usan todas las casillas de la diagonal al acumular las multiplicaciones.

Se aplica la operación de la fórmula planteada para el método, y se presenta el resultado.

# Determinante de una matriz A
# convirtiendo a diagonal superior 

import numpy as np

# INGRESO
A = np.array([[3. , -0.1, -0.2],
              [0.1,  7. , -0.3],
              [0.3, -0.2, 10.  ]])

# PROCEDIMIENTO

# Matriz aumentada
AB = np.copy(A)

# Pivoteo parcial por filas

cambiofila = 0  # contador

tamano = np.shape(AB)
n = tamano[0]
m = tamano[1]
# Para cada fila en AB
for i in range(0,n-1,1):
    # columna desde diagonal i en adelante
    columna  = abs(AB[i:,i])
    dondemax = np.argmax(columna)
    # dondemax no está en diagonal
    if (dondemax !=0):
        # intercambia filas
        
        cambiofila = cambiofila +1
        
        temporal = np.copy(AB[i,:])
        AB[i,:]  = AB[dondemax+i,:]
        AB[dondemax+i,:] = temporal
AB1 = np.copy(AB)

# eliminación hacia adelante
for i in range(0,n-1,1):
    pivote   = AB[i,i]
    adelante = i + 1
    for k in range(adelante,n,1):
        factor  = AB[k,i]/pivote
        AB[k,:] = AB[k,:] - AB[i,:]*factor

# calcula determinante
multiplica = 1
for i in range(0,n,1):
    multiplica = multiplica*AB[i,i]
determinante = ((-1)**cambiofila)*multiplica

# SALIDA
print('Pivoteo parcial por filas')
print(AB1)
print('eliminación hacia adelante')
print(AB)
print('determinante: ')
print(determinante)

el resultado obtenido es:

determinante: 
210.35299999999995

se verifica usando la función de numpy:

>>> np.linalg.det(A)
210.3529999999999