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3Eva_IT2009_T4 EDO diferencias finitas

3ra Evaluación I Término 2009-2010. 15/Septiembre/2009. ICM00158

Tema 4. (25 puntos) Resuelva la siguiente ecuación diferencial con el método de diferencias finitas, h=0.2

y'' + 2y' -y -2e^x + x - 4 = 0 0 \leq x \leq 1 y(0) = -1, y(1) = e-1

Rúbrica: Determinar algoritmo de diferencia centrada (10 puntos), sistema de ecuaciones (10 puntos), solución numérica (5 puntos)

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3Eva_IT2009_T3 Integrar Simpson compuesta

3ra Evaluación I Término 2009-2010. 15/Septiembre/2009. ICM00158

Tema 3. (25 puntos) Aproxime el valor de la siguiente integral con ayuda de la fórmula compuesta de Simpson con n=6

\int_0^1 \frac{\cos (2x)}{x^{1/3}} \delta x

Rúbrica: Integración del polinomio de grado cuatro (10 puntos), integración del residuo con Simpson (10 puntos), Valor aproximado de la integral (5 puntos)

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3Eva_IT2009_T2 EDO Taylor Seno(x)

3ra Evaluación I Término 2009-2010. 15/Septiembre/2009. ICM00158

Tema 2. (25 puntos) Resolver la ecuación diferencial usando el método de Taylor con n=2:

xy'+ 2y = \sin (x) \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} y\Big(\frac{\pi}{2} \Big) = 1

a. Establecer el algoritmo correspondiente para la ecuación dada

b. Escribir la tabla de resultados para h = π/10

Rúbrica: Determinación correcta de f(x,y(xi) )(2.5 puntos), establecimiento del algoritmo de Taylor (12.5 puntos), Solución numérica (10 puntos)

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3Eva_IT2009_T1 Trazador cúbico fijo

3ra Evaluación I Término 2009-2010. 15/Septiembre/2009. ICM00158

Tema 1.  (25 puntos) Dado los valores de una función, construir el trazador cúbico fijo.

f(0) = 1,
f(0.25) = 1.14012
f(0.5) = 1.32436
f(0.75) = 1.5585

y con las derivadas, f'(0) = 0.5, f'(0.75) = 1.0585

a. Establecer el sistema para determinar los valores de ci

b. Aproximar f(0.15) y f(0.6)

Rúbrica: Sistema de ecuaciones (7.5 puntos), polinómios cúbicos (10 puntos), aproximación correcta de los puntos (7.5 puntos)

datos = [[0, 1],
         [0.25, 1.14012],
         [0.5 , 1.32436],
         [0.75, 1.5585 ]]
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s3Eva_IIT2009_T2 Valor inicial Runge-Kutta 4to orden dy/dx

Ejercicio: 3Eva_IIT2009_T2 Valor inicial Runge-Kutta 4to orden dy/dx

La ecuación del problema:

(1-x^2)y' - xy = x (1-x^2)

se despeja:

(1-x^2)y' = x (1-x^2) - xy y' = x - \frac{xy}{(1-x^2)}

con valores iniciales x0 = 0 , y0 = 2, h = 0.1 en el intervalo [0, 0.5]

Usando Runge-Kutta de 2do Orden

Iteración 1

K_1 = h y'(0,2) = (0.1)\Big[0 - \frac{0 (2)}{(1-(0^2))}\Big] = 0 K_2 = h y'(0+0.1, 2 + 0) = (0.1)\Big[0.1 - \frac{0.1 (2+0)}{(1-(0.1^2))}\Big] = 0.0302 y_1= 2 + \frac{0+0.0302}{2} = 2.0151 x_1 = x_0 + h = 0 + 0.1 = 0.1

Iteración 2

K_1 = h y'(0.1,2.0151) = (0.1)\Big[0.1 - \frac{0.1 (2.0151)}{(1-(0.1^2))}\Big] = 0.0304 K_2 = h y'(0.1+0.1, 2.0151 + 0.0304) = (0.1)\Big[0.2 - \frac{0.2 (2.0151 + 0.0304)}{(1-(0.2^2))}\Big] = 0.0626 y_2 = 2.0151 + \frac{0.0304+0.0626}{2} = 2.0616 x_2 = x_1 + h = 0.1 + 0.1 = 0.2

Iteración 3

K_1 = h y'(0.2,2.0616) = (0.1)\Big[0.2 - \frac{0.2 (2.0616)}{(1-(0.2^2))}\Big] = 0.0629 K_2 = h y'(0.2+0.1, 2.0616 + 0.0629) = (0.1)\Big[0.3 - \frac{0.3 (2.0616 + 0.0629)}{(1-(0.3^2))}\Big] = 0.1 y_3 = 2.0151 + \frac{0.0629+0.1}{2} = 2.1431 x_3 = x_2 + h = 0.2 + 0.1 = 0.3

siguiendo el algoritmo se completa la tabla:

 [xi,    yi,    K1,    K2    ]
[[0.     2.     0.     0.    ]
 [0.1    2.0151 0.     0.0302]
 [0.2    2.0616 0.0304 0.0626]
 [0.3    2.1431 0.0629 0.1   ]
 [0.4    2.2668 0.1007 0.1468]
 [0.5    2.4463 0.1479 0.211 ]]

Algoritmo en Python

# 3Eva_IIT2009_T2 Valor inicial Runge-Kutta 4to orden dy/dx
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
d1y = lambda x,y : x + x*y/(1-x**2)
x0 = 0
y0 = 2
h = 0.1
a = 0
b = 1/2

# PROCEDIMIENTO
muestras = int((b -a)/h)+1
tabla = np.zeros(shape=(muestras,4),dtype=float)

i = 0
xi = x0
yi = y0
tabla[i,:] = [xi,yi,0,0]

i = i+1
while not(i>=muestras):
    K1 = h* d1y(xi,yi)
    K2 = h* d1y(xi+h,yi+K1)
    yi = yi + (K1+K2)/2
    xi = xi +h
    tabla[i,:] = [xi,yi,K1,K2]
    i = i+1
# vector para gráfica
xg = tabla[:,0]
yg = tabla[:,1]

# SALIDA
# muestra 4 decimales
np.set_printoptions(precision=4)
print(' [xi, yi, K1, K2]')
print(tabla)

# Gráfica
plt.plot(xg,yg)
plt.xlabel('xi')
plt.ylabel('yi')
plt.grid()
plt.show()

Tarea: Realizar con Runge-Kutta de 4to Orden

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s3Eva_IT2009_T2 EDO Taylor Seno(x)

Ejercicio: 3Eva_IT2009_T2 EDO Taylor Seno(x)

La ecuación del problema es:

xy'+ 2y = \sin (x) \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} y\Big(\frac{\pi}{2} \Big) = 1

Para el algoritmo se escribe separando y’:

y' = \frac{\sin (x)}{x} - 2\frac{y}{x}

tomando como referencia Taylor de 3 términos más el término de error O(h3)

y_{i+1} = y_i +\frac{h}{1!}y'_i + \frac{h^2}{2!}y''_i + \frac{h^3}{3!}y'''_i

Se usa hasta el tercer término para el algoritmo.

y_{i+1} = y_i +\frac{h}{1!}y'_i + \frac{h^2}{2!}y''_i

Se determina que se requiere la segunda derivada para completar la aproximación. A partir de la ecuación del problema se aplica en cada término:

\Big(\frac{u}{v}\Big)' = \frac{u'v-uv' }{v^2} y'' = \frac{\cos (x) x - sin(x)}{x^2} - 2\frac{y'x-y}{x^2} y'' = \frac{\cos (x) x - sin(x)}{x^2} - 2\frac{\Big(\frac{\sin (x)}{x} - 2\frac{y}{x} \Big)x-y}{x^2}

Con lo que se realizan las iteraciones para llenar la tabla

iteración 1

x0 = π/2= 1.57079633

y0= 1

y' = \frac{\sin (π/2)}{π/2} - 2\frac{1}{π/2} = -0.40793719 y'' = \frac{\cos (π/2) π/2 - sin(π/2)}{(π/2)^2}+ - 2\frac{(-0.40793719)(π/2)-1}{(π/2)^2}= 0.48531359 y_{1} = 1 +\frac{\pi/10}{1!}(-0.40793719) + \frac{(\pi/10)^2}{2!}(0.48531359) = 0.86

x1 = x0+h = 1.57079633 + π/10 =1.88495559

iteración 2

x1 = 1.88495559

y1 = 0.86

y' = \frac{\sin (1.88495559)}{1.88495559} - 2\frac{0.86}{1.88495559} = -0.31947719 y'' = \frac{\cos (1.88495559)(1.88495559) - sin(1.88495559)}{(1.88495559)^2} - 2\frac{(-0.31947719) (1.88495559)-y}{(1.88495559)^2} = 0.16854341 y_{2} = 0.86 +\frac{\pi /10}{1!}(-0.31947719) + \frac{(\pi /10)^2}{2!}(0.16854341) = 0.75579202

x2 = x1+ h = 1.88495559 + π/10 = 2.19911486

iteración 3

x2 = 2.19911486

y2 = 0.75579202

y' = \frac{\sin (2.19911486)}{2.19911486} - 2\frac{y}{2.19911486} = -0.29431724 y'' = \frac{\cos (2.19911486)(2.19911486) - sin(2.19911486)}{(2.19911486)^2} + - 2\frac{(-0.29431724)(2.19911486)-0.75579202}{(2.19911486)^2} = 0.0294177 y_{3} = 0.75579202 +\frac{\pi/10}{1!}(-0.29431724) + \frac{(\pi /10)^2}{2!}(0.0294177)

x3 = x3+h = 2.19911486 + π/10 = 2.19911486

Con lo que se puede realizar el algoritmo, obteniendo la siguiente tabla:

estimado
 [xi,          yi,         d1y,        d2y       ]
[[ 1.57079633  1.         -0.40793719  0.48531359]
 [ 1.88495559  0.86       -0.31947719  0.16854341]
 [ 2.19911486  0.75579202 -0.29431724  0.0294177 ]
 [ 2.51327412  0.66374258 -0.29583247 -0.02247944]
 [ 2.82743339  0.5727318  -0.30473968 -0.02730493]
 [ 3.14159265  0.47868397 -0.31027009 -0.00585871]
 [ 3.45575192  0.38159973 -0.30649476  0.02930236]
 [ 3.76991118  0.28383639 -0.29064275  0.06957348]
 [ 4.08407045  0.18899424 -0.26221809  0.10859762]
 [ 4.39822972  0.10111944 -0.22243506  0.14160656]
 [ 4.71238898  0.02410027  0.          0.        ]]

Algoritmo en Python

# 3Eva_IT2009_T2 EDO Taylor Seno(x)
# EDO. Método de Taylor 3 términos 
# estima solucion para muestras separadas h en eje x
# valores iniciales x0,y0
# entrega arreglo [[x,y]]
import numpy as np

def edo_taylor3t(d1y,d2y,x0,y0,h,muestras):
    tamano = muestras + 1
    estimado = np.zeros(shape=(tamano,4),dtype=float)
    # incluye el punto [x0,y0]
    estimado[0] = [x0,y0,0,0]
    x = x0
    y = y0
    for i in range(1,tamano,1):
        y = y + h*d1y(x,y) + ((h**2)/2)*d2y(x,y)
        x = x+h
        estimado[i-1,2:]= [d1y(x,y),d2y(x,y)]
        estimado[i,0:2] = [x,y]
    return(estimado)

# PROGRAMA PRUEBA
# 3Eva_IT2009_T2 EDO Taylor Seno(x).

# INGRESO.
# d1y = y', d2y = y''
d1y = lambda x,y: np.sin(x)/x - 2*y/x
d2y = lambda x,y: (x*np.cos(x)-np.sin(x))/(x**2)-2*(x*(np.sin(x)/x - 2*y/x)-y)/(x**2)
x0 = np.pi/2
y0 = 1
h = np.pi/10
muestras = 10

# PROCEDIMIENTO
puntos = edo_taylor3t(d1y,d2y,x0,y0,h,muestras)
xi = puntos[:,0]
yi = puntos[:,1]

# SALIDA
print('estimado[xi, yi, d1yi, d2yi]')
print(puntos)

# Gráfica
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(xi[0],yi[0],'o', color='r', label ='[x0,y0]')
plt.plot(xi[1:],yi[1:],'o', color='g', label ='y estimada')
plt.title('EDO: Solución con Taylor 3 términos')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
Publicado en

2Eva_IT2009_T3_AN Circuito RLC

2da Evaluación I Término 2009-2010. 1/Septiembre/2009. Análisis Numérico

Tema 3. (20 puntos) Determine la corriente I(t) de un circuito «LRC» en serie, cuando L=0.005 Henrios, R = 2 Ohm y C=0.02 Faradios, donde E(t) se regula en el tiempo y es igual a:

E(t)=1000\frac{[[t+1]]}{\sin ^2 (t) +2}

En el instante inicial la corriente I(0) es cero y la ecuación del circuito puede aproximarse por:

L\frac{\delta I}{\delta t} +RI + \frac{1}{C} \int_0^t e^{-t^2} \delta t = E(t) I(0) = 0

Determine la corriente en los instantes π/4 y π/2 utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden para resolver la ecuación diferencial y Simpson con una parábola para determinar las integrales que se generen.

Rúbrica: Aproximación de I(t) en t = π/4 (10 puntos), aproximación de I(t) en t = π/2 (10 puntos)

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2Eva_IT2009_T2_AN EDP hiperbólica

2da Evaluación I Término 2009-2010. 1/Septiembre/2009. Análisis Numérico

Tema 2. (20 puntos) Dada la ecuación hiperbólica

\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = 0 0 \lt x \lt 1, t\gt 0 \begin{cases} u(0,t) = u(1,t) = 0 , & t\gt 0 \\ u(x,0) = \sin (2\pi x), & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{\delta u}{\delta t} (x,0) = 2 \pi \sin (2\pi x) , & 0 \leq x \leq 1\end{cases}

Aproximar u(x,t) para t=0.8, con h=k=0.2

Rúbrica: Establecer el método de diferencia centrada y condiciones de frontera (5 puntos), determinar ωi1 (5 puntos), aproximación de u(x,t) en t=0.8 (10 puntos)

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2Eva_IT2009_T1_AN Integral doble

2da Evaluación I Término 2009-2010. 1/Septiembre/2009. Análisis Numérico

Tema 1. (20 puntos) Calcular la integral doble usando el método de Simpson con n=m=3
\int_R\int (y^2 + x^3) \delta y \delta x

R = \{ (x,y) , 0\leq x \leq 1, x \leq y \leq 2 x\}

Rúbrica: Integración respecto eje x (10 puntos), Integración respecto eje y (10 puntos)

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2Eva_IT2008_T3_AN EDP elíptica

2da Evaluación I Término 2008-2009. 2/Septiembre/2008. Análisis Numérico

Tema 3. Resolver la siguiente ecuación diferencial

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0 1\lt x \lt 2, 0 \lt y \lt 1 u(x,0) = 2 \ln(x) u(x,1)= \ln(x^2 + 1) 1\leq x \leq 2 u(1,y) = \ln(y^2 +1) u(2,y)= \ln(y^2 + 4) 0\leq y \leq 1