Tema 2. (40 puntos)
Para el salto del Bungee del ejercicio del tema anterior se toman lecturas con un sensor de velocidad sujetado a la persona.
2.1 De la tabla de datos obtenida, se observa que los tamaños de paso en tiempo no siempre son equidistantes.
Se requiere encontrar la distancia recorrida en el intervalo de [0,2.55] usando fórmulas de integración compuestas.
ti
vi
0
0.0000
0.25
2.4479
0.5
4.8849
0.75
7.3001
1
9.6832
1.375
13.1763
1.75
16.5451
2.125
19.7641
2.4
22.0193
2.55
23.2075
2.2 Usando los datos de la tabla para el intervalo [2.55, 5.175] donde la velocidad de la caída de la persona al primer salto ha llegado a casi cero, o antes del primer rebote, se ha obtenido un polinomio de interpolación:
v = -3.979t2 + 21.557t – 5.3997
Obtenga la distancia recorrida en el segundo intervalo usando el método de Cuadratura de Gauss.
a. Realice el planteamiento de las ecuaciones para cada sección del ejercicio.
b. Describa el criterio usado para determinar el número de tramos usado en cada caso.
c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada sección.
d. Encuentre la distancia total (profundidad) alcanzada por la persona al dar el salto.
Rúbrica: literal a 2.1 (5 puntos), a 2.2 (5 puntos) literal b (5 puntos), literal c 2.1 (10 puntos), c 2.2 (10 puntos), literal d (5 puntos)
Tema 1. (30 puntos)
La ecuación diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto del bungee es diferente según si el saltador ha caído una distancia en la que la cuerda está extendida por completo y comienza a estirarse o encogerse.
Si la distancia recorrida es menor que la longitud de la cuerda, el saltador sólo está sujeto a las fuerzas gravitacional y de arrastre de la cuerda.
\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 y \leq L
Suponga que las condiciones iniciales son:
y(0) =0
\frac{dy(0)}{dt} = 0
Una vez que la cuerda comienza a estirarse, también deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda.
\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 -\frac{k}{m}(y-L) - \frac{\gamma}{m}( \frac{dy}{dt}\Big) y \gt L
dy/dt
m/s
velocidad (v)
t
s
tiempo
g
9.8 m/s2
gravedad
cd
0.25 kg/m
coeficiente de arrastre
m
68.1 Kg
masa
L
30 m
Longitud de la cuerda
k
40 N/m
constante de resorte de la cuerda
γ
8 N s/m
coeficiente de amortiguamiento de la cuerda
signo(v)
función que devuelve –1, 0 y 1, para v negativa, cero y positiva, respectivamente
Encuentre el tiempo tc y la velocidad de la persona cuando se alcanza la longitud de la cuerda extendida y sin estirar (30 m), es decir y<L, aún se entra cayendo signo(v)=1. (solo primera ecuación)
a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden
b. Desarrolle tres iteraciones para y(t) con tamaño de paso h=0.5
c. Usando el algoritmo, aproxime la solución para y en el intervalo entre [0,tc], adjunte sus resultados.txt
d. Indique el valor de tc, muestre cómo mejorar la precisión y realice sus observaciones sobre los resultados.
Observación: dy/dt = v, función signo(v) en Numpy:np.sign(v)
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c resultados.txt y grafica.png (5 puntos), literal d (5 puntos),
Utilice diferencias finitas centradas y hacia adelante para las variables independientes x,t
a. Plantee las ecuaciones para usar un método numérico en un nodo i,j
b. Realice la gráfica de malla,
c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,tj)
d. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.
e. Estime el error de u(xi,tj) y adjunte los archivos del algoritmo y resultados.
f. Con el algoritmo, estime la solución para b = 0 y b=-4. Realice las observaciones de resultados para cada caso.
Rúbrica: Aproximación de las derivadas parciales (5 puntos), construcción de la malla (5), desarrollo de iteraciones (10), literal e (10 puntos), literal f (5 puntos extra)
a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden
b. Desarrolle tres iteraciones para y(x) con tamaño de paso h=0.5
c. Usando el algoritmo, aproxime la solución para x en el intervalo entre [0,200], adjunte sus resultados.txt en la evaluación.
d. Realice sus observaciones sobre los resultados obtenidos sobre la altura y(200) alcanzada en el extremo derecho del cable y lo indicado en la gráfica del enunciado.
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c resultados.txt (10 puntos), grafica.png (5 puntos), literal d (5 puntos),
Referencia: Cable entre dos apoyos con carga distribuida. Chapra & Canale. 5ta Ed. Ejercicio 28.21. P849
Tema 1 (30 puntos) Los sólidos de revolución se generan al girar una región plana alrededor de un eje.
V = \int_{a}^{b} \pi (f(x))^2 dx
El volumen generado al girar la región de la función f(x) en el intervalo [a,b], se puede calcular como el volumen del disco de radio f(x) y anchura dx.
f(x) = \sqrt{\sin (x/2)} g(x) = e^{x/3} - 1
Calcule el volumen de revolución generado por la región sombreada de la gráfica que ese encuentra entre: f(x) y g(x).
Las funciones se usan en el intervalo [0.1 , 1.8]:
Realice el planteamiento de las ecuaciones para el ejercicio, considerando que
a. Para el integral con f(x), use formulas de Simpson con al menos 3 tramos, mientras que
b. Para el integral con g(x) use Cuadratura de Gauss de dos puntos con al menos 2 tramos.
c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada función.
d. Indique el resultado obtenido para el área requerida y la cota de error.
e. Determine el volumen de revolución generado por la región sombreada
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)
Referencia: [1] Volúmenes de sólidos de revolución. Moisés Villena Muñoz.Capítulo 4 p78. https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/4800/4/7417.pdf
[2] 8.2.2 Gráficas en 3D en Python, sólidos de revolución. http://blog.espol.edu.ec/ccpg1001/graficas-en-3d-en-python-sistema-de-ecuaciones-y-planos/
[3] Volumes: Washer Method Animation 2. Stacey Roshan. 24 Abril 2016.
u(0,y)=1, u(1,y)= y, 0≤y≤0.5
u(x,0)=1, u(x,0.5)=x/2, 0≤x≤1
Aproxime la solución con tamaños de paso Δx = 0.25, Δy = 0.25
Utilice diferencias finitas centradas para las variables independientes x,y
a. Plantee las ecuaciones para usar un método numérico en un nodo i,j
b. Realice la gráfica de malla,
c. desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,tj)
d. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.
e. Estime el error de u(xi,tj) y adjunte los archivos del algoritmo y resultados.
Rúbrica: Aproximación de las derivadas parciales (5 puntos), construcción de la malla (10), construcción del sistema lineal (15), resolución del sistema (5 puntos).
Tema 2 (35 puntos) Una mejor aproximación a un péndulo oscilante con un ángulo θ más amplio y con un coeficiente de amortiguamiento μ se expresa con una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
g = 9.81 m/s2
L = 2 m
θ(0) = π/4 rad
θ’ (0) = 0 rad/s
El péndulo se suelta desde el reposo, desde un ángulo de π/4 respecto al eje vertical. El coeficiente de amortiguamiento μ=0.5 es proporcional a la velocidad angular.
a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden
b. Desarrolle tres iteraciones para θ(t) con tamaño de paso h=0.2
c. Usando el algoritmo, aproxime la solución entre t=0 a t=10 s, adjunte sus resultados en la evaluación.
d. Realice una observación sobre el movimiento estimado del péndulo a lo largo del tiempo.
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)
Tema 1 (30 puntos)
Una academia encarga a un joyero un modelo de medalla cuyo costo unitario se determina por el área descrita entre las funciones f(x) y g(x) presentadas.
Se considera que el grosor de la medalla es único e independiente de la forma de la medalla.
f(x) = 2-8\Big( \frac{1}{2} - x \Big)^2 0 \le x \lt 1 g(x) = -\Big( 1-x\Big)\ln \Big( 1- x \Big)
Para el desarrollo numérico, use diferentes métodos de Simpson para cada función.
a. Realice el planteamiento de las ecuaciones para el ejercicio.
b. Describa el criterio usado para determinar el número de tramos usado en cada caso.
c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada función.
d. Indique el resultado obtenido para el área requerida y la cota de error.
e. Encuentre el valor del tamaño de paso si se requiere una cota de error de 0.00032
Nota: en Python ln(x) se escribe np.log(x).
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)
Referencia: Star Trek https://intl.startrek.com/
¿A quien se le ocurrió crear la moneda? | Discovery en Español Youtube.com 8 nov 2016.
Tema 3. (35 puntos) Aproxime la solución a la siguiente ecuación diferencial parcial parabólica
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = b \frac{\partial u}{\partial t}
Con las siguientes condiciones de frontera:
u(0,t)=1
u(1,t)=0
Y las condiciones iniciales u(x,0) = \cos \Big( \frac{3π}{2}x\Big)
Utilice diferencias finitas centradas para x, para t hacia adelante.
a. Plantee las ecuaciones para usar un método numérico en un nodo i,j
b. Realice la gráfica de malla,
c. desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,tj)
Suponga que b = 2, Aproxime la solución con Δx = 0.2, Δt = Δx/100.
d. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.
e. Estime el error de u(xi,tj), y presente observaciones sobre la convergencia del método.
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (15 puntos), literal e (5 puntos).
Referencia: Chapra & R. Canale (2010). Métodos Numéricos para Ingenieros. Ejercicio 30.15 p904,
Solving the heat equation | DE3. 3Blue1Brown 16 Junio 2019.
