Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Tema 1. Dada la integral
\int_0^1 \frac{a^x}{(x-1)^{2/5}} \delta xDetermine:
a. Si la integral converge, justifique adecuadamente
b. Su valor aproximado, en caso de que la integral converja, usando Simpson compuesta con n=4
Tema 3. (20 puntos) Determine la corriente I(t) de un circuito «LRC» en serie, cuando L=0.005 Henrios, R = 2 Ohm y C=0.02 Faradios, donde E(t) se regula en el tiempo y es igual a:
E(t)=1000\frac{[[t+1]]}{\sin ^2 (t) +2}En el instante inicial la corriente I(0) es cero y la ecuación del circuito puede aproximarse por:
L\frac{\delta I}{\delta t} +RI + \frac{1}{C} \int_0^t e^{-t^2} \delta t = E(t) I(0) = 0Determine la corriente en los instantes π/4 y π/2 utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden para resolver la ecuación diferencial y Simpson con una parábola para determinar las integrales que se generen.
Rúbrica: Aproximación de I(t) en t = π/4 (10 puntos), aproximación de I(t) en t = π/2 (10 puntos)
Tema 2. (20 puntos) Dada la ecuación hiperbólica
\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = 0 0 \lt x \lt 1, t\gt 0 \begin{cases} u(0,t) = u(1,t) = 0 , & t\gt 0 \\ u(x,0) = \sin (2\pi x), & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{\delta u}{\delta t} (x,0) = 2 \pi \sin (2\pi x) , & 0 \leq x \leq 1\end{cases}Aproximar u(x,t) para t=0.8, con h=k=0.2
Rúbrica: Establecer el método de diferencia centrada y condiciones de frontera (5 puntos), determinar ωi1 (5 puntos), aproximación de u(x,t) en t=0.8 (10 puntos)
Tema 1. (20 puntos) Calcular la integral doble usando el método de Simpson con n=m=3
\int_R\int (y^2 + x^3) \delta y \delta x
Rúbrica: Integración respecto eje x (10 puntos), Integración respecto eje y (10 puntos)
Tema 3. Resolver la siguiente ecuación diferencial
\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0 1\lt x \lt 2, 0 \lt y \lt 1 u(x,0) = 2 \ln(x) u(x,1)= \ln(x^2 + 1) 1\leq x \leq 2 u(1,y) = \ln(y^2 +1) u(2,y)= \ln(y^2 + 4) 0\leq y \leq 1Tema 2. La matriz F tiene la altura de una montaña en una región rectangular con Δx = Δy =0.2 
Aproxime el volumen de la región bajo la superficie utilizando la regla de Simpson 1/3 en ambas direcciones
F = [[2.3, 2.5, 3.1, 3.2, 2.8],
[2.4, 2.6, 2.9, 2.8, 2.7],
[2.6, 2.8, 3.1, 3.0, 2.6]]
Tema 1. Mediante una investigación se ha logrado determinar que la resistencia de cierto material sometido a un esfuerzo variable en el tiempo responde a la ecuación íntegro-diferencial:
y'- \int_0^t \frac{e^u}{u} \delta u -ty =0 t \in [0,1]; y(0)=1Determinar cuál es la resistencia en los instantes t = 0.25, 0.5, 0.75 y 1 segundos.
Utilice el método de Euler para resolver la ecuación diferencial y trapecios n=2 para resolver las integrales que se generan.
Tema 3. (30 puntos) Se tiene la siguiente ecuación no lineal con derivadas:
y'' +y'+y = \ln (x) 1\leq x \leq 3, y(1)=0, y(3) =1Se requiere determinar la solución de ésta ecuación como la función y(x) .
Siga el siguiente procedimiento para obtener tres puntos de ésta función y(x) para los valores de x=1.5, 2.0 y 2.5
a. Sustituya las derivadas por aproximaciones en un punto i. También exprese las variables x,y en el punto i. Escriba la ecuación resultante, la cual se denomina ecuación de diferencias.
b. Evalúe la ecuación de diferencias en cada uno de los tres puntos xi, i = 1, 2, 3 en los que se desea concocer yi.
Se obtendrá un sistema de ecuaciones lineales en el que las incógnitas son los tres valores de yi.
Escriba el sistema lineal resultante.
c. Realice dos iteraciones con el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema de ecuaciones. Comience con los tres valores iniciales iguales a 0.5
d. Calcule la norma del error con los valores obtenidos en las dos iteraciones.
¿Se puede predecir que converge?
¿Se puede asegurar que converge?
Justifique sus respuestas.
Tema 2. (40 puntos) Se han registrado seis mediciones de la emisión en Kg de CO2 en una fábrica entre la 1 y las 3 de la tarde:
| t | hora | 1.0 | 1.4 | 1.8 | 2.2 | 2.6 |
| emisión[t] | Kg | 2.2874 | 5.5947 | 10.6046 | 16.0527 | 18.0455 |
a. Tabule las diferencias finitas hacia adelante
b. Con un polinomio de segundo grado, calcule la cantidad de CO2 que se emitió a las 2 de la tarde. Encuentre el error en el resultado obtenido
c. Usando una fórmula de segundo orden, calcule la velocidad (emisión‘(t)) con la que está emitiéndose la cantidad de CO2 cuando t=1.8 horas. Estime el error en el resultado obtenido.
d. Usando una fórmula de segundo orden, calcule la aceleración (emisión''(t)) con la que está emitiéndose la cantidad de CO2 cuando t=1.8 horas. Estime el error en el resultado obtenido.
e. Usando una aproximación lineal entre los datos de las mediciones, calcule la cantidad total de CO2 que se emitió entre la una de la tarde y las tres de la tarde (fórmula de los trapecios). Estime el error en el resultado obtenido.
f. Usando una aproximación parabólica entre los datos de las mediciones calcule la cantidad total de CO2 que se emitió entre la una de la tarde y las tres de la tarde (fórmula de Simpson). Estime el error en el resultado obtenido.
t = [ 1.0, 1.4, 1.8, 2.2, 2.6 ] emision = [ 2.2874, 5.5947, 10.6046, 16.0527, 18.0455]
Tema 1. (30 puntos) La depreciación es el mecanismo mediante el cual se reconoce el desgaste que sufre un bien por el uso que se haga de él [1].
La siguiente tabla presenta el valor anual C(x) de una máquina en función de los años de vida x en operación productiva.
| x (años) | 5 | 10 | 15 | 20 |
| C[x] (USD) | 10300 | 8700 | 9600 | 12300 |
a. Use todos los datos para obtener un polinomio para aproximar el costo anual en función de x
b. Con el polinomio obtenido encuentre el tiempo de vida aproximado para el cual el costo anual es mínimo.
Referencia: [1] Depreciación. Wikipedia
x = [ 5, 10, 15, 20] C = [10300, 8700, 9600, 12300]