f(x) = \begin{cases} 5x , & 0 \le x \le 0.5 \\ 5(1-x) , & 0.5 \lt x \le 1\end{cases} g(x) = 2 , 0 \le x \le 1
Considere para h=0.25, k=0.05, c=1
a. Grafique la malla
b. Escriba las ecuaciones para las derivadas
c. Plantee las ecuaciones
d. Resuelva para tres pasos
e. Estime el error (solo plantear)
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5puntos), literal c (10 puntos), literal d (10 puntos), literal e (5 puntos)
3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013
Tema 3. (25 puntos) Para valorar la preparación de terreno en una planta procesadora de Refinería, se requiere estimar el volumen de remoción.
Para una sección rectangular, se dispone de las alturas sobre el nivel del mar del terreno en una cuadrícula antes de los trabajos, siendo el nivel requerido de 220 m en toda el área.
Nivel inicio (m)
0
50
100
150
200
0
241
239
238
236
234
25
241
239
237
235
233
50
241
239
236
234
231
75
242
239
236
232
229
100
243
239
235
231
227
Usando los métodos de integración numérica determine el volumen de material para ésta actividad.
a) Determine el volumen de remoción
b) Exprese y determine el error de aproximación para el volumen
Rúbrica: literal a (15 puntos), literal b (10 puntos)
3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013
Tema 2. (25 Puntos)) Aproxime la solución del problema de valor de frontera para la ecuación mostrada, usando diferenciación numérica con h = 1/4
y'' = -(x+1)y' + 2y + (1-x^2) e^{-x}
0 ≤ x ≤ 1
y(0) = -1
y(1) = 0
a) Plantee las derivadas en diferencias divididas
b) Formule y simplifique la ecuación de diferencias divididas para el problema para cada punto interno de la tabla
c) Presente la forma matricial del sistema de ecuaciones
d) Encuentre los valores intermedios de y(xi) en la tabla, i = 1, 2, 3
e) Estime el error
i
0
1
2
3
4
xi
0
1/4
1/2
3/4
1
yi
-1
0
Rúbrica: Plantear las derivadas (5 puntos), plantear la ecuación en forma discreta (5 puntos), matriz del sistema de ecuaciones (5 puntos), estimar el error (5 puntos)
3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013
Tema 1. (25 Puntos)
En el lanzamiento de un cohete se midieron las alturas alcanzadas a intervalos regulares de tiempo, mostradas en la siguiente tabla:
t
s
0
25
50
75
100
125
y(t)
Km
0
32
58
78
92
100
Usando tres puntos, se requiere obtener el polinomio de grado 2 que describe la función de altura y(t) a partir de los datos obtenidos, usando interpolación
a) Realice la tabla de diferencias finitas
b) Plantee el polinomio de interpolación con diferencias finitas avanzadas
c) A partir del polinomio obtenido, escriba las funciones de velocidad y’(t)
y aceleración y’’(t) en cada punto de la tabla
Rúbrica: literal a (5 puntos) literal b (5 puntos), literal c (15 puntos)
Referencias: Batalla por la luna, el programa Apolo.History Latinoamérica
3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013
Tema 3. (30 Puntos). En el año 1855, los experimentos de Adolf Fick tratan sobre la medición de concentraciones y sus flujos, también ahora aplicados a la difusión en sólidos que en ese tiempo no se consideraba posible.
La gráfica muestra los cambios en el tiempo de concentración Φ de un gas en un sólido (estado no-estacionario) para un sólido semi infinito (eje y).
La segunda ley de Fick predice la forma en que la difusión causa que la concentración cambie con el tiempo. Se trata de una ecuación diferencial parcial que en una dimensión se escribe:
a. Plantee las ecuaciones, la malla, desarrolle y obtenga el modelo Φ(xi,tj)
b. Aproxime la solución con Δx = 0.02, Δt = Δx/100. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.
c. Estime el error de Φ(xi,tj)
Rúbrica: Construir la malla (5 puntos), plantear la ecuación en el nodo i,j (5 puntos), modelo de ecuación (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos).
3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013
Tema 2. (40 Puntos) Construya un polinomio que aproxime a
f(x) = sin(\pi x)
usando los puntos x=0, π/4, π/2 y aproxime la integral de 0 a π/2.
a. Realice la interpolación mediante el método de trazador cúbico fijo
b. Integre usando el método de cuadratura de Gauss
c. Estime el error para el ejercicio.
Rúbrica: Bosquejo de gráficas (5 puntos), literal a, planteo de fórmulas (5 puntos), calcula los parámetros (10 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos).
3ra Evaluación II Término 2018-2019. 12/Febrero/2018. MATG1013
Tema 3. (40 puntos)
y'' = 2y'-y +xe^{x} -x
0 ≤ x ≤ 2
y(0) = 0
y(2) = -4
a. Use las fórmulas en diferencias finitas para aproximar las soluciones en los nodos indicados con h = 0.25
b. Estime el error
c. Con los puntos calculados, construya el trazador cúbico natural
Rúbrica: Plantear malla (5 puntos), plantear método (5 puntos), desarrollo de la ecuación (10 puntos), planteo del error (5 puntos), obtención del trazador (10 puntos)
3ra Evaluación II Término 2018-2019. 12/Febrero/2018. MATG1013
Tema 2. (30 puntos) En un tanque cilíndrico vertical, al abrir una válvula en la base el agua fluirá rápidamente cuando el tanque esté lleno; conforme el tanque se vacía irá fluyendo más lentamente.
Si la rapidez a la que disminuye el nivel del agua es:
\frac{\delta y}{\delta t} = -k\sqrt{y}
Donde k es una constante que depende del área de la sección transversal del tanque y del orificio de salida.
La profundidad el agua «y» se mide en pies; y el tiempo t en minutos.
Si k=0.5 e inicialmente el nivel del fluido es de 9 pies. ¿Cuál es el tiempo mínimo para que la altura del taque sea inferior a 6 pies?
a. Utilice el método de Taylor de segundo orden para resolver este problema con h= 0.5 minutos
b. Estime el error en cada paso.
Rúbrica: Plantear el método (5 puntos), desarrollo de la ecuación (10 puntos), valor numérico (5 puntos), planteo del error(5 puntos), valor del error (5 puntos)
