3ra Evaluación I Término 2018-2019. 11/Septiembre/2018. MATG1013
Tema 3. (30 puntos) La temperatura u(x,t) de una varilla larga y delgada, de sección transversal constante y de un material conductor homogéneo está regida por la ecuación unidimensional de calor. Si se genera calor en el material (por ejemplo, debido a la resistencia de la corriente), la ecuación se convierte en:
\frac{\partial ^2u}{\partial x^2} + \frac{Kr}{\rho C} = K\frac{\partial u}{\partial t} 0 \lt x \lt L, 0 \lt t
Donde:
Suponga que:
L es la longitud,
L = 1.5 cm
ρ es la densidad,
ρ = 10.6 g/cm3
C es el calor específico
C = 0.056 cal/g deg
K es la difusividad térmica de la varilla
K = 1.04 cal/cm deg s
La función r = r(x,t,u) representa el calor generado por unidad de volumen.
r(x,t,u) = 5 cal/g deg
Si los extremos de la varilla se mantienen a 0°C, entonces
u(0,t) = u(L,t) = 0, t>0
Suponga que la distribución inicial de la temperatura está dada por:
u(x,0) = \sin \Big( \frac{\pi x}{L} \Big), 0 \le x \le L
Aproxime la distribución de la temperatura con h=0.25, k=0.025 para t=3k
Donde: h = profundidad (m), t = tiempo (s), d = diámetro del tubo (m), A(h) = área de la superficie del estanque como función de la profundidad (m2), g = constante gravitacional (9,81 m/s2) y e es la profundidad de salida del tubo por debajo del fondo del estanque (m).
Con base en la tabla siguiente de área-profundidad, resuelva esta ecuación diferencial para determinar cuánto tiempo tomaría que el estanque se vacie, dado que h(0) = 6 m, d = 0.25 m, e = 0.3 m.
h
6
5
4
3
2
1
0
A(h)
1.17
0.97
0.67
0.45
0.32
0.18
0.02
a) Con las profundidades 0, 2, 4, 6, encuentre un modelo de trazador cúbico natural para modelar el área A(h) y calcule el error en h = 5 m
b) Use el método de Taylor de segundo orden con dt=1 s para aproximar el tiempo en que la profundidad es 3 m.
Rúbrica: literal a (20 puntos), literal b (20 puntos)
hi = np.array([6, 5, 4, 3, 2, 1, 0])
Ai = np.array([1.17, 0.97, 0.67, 0.45, 0.32, 0.18, 0.02])
Referencia: Chapra Ejercicio 28.24 p849, pdf873
Video: La ambiciosa Represa Hoover – INEXPLICABLE. History Latinoamérica.
3ra Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 20, 2018. MATG1013
Tema 2. El caballo llamado Thunder Gulch ganó el derby de Kentucky de 1995, con un tiempo de 2 min 1 \frac{1}{5} s en la carrera de 1 \frac{1}{4} millas.
Los tiempos en los postes que marcan el cuarto de milla, la mitad de la milla y la milla fueron respectivamente 22 \frac{2}{5} s, 45 \frac{4}{5} s, 1 min con 1 \frac{1}{5} s.
a) Use los valores anteriores junto con el tiempo de arranque y construya un trazador cúbico natural.
b) Use el trazador para predecir el tiempo en el poste de tres cuartos de milla y compare el resultado con el tiempo real de 1 min con 10 \frac{1}{5} s.
c) Usando el trazador y las fórmulas de diferencias finitas, aproxime la velocidad y la aceleración del caballo en todos los postes.
Nota: Obseve que las medidas se encuentran en fracciones de unidad.
