Referencia: Burden 2.1 p48, Chapra 5.2 p124, Rodríguez 3.1 p36
El método se basa en el teorema del valor intermedio, conocido como método de la bisección, búsqueda binaria, partición de intervalos o de Bolzano.
Es un tipo de búsqueda incremental en el que:
- el intervalo se divide siempre en la mitad.
- Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio.
- La posición de la raíz se determina en el punto medio del sub-intervalo, izquierdo o derecho, dentro del cual ocurre un cambio de signo.
- el proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación
La gráfica muestra el proceso en forma animada, observe la forma en que progresivamente se acercan los puntos [a,b], donde se mantienen valores con signo diferente entre f(a) y f(b).
Observamos la gráfica para una sola iteración y asi describir mejor el método.
Para la primera iteración se tiene como procedimiento que la función tiene un cambio de signo en el intervalo [a,b].
En intervalo se divide en la mitad, representado por el punto c, obteniendo el sub-intervalo izquierdo [a,c] o sub-intervalo derecho [c,b].
El sub-intervalo que contiene la función con un cambio de signo, se convierte en el nuevo intervalo a ser analizado en la siguiente iteración
Cota de Error
Referencia: Teorema 2.1 Burden 9Ed. p,51.
Suponga que f ∈ C[a,b] y f(a)*f(b)<0, f es una función en el intervalo [a,b] y que presenta un cambio de signo.
|p_n - p| \leq \frac{b-a}{2^n} \text{donde } n \geq 1la desigualdad implica que pn converge a p con una razón de convergencia de orden:
O \Big(\frac{1}{2^n}\Big)es decir:
p_n =p+O \Big( \frac{1}{2^n} \Big)cantidad de iteraciones
Referencia: Ejemplo 2 Burden 9Ed. p.52/pdf.62
Determine la cantidad de iteraciones necesarias para resolver
f(x) = x^3 + 4x^2 -10 =0con exactitud de 10 – 3 en el intervalo [1,2].
Desarrollo: Se busca encontrar un entero n que satisface la ecuación:
|p_n -p| \leq \frac{b-a}{2^{n}} 2^{-n}< 10^{-3}usando logaritmos:
-n \log _{10}( 2) < -3 n > \frac{3}{\log _{10}( 2)} = 9.96En consecuencia se requieren unas diez iteraciones para lograr la aproximación de 10-3. Verifique los resultados con los valores calculados.