2.3.1 Método de Newton-Raphson Ejemplo con Python

Referencia: Burden ejemplo 1 p51

La ecuación mostrada tiene una raíz en [1,2], ya que f(1)=-5 y f(2)=14.
Muestre los resultados parciales del algoritmo de Newton-Raphson con una tolerancia de 0.0001

f(x) = x^3 + 4x^2 -10 =0

Desarrollo Analítico

El método requiere obtener la derivada f'(x) de la ecuación para el factor del denominador.

f(x) = x^3 + 4x^2 -10

f'(x) = 3x^2 + 8x

x_{i+1} = x_i -\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}

Para el desarrollo se inicia la búsqueda desde un punto en el intervalo [1,2], por ejemplo el extremo derecho, x₁=2.

iteración 1

f(2) = (2)^3 + 4(2)^2 -10 = 14

f'(2) = 3(2)^2 + 8(2) = 28

x_{2} = 2 -\frac{14}{28} = 1.5

tramo = |2 -1.5| = 0.5

iteración 2

f(1.5) = (1.5)^3 + 4(1.5)^2 -10

= 2.375

f'(1.5) = 3(1.5)^2 + 8(1.5)

= 18.75

x_{3} = 1.5 -\frac{2.375}{18.75} = 1.3733

tramo = |1.5 -1.3733| = 0.1267

iteración 3

f(1.3733) = (1.3733)^3 + 4(1.3733)^2 -10

= 0.1337

f'(1.3733) = 3(1.3733)^2 + 8(1.3733)

= 16.6442

x_{4} = 1.3733 -\frac{0.1337}{16.6442}

=1.3652

tramo = |1.3733 -1.3652| = 0.0081

La tabla resume los valores de las iteraciones

Método de Newton-Raphson
iteración	x_i	x_nuevo	tramo
1	2	1.5	0.5
2	1.5	1.3733	0.1267
3	1.3733	1.3653	0.0081
4	…

Observe que el error representado por el tramo se va reduciendo entre cada iteración. Se debe repetir las iteraciones hasta que el error sea menor al valor tolerado.

Las demás iteraciones se dejan como tarea

Algoritmo con Python

El método de Newton-Raphson se implementa como algoritmo básico en Python

De la sección anterior, luego de realizar tres iteraciones para la tabla, notamos la necesidad de usar un algoritmo para que realice los cálculos repetitivos y muestre la tabla o directamente el resultado.

 ['xi', 'xnuevo', 'tramo']
[[2.0000 1.5000 5.0000e-01]
 [1.5000 1.3733 1.2667e-01]
 [1.3733 1.3653 8.0713e-03]
 [1.3653 1.3652 3.2001e-05]]
raiz en:  1.3652300139161466
con error de:  3.200095847999407e-05

Al algoritmo básico se les añade lo necesario para mostrar la tabla con los valores de las iteraciones.

# Método de Newton-Raphson
# Ejemplo 1 (Burden ejemplo 1 p.51/pdf.61)

import numpy as np

# INGRESO
fx  = lambda x: x**3 + 4*(x**2) - 10
dfx = lambda x: 3*(x**2) + 8*x

x0 = 2
tolera = 0.001

# PROCEDIMIENTO
tabla = []
tramo = abs(2*tolera)
xi = x0
while (tramo>=tolera):
    xnuevo = xi - fx(xi)/dfx(xi)
    tramo  = abs(xnuevo-xi)
    tabla.append([xi,xnuevo,tramo])
    xi = xnuevo

# convierte la lista a un arreglo.
tabla = np.array(tabla)
n = len(tabla)

# SALIDA
print(['xi', 'xnuevo', 'tramo'])
np.set_printoptions(precision = 4)
print(tabla)
print('raiz en: ', xi)
print('con error de: ',tramo)

scipy.optimize.newton

El método de Newton-Raphson se encuentra implementado en Scipy, que también puede ser usado de la forma:

>>> import scipy.optimize as opt
>>> opt.newton(fx,x0, fprime=dfx, tol = tolera)
1.3652300139161466
>>>

https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.newton.html

Tarea

Calcule la raíz de f(x) = e^-x – x, empleando como valor inicial x₀ = 0

convertir el algoritmo a una función
Revisar las modificaciones si se quiere usar la forma simbólica de la función.
incorpore la grafica básica 2D de la función f(x)