6.2.2 EDO Runge-Kutta d2y/dx2

Para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones de inicio en x₀, y₀, y’₀

\frac{\delta ^2 y}{\delta x^2} = \frac{\delta y}{\delta x} + etc

Forma estandarizada de la ecuación:

y'' = y' + etc

se convierte a:

z= y' = f_x(x,y,z) z' = (y')' = z + etc = g_x(x,y,z)

con las condiciones de inicio en x₀, y₀, z₀

y se pueden reutilizar los métodos para primeras derivadas, por ejemplo Runge-Kutta de 2do y 4to orden.

Runge-Kutta 2do Orden tiene error de truncamiento O(h³)
Runge-Kutta 4do Orden tiene error de truncamiento O(h⁵)

Runge-Kutta 2do Orden d2y/dx2 en Python:

import numpy as np

def rungekutta2_fg(f,g,x0,y0,z0,h,muestras):
    tamano = muestras + 1
    estimado = np.zeros(shape=(tamano,3),dtype=float)

    # incluye el punto [x0,y0,z0]
    estimado[0] = [x0,y0,z0]
    xi = x0
    yi = y0
    zi = z0
    for i in range(1,tamano,1):
        K1y = h * f(xi,yi,zi)
        K1z = h * g(xi,yi,zi)
        
        K2y = h * f(xi+h, yi + K1y, zi + K1z)
        K2z = h * g(xi+h, yi + K1y, zi + K1z)

        yi = yi + (K1y+K2y)/2
        zi = zi + (K1z+K2z)/2
        xi = xi + h
        
        estimado[i] = [xi,yi,zi]
    return(estimado)

Runge-Kutta 4do Orden d2y/dx2 en Python:

def rungekutta4_fg(fx,gx,x0,y0,z0,h,muestras):
    tamano = muestras + 1
    estimado = np.zeros(shape=(tamano,3),dtype=float)

    # incluye el punto [x0,y0]
    estimado[0] = [x0,y0,z0]
    xi = x0
    yi = y0
    zi = z0
    
    for i in range(1,tamano,1):
        K1y = h * fx(xi,yi,zi)
        K1z = h * gx(xi,yi,zi)
        
        K2y = h * fx(xi+h/2, yi + K1y/2, zi + K1z/2)
        K2z = h * gx(xi+h/2, yi + K1y/2, zi + K1z/2)
        
        K3y = h * fx(xi+h/2, yi + K2y/2, zi + K2z/2)
        K3z = h * gx(xi+h/2, yi + K2y/2, zi + K2z/2)

        K4y = h * fx(xi+h, yi + K3y, zi + K3z)
        K4z = h * gx(xi+h, yi + K3y, zi + K3z)

        yi = yi + (K1y+2*K2y+2*K3y+K4y)/6
        zi = zi + (K1z+2*K2z+2*K3z+K4z)/6
        xi = xi + h
        
        estimado[i] = [xi,yi,zi]
    return(estimado)

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Una aplicación del algoritmo en Señales y Sistemas:

LTI CT – Respuesta entrada cero – Desarrollo analítico, TELG1001-Señales y Sistemas