2Eva_2022PAOII_T1 Altura de cohete en 30 segundos

2da Evaluación 2022-2023 PAO II. 24/Enero/2023

Tema 1. (30 puntos) La velocidad hacia arriba de un cohete se calcula con la fórmula:

v = u \ln\Big(\frac{m_0}{m_0-qt}\Big) - gt

Donde:https://www.debate.com.mx/Las-increibles-imagenes-del-lanzamiento-del-cohete-mas-potente-del-mundo-l201802060004.html
v   = velocidad hacia arriba,
u   = 1800 m/s, velocidad a que se expele el combustible en relación con el cohete,
m0 = 160 000 kg, masa inicial del cohete en el tiempo t = 0,
q    = 2 500 kg/s,  tasa de consumo de combustible y
g    = 9.8 m/s2, aceleración de la gravedad

Para determinar la altura alcanzada por el cohete en un vuelo de 30 segundos desarrolle la parte analítica con los siguientes métodos y compare los resultados.

a. Utilice la regla de Simpson, en el planteamiento incluya la cantidad de tramos o segmentos a usar

b. Use el método de cuadratura de Gauss para la misma cantidad de segmentos que el literal anterior

c. Compare y comente los resultados, sobre los errores entre los métodos.

Rúbrica: Planteamiento de tramos (5 puntos), integral con Simpson (10 puntos), cuadratura de Gauss (10 puntos), literal c (5 puntos).

Referencia: Chapra ejercicio 24.46 p701. NASA y SpaceX realizan con éxito el despegue del primer vuelo de EE. UU. hacia la Estación Espacial Internacional en nueve años. EFE 30 mayo 2020 https://youtu.be/npcgpQUKAbg

 

 

2Eva_2022PAOI_T1 Comparar integrales numéricos Simpson y Cuadratura de Gauss

2da Evaluación 2022-2023 PAO I. 30/Agosto/2022

Tema 1. (30 puntos) Determine el área bajo la curva dada por la expresión mostrada para el intervalo de x entre [0,3]:

A = \int_0^3 \frac{e^x \sin(x)}{1+x^2} \delta x

Desarrolle el ejercicio mostrando las expresiones completas para integración numérica usando:

a) Un método de Simpson aplicado al menos dos veces para el intervalo del integral. Determine el tamaño de paso propuesto y el número de puntos necesario para usar un solo método.

b) El método de Cuadratura de Gauss de dos puntos, usando dos tramos en el intervalo.

c) Estime el error de integración para los literales a y b. Compare los resultados obtenidos.

Rúbrica: Literal a. tamaño de paso (5 puntos) expresiones correctas y completas (10 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos)

Referencia: Chapra 5Ed. ejercicio 22.14 p667

3Eva_2021PAOII_T1 Area con derrame de petroleo usando Simpson

3ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 8/Febrero/2022

Tema 1. (30 puntos) Se reportó un derrame de petróleo del pasado 15 de enero del 2022 en una refinería en el vecino país del sur,
que contaminó al menos 24 playas de la costa central, según indicó el organismo de la Dirección General de Salud Ambiental e Inocuidad Alimentaria.

Usando fotografías aéreas, la guardia costera obtuvo las dimensiones del derrame descrita en la figura y en la tabla mostrada:

x 0 100 200 300 400 470 600 700 800 900 1000
f(x) 0 230 310 300 300 320 400 380 320 230 0
g(x) 0 -200 -200 -330 -320 -350 -400 -400 -360 -260 0

a) Estime el área afectada por el derrame de petróleo, usando principalmente los métodos Simpson
b) Justifique el uso de las formulas compuestas usadas
c) Calcule el error del integral, para toda el área

Rúbrica: literal b (5 puntos), literal a, con expresiones detalladas para cada eje (20 puntos), literal c (5 puntos)

Referencia: Tan S.T (1994). Numerical Integration 7.3 Ejercicio 5.Calculus for the managerial, life, and Social sciences.
Eluniverso.com Derrames de petróleo, una lamentable afectación que es habitual a la región. 31 de enero, 2022. https://www.eluniverso.com/noticias/internacional/derrames-de-petroleo-una-lamentable-afectacion-que-es-habitual-a-la-region-nota/

x  = [0.0, 100, 200, 300, 400, 470, 600, 700, 800, 900, 1000]
fx = [0.0, 230, 310, 300, 300, 320, 400, 380, 320, 230, 0]
gx = [0.0,-200,-200,-330,-320,-350,-400,-400,-360,-260, 0]

 

2Eva_2021PAOII_T1 Promedio de precipitación de lluvia en área

2da Evaluación 2021-2022 PAO II. 25/Enero/2022

Tema 1 (30 puntos) Un mapa asociado al clima muestra los resultados de precipitación que dejó a su paso el Huracán Karl en el año 2010.

Se registró entre 4 a 8 pulgadas de lluvia. El área en observación tiene una extensión de 300 millas de este a oeste y 250 millas de norte a sur.

f(xi,yj)
i \ j 1 2 3 4 5 6
1 0.02 0.36 0.82 0.65 1.7 1.52
2 3.15 3.57 6.25 5 3.88 1.8
3 0.98 0.98 2.4 1.83 0.04 0.01
4 0.4 0.04 0.03 0.03 0.01 0.08

Para las mediciones, se divide el área del mapa en 6 tramos para el eje x, 4 tramos para el eje y, con lo que se encuentran los valores presentados en la tabla.

a) Determine los valores para Δx, Δy.

b) Estime al promedio de precipitación lluviosa en toda el área para los datos registrados para dos días, usando la forma compuesta de Simpson.

f_{promedio} = \frac{1}{A_R} \int \int_R f(x,y) \delta x \delta y

c) Calcule el error del integral

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b, con expresiones detalladas para cada eje (20 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: Stewart. Calculus Example 15.1.10: Calculating Average Storm Rainfall.


A = [[0.02, 0.36, 0.82, 0.65, 1.7 , 1.52],
     [3.15, 3.57, 6.25, 5.  , 3.88, 1.8 ],
     [0.98, 0.98, 2.4 , 1.83, 0.04, 0.01],
     [0.4 , 0.04, 0.03, 0.03, 0.01, 0.08]]
base = 300
altura = 250

3Eva_2021PAOI_T4 Integral con Cuadratura Gaussiana

3ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 14/Septiembre/2021

Tema 4 (30 puntos) Aproximar el siguiente integral usando Cuadratura Gaussiana

\int_0^{\pi/4} x^2 \sin (x) \delta x

a) Usado dos segmentos o tramos, y para dos puntos, n=2

b) compare sus resultados con n=3

c) Calcule error entre resultados

Referencia: Burden 8th Edition. Ejercicios 4.7 d.

Rúbrica: Planteo del ejercicio (5 puntos), literal a, con expresiones y valores completos (10 puntos), literal b, con n=3 (10 puntos). literal c (5 puntos).

2Eva_2021PAOI_T1 Masa transportada por tubo

2da Evaluación 2021-2022 PAO I. 31/Agosto/2021

Tema 1 (30 puntos) La cantidad de masa transportada, M, por un tubo durante cierto periodo de tiempo se calcula con:

M = \int_{t_1}^{t_2} Q(t)c(t) dt

Donde:
M = masa (mg)
t1 = tiempo inicial (min)
t2 = tiempo final (min)
Q(t) = tasa de flujo (m3/min)
c(t) = concentración (mg/m3)

Las representaciones funcionales siguientes definen las variaciones temporales en el flujo y la concentración:

Q(t)=9+4 \cos ^2 (0.4t) c(t)=5e^{-0.5t}+2 e^{-0.15 t}

a) Determine la masa transportada entre t1 = 2 min y t2 = 8 min, usando integración numérica de Simpson 1/3 con al menos 6 tramos.

b) Estime la cota de error para el literal anterior.

c) Recomiende y justifique cómo mejorar el resultado de lo calculado de forma numérica.

Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), iteración con expresiones completas (10 puntos), tamaño de paso (5 puntos), cota error (5 puntos), literal c (5 puntos)

Referencia: Chapra ejercicio 22.14 p667. ¿Cómo funciona una refinería? https://youtu.be/tFJ064TLW4E
¿Cómo lo hacen? – Extracción de petróleo – DiscoveryMAX en Español https://youtu.be/ua8u3iSFqsc

3Eva_2020PAOII_T1 Área de sección transversal en buque

3ra Evaluación 2020-2021 PAO II. 9/Febrero/2021

Tema 1. (30 puntos) Al reiniciar las actividades de construcción de un buque
luego de la cuarentena del año 2020, se requiere determinar el área transversal de la sección a ser cerrada completamente y que se muestra en la figura.

Para estimar el área transversal del compartimento se tomaron las siguientes medidas cada 2 metros hacia arriba desde la línea central vertical (mostrada en la gráfica):

en metros Longitud desde Centro
Altura Izquierda Derecha
12 -17.00 17.00
10 -16.00 16.00
8 -15.65 15.65
6 -15.60 15.60
4 -15.50 15.50
2 -15.00 15.00
0   -6.00  6.00

Usando un método numérico compuesto estime el área transversal de la sección del barco y la cota de error del ejercicio. Desarrolle el ejercicio mostrando el método seleccionado, las expresiones en la ecuación con los valores usados y el error total.

Rúbrica: Selección del métodos compuestos (5 puntos), expresiones de áreas (10 puntos), cota de errores (10 puntos), área total (5 puntos)

Referencias: Órdenes de construcción de transporte marítimo disminuyo en abril. 2020-05-10. https://www.worldenergytrade.com/logistica/transporte/ordenes-de-construccion-de-transporte-maritimo-disminuyo-abril


 

3Eva_IIT2019_T3 Preparación de terreno en refineria

3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

Tema 3. (25 puntos) Para valorar la preparación de terreno en una planta procesadora de Refinería, se requiere estimar el volumen de remoción.

Para una sección rectangular, se dispone de las alturas sobre el nivel del mar del terreno en una cuadrícula antes de los trabajos, siendo el nivel requerido de 220 m en toda el área.

Nivel inicio (m) 0 50 100 150 200
0 241 239 238 236 234
25 241 239 237 235 233
50 241 239 236 234 231
75 242 239 236 232 229
100 243 239 235 231 227

Usando los métodos de integración numérica determine el volumen de material para ésta actividad.

a) Determine el volumen de remoción

b) Exprese y determine el error de aproximación para el volumen

Rúbrica: literal a (15 puntos), literal b (10 puntos)

Referencias: Liquidar Refinería del Pacífico tardaría años. 27 de enero, 2020. www.eluniverso.com.
https://www.eluniverso.com/noticias/2020/01/27/nota/7710855/refineria-pacifico-liquidacion-rafael-correa-activos-ministerio
Inicia liquidación de la Refinería del Pacífico. 16-03-2019. vistazo.com.
https://www.vistazo.com/seccion/politica-nacional/inicia-liquidacion-de-la-refineria-del-pacifico

# INGRESO
nInicio = np.array([[241, 239, 238, 236, 234],
                    [241, 239, 237, 235, 233],
                    [241, 239, 236, 234, 231],
                    [242, 239, 236, 232, 229],
                    [243, 239, 235, 231, 227]])

nRequerido = 220

xi = np.array([0,50,100,150,200])
yi = np.array([0,25,50,75,100])

hx = 50
hy = 25

2Eva_IIT2019_T4 Integrar con Cuadratura de Gauss

2da Evaluación II Término 2019-2020. 28/Enero/2020. MATG1013

Tema 3. (25 Puntos) Considere la función f con regla de correspondencia:

f(x) = x ln(x)

Se desea aproximar el valor del integral I en el intervalo [1,4]

I = \int_a^b f(x) dx

a) Use el método de Cuadratura de Gauss con 2 términos para aproximar el valor de I en el intervalo [1,4]

Usando el método compuesto de Simpson:

I = I_s - \frac{(b-a)}{180}h^4 f^{(4)} (\xi) ; \xi \in[a,b]

Donde Is es el valor aproximado de I y h la longitud de cada intervalo.

b) Determine el mínimo número de subintervalos que permita alcanzar una tolerancia de 0.0001. NO considere errores de redondeo.

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (15 puntos)

2Eva_IIT2019_T1 Canteras y urbanizaciones

2da Evaluación II Término 2019-2020. 28/Enero/2020. MATG1013

Tema 1. (20 Puntos) En el conflicto presentado entre las urbanizaciones y canteras en vía a la costa, se menciona que se ha afectado al ecosistema al disminuir la vegetación en la zona.

Una forma de observar el cambio en la zona es medir el área ocupada por cada actor.

Para la observación considere que la superficie ocupada por las urbanizaciones y canteras se describe con los siguientes datos de frontera:

Canteras– frontera superior
xi 55 85 195 305 390 780 1170
f(xi) 752 825 886 1130 1086 1391 1219
Canteras- frontera inferior
xi 55 705 705 850 850 1010 1170
f(xi) 260 260 550 741 855 855 1055
Urbanización – frontera superior
xi 720 800 890 890 1170 1220
g(xi) 527 630 630 760 760 533
Urbanización – frontera inferior
xi 720 1220
g(xi) 0 0

Nota: Observe que los tamaños de paso no son todos regulares

Usando el método del trapecio, determine:

a) El área de operación de la cantera

b) El área ocupada por la urbanización

c) ¿Se puede mejorar la precición del cálculo de las áreas, sin quitar o aumentar datos? Justifique su respuesta e indique cómo y dónde.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b(5 puntos), literal c: cómo (5 puntos), dónde(5 puntos)

Referencia: Google Maps Enero 2019.
Dos bosques cercados por el crecimiento de Guayaquil. 27- Julio-2014.
https://www.eluniverso.com/noticias/2014/07/27/nota/3282036/dos-bosques-cercados-urbe-que-crece
La remediación ambiental en vía a la costa tomará giro legal. 02-Enero-2020.
https://www.expreso.ec/guayaquil/remediacion-ambiental-via-costa-tomara-giro-legal-2518.html