integración numérica – Página 4

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3Eva_IIT2011_T3_MN Integral Simpson

3ra Evaluación II Término 2011-2012. 14/Febrero/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. (35 puntos) Dados los cinco puntos cuyas coordenadas son:

x    = [0.0, 0.25,   0.5,    0.75,   1.0   ]
f(x) = [1.0, 1.3210, 1.8244, 2.5878, 3.7183]

Para evaluar la precisión de los métodos numéricos se desea calcular el valor de

A = \int_0^1 f(x) \delta x

y estimar el error en el resultado

a. Con la fórmula de Simpson calcule el valor de A usando una parábola con h = 0.5

b. Con la fórmula de Simpson calcule el valor de A usando una parábola con h = 0.25

c. Haga una primera estimación del error comparando estos dos resultados

d. Con la fórmula del error de truncamiento, haga una nueva estimación del error aproximando el valor de la derivada con el valor tabulado de la diferencia finita respectiva.

e. Encuentre el error exacto en el resultado calculado de A comparando con el valor obtenido integrando la función de donde provienen los datos dados:
f(x) = xe^x + 1

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3Eva_IT2011_T3_MN Perímetro y área de arco semielíptico

3ra Evaluación I Término 2011-2012. 13/Septiembre/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. (35 puntos) Una empresa debe construir un arco con forma semielíptica como se indica en la figura.

Modelo Elíptico:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

Longitud:

2 \int_0^2 \sqrt{1+(y')^2} \delta x

Para asignar recursos se debe calcular su longitud con las dimensiones mostradas en el diagrama:

a. Encuentre la longitud del arco mediante una aproximación de la integral con el método de la Cuadratura de Gauss con n=2 subintervalos

b. Encuentre el área bajo la curva y la cota del error, utilizando el método de Simpson 1/3, n=4

Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), literal a (15 puntos), literal b (15 puntos).

Referencia: The Impossible Bridge | National Geographic.

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3Eva_IT2011_T1_MN Distribuidor de combustible

3ra Evaluación I Término 2011-2012. 13/Septiembre/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. (30 puntos) Un distribuidor de gasolina llena el depósito al inicio de cada semana. La proporción del contenido que vende semanalmente es una variable x cuyo valor puede estar entre 0 y 1.

La probabilidad que ésta variable x esté en algún intervalo [a, b] ⊂ [0, 1] se obtiene integrando entre a y b el siguiente modelo

f(x) = 20 x³(1+x).

Encuentre el intervalo [0, b] tal que la probabilidad sea igual a 0.5

Para calcular b use el método de Newton, muestre los valores intermedios.

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3Eva_IT2011_T3 Integral cuadratura Gaussiana

3ra Evaluación I Término 2011-2012. 13/Septiembre/2011. ICM00158

Tema 3. Aproximar el valor de la siguiente integral usando la cuadratura Gaussiana:

\int_0^1 \int_x^{2x} (x^2 + y^3) \delta y \delta x

Con n=2, para cada eje.

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2Eva_IIT2011_T1_MN Volumen de lago

2da Evaluación II Término 2011-2012. 31/Enero/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. (30 puntos) Un lago tiene la forma aproximadamente rectangular de 200 m x 400 m.

Se ha trazado un cuadriculado y se ha medido la profundidad en metros en cada cuadrícula de la malla como se

y\x	0	100	200	300	400
0	0	0	4	6	0
50	0	3	5	7	3
100	1	5	6	9	5
150	0	2	3	5	1
200	0	0	1	2	0

con todos los 25 datos de la tabla, estime el volumen aproximado de agua.

Utilice la fórmula de Simpson en ambas direcciones.

profundidad= [[ 0, 0, 4, 6, 0],
              [ 0, 3, 5, 7, 3],
              [ 1, 5, 6, 9, 5],
              [ 0, 2, 3, 5, 1],
              [ 0, 0, 1, 2, 0]]
x = [ 0, 100, 200, 300, 400]
y = [ 0,  50, 100, 150, 200]

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2Eva_IIT2011_T1 Aproximar integral punto singular

2da Evaluación II Término 2011-2011. 31/Enero/2012. ICM00158

Tema 1. Aproximar la siguiente integral:

\int_2^3 \frac{\ln (x)}{\sqrt[4]{3-x}} \delta x

Usar Simpson con n=6

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2Eva_IT2011_T3_MN Aproxime integral

2da Evaluación I Término 2011-2012. 29/Agosto/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. Con respecto a los datos del Tema 2, aproxime la integral de g(x) con el método de la cuadratura de Gauss de dos términos usando n = 1, 2, 3 subintervalos.

Con éstos resultados estime la precisión de la respuesta del integral.

Previamente debe usar los datos para aproximar g(x) mediante un polinomio de interpolación.

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2Eva_IT2011_T2_MN Aproxime integral

2da Evaluación I Término 2011-2012. 29/Agosto/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. Sea la función y = f(x), 0≤x≤2, con los nodos x_i y los valores f( x_i ), como se indica:

x	0.0	0.5	1.0	1.5	2.0
y=f(x)	0.0	0.8	0.9	0.7	0.3

Se requiere evaluar la siguiente integral relacionada con los datos dados:

A = \int_0^2 g(x) \delta x = \int_0^2 \frac{1}{1+y'} \delta x

Aproxime la integral de g(x) con el método de Simpson 1/3, con n=4 subintervalos.

Previamente obtenga los puntos de g(x) aproximando el valor de la derivada y’ con una fórmula de orden 2.

Estime el error en la aproximación de la derivada.

xi = [ 0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0] 
yi = [ 0.0, 0.8, 0.9, 0.7, 0.3]

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2Eva_IT2011_T1 Integral con Simpson

2da Evaluación I Término 2011-2012. 30/Agosto/2011. ICM00158

Tema 1. Dada la integral

\int_0^1 \frac{a^x}{(x-1)^{2/5}} \delta x

Determine:
a. Si la integral converge, justifique adecuadamente

b. Su valor aproximado, en caso de que la integral converja, usando Simpson compuesta con n=4

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3Eva_IIT2010_T2 Integrar función por intervalos

3ra Evaluación II Término 2010-2011. 15/Febrero/2011. ICM00158

Tema 2. Dada la función

f(x) = \begin{cases} \sin (x) , & 0\leq x \lt \frac{\pi}{2}\\ - \frac{2x}{\pi} +2, & \frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi \end{cases}

a. Graficar la función

b. Integrar numéricamente con la fórmula compuesta de Simpson, n=6

c. Determinar el error absoluto del valor determinado en el literal b.