1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013
Tema 4. Para pagar una hipoteca de una casa durante n periodos de tiempo se usa la fórmula:
P = A\Big(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \Big)
En ésta ecuación, P es el valor presente de la casa, A es el valor del pago periódico de la deuda durante n periodos y la tasa de interés por periodo es i.
Suponga que la casa tiene un valor presente de 70000 dólares y deberá ser pagada mediante 1200 dólares mensuales por 25 años (300 meses).
a) Plantee la ecuación
b) Encuentre un intervalo para i donde haya un cambio de signo en la función
1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/junio/2018. MATG1013
Tema 2. (25 puntos) Sea g:[a,b] → R una función continua tal que g(x) ∈ [a,b] para toda x ∈ [a,b] .
Suponga además que g es una función contractiva en [a,b] esto es \forall x,y \in [a,b]: |g(x)-g(y)| \lt |x-y|
Demuestre o refute las siguientes afirmaciones:
a) g tiene al menos un punto fijo en [a,b]
b) g tiene un punto fijo único en [a,b]
Rúbrica: Literal a. Construye la función f(x)=x-g(x)=0 , verifica el cambio de signo de f(x) en los extremos del intervalo y concluye que p =g(p) (hasta 15 puntos), literal b. Supone dos puntos fijos, calcula | p-q |, utiliza la propiedad contractiva y concluye que se produce una contradicción (hasta 10 puntos)
1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/junio/2018. MATG1013
Tema 3. (25 puntos). La temperatura en los nodos de la malla de una placa se puede calcular con el promedio de las temperaturas de los 4 nodos vecinos de la izquierda, derecha, arriba y abajo.
Una placa cuadrada de 3 m de lado tiene la temperatura en los nodos de los bordes como se indica en la figura,
a) Plantee el sistema de ecuaciones y resuelva con eliminación de Gauss, encontrar a, b, c, d.
b) Encuentre la matriz T de Jacobi y comente sobre la convergencia
c) Con X[0]=[a=60, b=40, c=70, d=50], realice 3 iteraciones, estime el error, comente.
d) Con la tercera iteración calcule el residuo y encuentre una cota del error absoluto y error relativo
Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos).
Referencia: Ejercicio 12.39 p339 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.
1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/Junio/2018. MATG1013
Tema 4. “El gol que desafió a la física”. El 3 de junio de 1997, durante el partido de Brasil vs Francia, el brasileño Roberto Carlos ubicó la pelota a 35 metros del arco del Francés Fabien Barthez para rematar un tiro libre. Retrocedió 18 pasos, y luego sacó un zurdazo brutal, mágico, irreal, de ficción, para vencer en un segundo y fracción el arco del portero que al año siguiente se coronaría campeón del mundo.
Se obtuvieron los siguientes datos de videos y fotografías del suceso.
t
0.00
0.15
0.30
0.45
0.60
0.75
0.90
1.05
1.20
x(t)
0.00
0.50
1.00
1.50
1.80
2.00
1.90
1.10
0.30
y(t)
0.00
4.44
8.88
13.31
17.75
22.19
26.63
31.06
35.50
z(t)
0.00
0.81
1.40
1.77
1.91
1.84
1.55
1.03
0.30
Para el estudio de la trayectoria del balón se requieren las funciones que la describen en los ejes cartesianos.
a) Use interpolación con t = 0, 0.3, 0.6, 0.9 aproximar la trayectoria z(t) y encuentre t donde la altura es máxima.
b) Determine la altura ‘z’ del balón cuando cruzó la barrera. La barrera se ubica a y = 9 m de la posición inicial del balón.
c) Determine la desviación máxima (dx/dt=0) que hace que el gol sea considerado como “un desafío a la física”.
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (7 puntos), literal c (8 puntos)
1ra Evaluación I Término 2016-2017. 28/junio/2016. ICM02188 Métodos Numéricos
Tema 4. (25 puntos) Responda las siguientes preguntas y justifique la respuesta
a) Si la ‖Tj‖∞ > 1 , entonces el método de Jacobi no converge
b) Si f ∈ C2[a,b] y p ∈ [a,b], tal que f(p)=0 y f ‘(p)≠0,
entonces existe δ > 0 tal que el método de Newton converge para cualquier p0 ∈ [p – δ, p + δ]
Rúbrica: literal a) falso (6 puntos), Justificación (6 puntos), literal b) verdadero (6 puntos), demostración (7 puntos)
1ra Evaluación II Término 2017-2018. 28/Noviembre/2017. MATG1013
Tema 4. (25 puntos) Complete:
a) En el teorema de iteración de punto fijo para sistemas de ecuaciones lineales se tiene que:
Para todo X(0) ∈ Rn, la sucesión \big( x^{(k)} \big)_{k=0}^{\infty} definida por: ______
converge a la solución de: _____
si y solo si: _____
b) Si f ∈ C2[a, b] y sea p ∈ [a, b] tal que f(p) = 0, f'(p) ≠ 0 entonces el método de Newton converge a p y tiene convergencia cuadrática.
Demuestre la proposición anterior.
c) En el teorema de punto fijo para ecuaciones de una variable se tiene:
Si g ∈ C[a, b] tal que g(x) ∈ [a, b] para todo x en [a, b].
Además supongamos que existe g’en (a,b) y una constante positiva 0<k<1 tales que: ____
Entonces, ___
Rúbrica: En el literal a), por cada espacio llenado hasta 3%, en el literal b), 8% por demostrar que g'(p)=0 y 2% por demostrar que En+1 = g»(p)/2 En, en el literal c) hasta 3% por cada espacio llenado
