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2Eva_2021PAOI_T1 Masa transportada por tubo

2da Evaluación 2021-2022 PAO I. 31/Agosto/2021

Tema 1 (30 puntos) La cantidad de masa transportada, M, por un tubo durante cierto periodo de tiempo se calcula con:

M = \int_{t_1}^{t_2} Q(t)c(t) dt

Donde:
M = masa (mg)
t1 = tiempo inicial (min)
t2 = tiempo final (min)
Q(t) = tasa de flujo (m3/min)
c(t) = concentración (mg/m3)

Las representaciones funcionales siguientes definen las variaciones temporales en el flujo y la concentración:

Q(t)=9+4 \cos ^2 (0.4t) c(t)=5e^{-0.5t}+2 e^{-0.15 t}

a) Determine la masa transportada entre t1 = 2 min y t2 = 8 min, usando integración numérica de Simpson 1/3 con al menos 6 tramos.

b) Estime la cota de error para el literal anterior.

c) Recomiende y justifique cómo mejorar el resultado de lo calculado de forma numérica.

Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), iteración con expresiones completas (10 puntos), tamaño de paso (5 puntos), cota error (5 puntos), literal c (5 puntos)

Referencia: Chapra ejercicio 22.14 p667. ¿Cómo funciona una refinería? https://youtu.be/tFJ064TLW4E
¿Cómo lo hacen? – Extracción de petróleo – DiscoveryMAX en Español https://youtu.be/ua8u3iSFqsc

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1Eva_2021PAOI_T1 Función recursiva y raíces de ecuaciones

1ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 6/Julio/2021

Tema 1. (30 puntos) La sucesión mostrada puede ser calculada de forma recursiva para un valor inicial x0.

x_n = ln \Bigg(\frac{1}{2+x_{n-1}} \Bigg)

n = 1, 2, 3, …
x0 = -0.45

a. Realice 7 iteraciones con la sucesión, tabule y grafique los resultados.

Considerando solamente el intervalo  [-0.5,-0.4]

b. ¿Se puede afirmar que para todo valor inicial x0 la sucesión converge? Justifique su respuesta.

En algoritmos de computadora, la forma recursiva de la sucesión puede consumir rápidamente recursos, por lo que se plantea encontrar el valor al que converge la sucesión usando siguiente ecuación:

x +ln(x+2) = 0

x0 = -0.45

c. Encuentre el valor que resuelve la ecuación usando el método de Newton-Raphson con tolerancia de 10-4. Realice al menos 3 iteraciones completas y comente sobre la convergencia.

d. Presente sus conclusiones y recomendaciones para los resultados obtenidos entre el literal b y c.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (3 puntos), literal c, verifica intervalo (4 puntos), iteraciones (10 puntos), convergencia (5 puntos), literal d (4 puntos)

 

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1Eva_2021PAOI_T3 Interpolar, modelo de contagios 2020

1ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 6/Julio/2021

Tema 3 (35 puntos) Para evaluar las medidas de confinamiento aplicadas durante el año 2020 se requiere de un modelo del comportamiento de contagios por unidad de tiempo.

Se disponen de los datos de casos graves por semana mostrados en la tabla y se busca obtener un polinomio de interpolación de grado 4 semejante al mostrado en la figura.

Semana Fecha casos graves
… … …
9 2/3/2020 1435
10 9/3/2020 1645
11 16/3/2020 1503
12 23/3/2020 3728
13 30/3/2020 7154
14 6/4/2020 6344
15 13/4/2020 4417
16 20/4/2020 3439
17 27/4/2020 2791
18 4/5/2020 2576
19 11/5/2020 2290
20 18/5/2020 2123
21 25/5/2020 2023
22 1/6/2020 2067
23 8/6/2020 2163
24 15/6/2020 2120
25 22/6/2020 2125
… … …

a. Desarrolle el polinomio de interpolación usando los puntos sombreados en la tabla, correspondientes a las semanas 11, 13, 16, 18 y 20.

b. Calcule los errores en el intervalo sobre los datos que no se usaron entre las semanas [11,20]

c. Desarrolle y justifique una propuesta para disminuir los errores encontrados en el literal anterior, sobre el mismo intervalo, es decir obtiene un nuevo polinomio.

d. Calcule los errores en el intervalo para el modelo del literal c y compare con los obtenidos en el literal b.

e. Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos entre los dos polinomios.

Rúbrica: literal a (7 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (8 puntos)

xi = [    9,   10,   11,   12,   13,   14,
         15,   16,   17,   18,   19,   20,
         21,   22,   23,   24,   25,   26 ]
fi = [ 1435, 1645, 1503, 3728, 7154, 6344,
       4417, 3439, 2791, 2576, 2290, 2123,
       2023, 2067, 2163, 2120, 2125, 2224 ]

Referencia:
– Eluniverso.com. 2/07/2021. Casos de coronavirus en Ecuador al viernes 2 de julio: 461.157 confirmados, 21.623 fallecidos y 1′416.916 vacunados. https://www.eluniverso.com/noticias/ecuador/coronavirus-covid-19-ecuador-cifras-vacunados-casos-contagios-muertes-9-junio-2021-nota-18/ .

– https://flo.uri.sh/visualisation/5585865/embed

– BBC News Mundo. La “doble curva” del coronavirus y el “falso dilema” entre salvar vidas o la economía. 8/mayo/2020. https://youtu.be/SlTSFkTsZL8

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1Eva_2021PAOI_T2 Atención hospitalaria con medicamentos limitados

1ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 6/Julio/2021

Tema 2 (35 puntos) Durante el año 2020, ante el aumento de atención hospitalaria estatal en la región y el limitado acceso a medicamentos, como una primera estrategia de manejo de recursos se derivan el exceso de pacientes hacia la atención en hospitales privados.

En la tabla  se muestra la cantidad de los tres medicamentos (mg, ml) que se administran al atender a cada paciente clasificado por grupo etario: niños, adolescentes, adultos y adultos mayores.

También se dispone del total de medicamentos existente en bodegas en cada semana.

Niños Adolescentes Adultos Adultos Mayores Medicamentos /semana
Medicamento_A 0.3 0.4 1.1 4.7 3500
Medicamento_B 1 3.9 0.15 0.25 3450
Medicamento_C 0 2.1 5.6 1.0 6500

Es de interés conocer la cantidad de pacientes de cada grupo que se podría atender con los recursos disponibles.

a.  Realice el planteamiento de un sistema de ecuaciones que permita determinar la cantidad máxima de pacientes de cada grupo etario que podrían ser atendidos usando todos los medicamentos disponibles.

Una vez planteadas las ecuaciones, se le indica que la capacidad K para pacientes niños sea una variable libre, por consumir menos recursos y se podrían derivar al sistema privado.

b.  Escriba el conjunto de soluciones posibles en función de la variable libre, considerando la cantidad de niños a atender como máximo de K=100.

c. Determine la capacidad de atención usando un método Iterativo con una tolerancia de 10-2. Realice tres iteraciones completas y revise la convergencia del método. Se estima atender al inicio de semana al menos 100 pacientes de cada grupo.

d. Suponga que la cantidad de pacientes en cada grupo para una semana dada es: [350, 1400, 1500, 1040]. ¿Hay suficiente cantidad de medicamentos para atender el promedio actual de pacientes? Analice y describa los resultados encontrados.

e. Si se decide vacunar primero a todos los niños, entonces ya no requieren atención hospitalaria (K=0) ¿Cuál es el número máximo de pacientes de cada grupo que podría incrementarse dadas las condiciones actuales? Resuelva usando un método directo.

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (2 puntos), pivoteo por filas(5 puntos), iteraciones (10 puntos), análisis de convergencia (4 puntos), literal d (5 puntos) literal e (6 puntos)

Referencias:
– BBC News Mundo. El país que está vacunando contra el covid-19 primero a los jóvenes y no a los ancianos. 16/enero/2021. https://youtu.be/oo2itoBBwyY

– Manejo clínico de la COVID-19, orientaciones provisionales 27/mayo/2020. https://apps.who.int/iris/bitstream/handle/10665/332638/WHO-2019-nCoV-clinical-2020.5-spa.pdf

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3Eva_2020PAOII_T3 Deflexiones de una placa

3ra Evaluación 2020-2021 PAO II. 9/Febrero/2021

Tema 3. (40 puntos) Una placa cuadrada, apoyada simplemente en sus extremos está sujeta a un carga por unidad de área q.


La deflexión en la dimensión z de determina resolviendo la EDP elíptica siguiente:

\frac{\partial^4 z}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4 z}{\partial x^2 \partial y^2} +\frac{\partial^4 z}{\partial y^4} =\frac{q}{D}

sujeta a condiciones de frontera en los extremos, donde la deflexión y la pendiente normal a la frontera son cero.

D = \frac{E \Delta x^3}{12(1-\sigma ^2)}

El parámetro D es la rigidez de flexión, donde E=módulo de elasticidad, Δz=espesor de la placa, σ=razón de Poisson.

Para simplificar, se define la variable u como sigue:

u = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}

Permitiendo volver a expresar la ecuación primera como:

\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{q}{D}

Con lo que el problema se reduce a resolver de manera sucesiva las dos ecuaciones de Poisson.

Primero la ecuación respecto a u sujeta a la condición de frontera u = 0 en los extremos, después los resultados se emplean junto con la ecuación respecto a z sujeta a la condición de que z = 0 en los extremos.
Considere una placa de 2 metros de longitud en sus extremos, q= 33.6 k N/m2, σ =0.3, Δz = 0.01 m, E = 2×1011 Pa.

a) Plantee y desarrolle el ejercicio en papel para u(x,y) para al menos 3 puntos en la malla.
Utilice Δx = Δy = 0.5 para las iteraciones.

b) Desarrolle un algoritmo para determinar las deflexiones de una placa cuadrada sujeta a una carga constante por unidad de área resolviendo de manera sucesiva las dos ecuaciones.

Rúbrica: gráfica de malla (5 puntos), desarrollo de expresiones, agrupar constantes, y simplificación (10 puntos), iteraciones para 3 puntos (10 puntos), Revisión de errores (5 puntos). literal b (10 puntos)

Referencia: Deflexiones de una placa. Chapra 32.2 p938, pdf962

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3Eva_2020PAOII_T2 EDO – Concentración de solución en tres tanques

3ra Evaluación 2020-2021 PAO II. 9/Febrero/2021

Tema 2. (30 puntos) Tres tanques perfectamente aislados, completamente llenos con una solución cuya concentración es Ci (0) g/L.

Los tanques están interconectados en serie de tal forma que de añadir solución al primero, se transfiere la misma cantidad por la conexión al segundo y al tercero del cual rebosa hacia afuera del sistema.

El tercer tanque tiene una salida por rebose que mantiene constante el volumen V en cada tanque.

Desde un tiempo t0 = 0, al primer tanque se le añade una solución que tiene una concentración 50 g/L, a razón de 300 L/min.

Considere Ci (0) = 30 g/L y el volumen de cada tanque de 1000 L.
En cada tanque entre lo que recibe y se transfiere al siguiente tanque se obtienen las siguientes ecuaciones:

\frac{dC_1}{dt} = \frac{300}{1000}(50) - 0.3 C_1 \frac{dC_2}{dt} = 0.3C_1- 0.3 C_2 \frac{dC_3}{dt} = 0.3C_2- 0.3 C_3

Determine la concentración en cada tanque durante los 3 primeros minutos de iniciar el experimento usando un método de Runge-Kutta de 2do Orden. (tres iteraciones, estime cota del error)

Rúbrica: Planteo del sistema de ecuaciones en el método (10 puntos), iteraciones (15 puntos), estimar errores (5 puntos).

Referencia: GIE -FRSN-UTN. https://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/mnedo/ejercicios%20propuestos.pdf

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3Eva_2020PAOII_T1 Área de sección transversal en buque

3ra Evaluación 2020-2021 PAO II. 9/Febrero/2021

Tema 1. (30 puntos) Al reiniciar las actividades de construcción de un buque
luego de la cuarentena del año 2020, se requiere determinar el área transversal de la sección a ser cerrada completamente y que se muestra en la figura.

Para estimar el área transversal del compartimento se tomaron las siguientes medidas cada 2 metros hacia arriba desde la línea central vertical (mostrada en la gráfica):

en metros Longitud desde Centro
Altura Izquierda Derecha
12 -17.00 17.00
10 -16.00 16.00
8 -15.65 15.65
6 -15.60 15.60
4 -15.50 15.50
2 -15.00 15.00
0   -6.00  6.00

Usando un método numérico compuesto estime el área transversal de la sección del barco y la cota de error del ejercicio. Desarrolle el ejercicio mostrando el método seleccionado, las expresiones en la ecuación con los valores usados y el error total.

Rúbrica: Selección del métodos compuestos (5 puntos), expresiones de áreas (10 puntos), cota de errores (10 puntos), área total (5 puntos)

tabla = [[0.0,  2.0,  4.00,  6.00,  8.00, 10.0, 12.0],
         [6.0, 15.0, 15.50, 15.60, 15.65, 16.0, 17.0]]

Referencias: Órdenes de construcción de transporte marítimo disminuyo en abril. 2020-05-10. https://www.worldenergytrade.com/logistica/transporte/ordenes-de-construccion-de-transporte-maritimo-disminuyo-abril

 

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3Eva_2020PAOI_T2 Modelo epidemiológico no letal

3ra Evaluación 2020-2021 PAO I. 22/Septiembre/2020

Tema 2. (35 puntos) En 1927, Kermack y McKendrick propusieron un modelo epidemiológico no letal simplificado que divide a la población total en estados de S=Susceptible, I=Infectado, R= Recuperado.

Las personas cambian de estado en un solo sentido S-I-R siguiendo la tasa de infección β y el periodo infeccioso promedio 1/γ; los recuperados adquieren inmunidad. Este modelo permite observar que pequeños aumentos de la tasa de contagio pueden dar lugar a grandes epidemias.

Susceptible Infectado Recuperado
Relación \frac{dS}{dt} = -\beta SI \frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I \frac{dR}{dt} = \gamma I
Población (t0=0) S(t0)= 1 I(t0) = 0,001 R(t0) = 0

Los valores de población se encuentran en miles, β = 1.4, γ = 1/4.
Suponga que el tiempo se mide en días, h = 1.

a. Plantear la solución del sistema de EDO usando Runge-Kutta de 2do Orden
b. Desarrolle el ejercicio con al menos 3 iteraciones en el tiempo
c. Estimar el error del método aplicado

Rúbrica: conoce la fórmula de RK2 (5 puntos), plantea la fórmula de RK2 al sistema (5 puntos) literal b (20 puntos), literal c (5 puntos).

Referencia: Modelo SIR https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_SIR. Modelaje matemático de epidemias https://es.wikipedia.org/wiki/Modelaje_matem%C3%A1tico_de_epidemias

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3Eva_2020PAOI_T1 Distancia mínima en trayectoria

3ra Evaluación 2020-2021 PAO I. 22/Septiembre/2020

Tema 1. (30 puntos) Calcule el punto de la curva en el plano x-y definida por la función

y = e^{-x} , x ∈ R

que se encuentra más cercano al punto(1, 1).

a. Encuentre un intervalo apropiado para aproximar este valor mediante el método de Newton.

b. Usando este método, elabore una tabla que contenga las columnas de la tabla mostrada:

i xi f(xi) Ei
0
1
2
3

donde f(x) = 0 define el problema a resolver y

Ei = |xi+1 − xi|, i≥0.

Use como criterio de parada Ei ≤ 10−7.
Para los cálculos utilice todos los decimales que muestra la calculadora.

Rúbrica: literal a (5 puntos), planteamiento del método (5 puntos). iteraciones (15 puntos), cálculo de errores (5 puntos)

Referencia: NASA: Cinco asteroides se aproximan a la Tierra; los dos primeros este fin de semana. 11 de Julio, 2020. https://www.eluniverso.com/noticias/2020/07/11/nota/7901811/nasa-asteroides-planeta-tierra

Un asteroide recién descubierto pasará este jueves muy cerca de la Tierra. 23 de septiembre, 2020. https://www.eluniverso.com/noticias/2020/09/23/nota/7987777/asteroide-recien-descubierto-pasara-este-jueves-muy-cerca-tierra

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3Eva_2020PAOI_T3 EDP Parabólica

3ra Evaluación 2020-2021 PAO I. 22/Septiembre/2020

Tema 3. (35 puntos) Desarrolle con el método implícito para aproximar la solución de la EDP Parabólica

\frac{\partial u}{\partial t} - c^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = g(x)
u(x,0) = f(x) u(0,t) = 0 u(1,t) = 0
f(x) = \begin{cases} 5x , & 0 \le x \le 0.5 \\ 5(1-x) , & 0.5 \lt x \le 1\end{cases} g(x) = 2 , 0 \le x \le 1

Considere para h=0.25, k=0.05, c=1

a. Grafique la malla
b. Escriba las ecuaciones para las derivadas
c. Plantee las ecuaciones
d. Resuelva para tres pasos
e. Estime el error (solo plantear)

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5puntos), literal c (10 puntos), literal d (10 puntos), literal e (5 puntos)