3Eva_2020PAOII_T3 Deflexiones de una placa

3ra Evaluación 2020-2021 PAO II. 9/Febrero/2021

Tema 3. (40 puntos) Una placa cuadrada, apoyada simplemente en sus extremos está sujeta a un carga por unidad de área q.


La deflexión en la dimensión z de determina resolviendo la EDP elíptica siguiente:

\frac{\partial^4 z}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4 z}{\partial x^2 \partial y^2} +\frac{\partial^4 z}{\partial y^4} =\frac{q}{D}

sujeta a condiciones de frontera en los extremos, donde la deflexión y la pendiente normal a la frontera son cero.

D = \frac{E \Delta x^3}{12(1-\sigma ^2)}

El parámetro D es la rigidez de flexión, donde E=módulo de elasticidad, Δz=espesor de la placa, σ=razón de Poisson.

Para simplificar, se define la variable u como sigue:


u = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}

Permitiendo volver a expresar la ecuación primera como:

\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{q}{D}

Con lo que el problema se reduce a resolver de manera sucesiva las dos ecuaciones de Poisson.


Primero la ecuación respecto a u sujeta a la condición de frontera u = 0 en los extremos, después los resultados se emplean junto con la ecuación respecto a z sujeta a la condición de que z = 0 en los extremos.
Considere una placa de 2 metros de longitud en sus extremos, q= 33.6 k N/m2, σ =0.3, Δz = 0.01 m, E = 2×1011 Pa.

a) Plantee y desarrolle el ejercicio en papel para u(x,y) para al menos 3 puntos en la malla.
Utilice Δx = Δy = 0.5 para las iteraciones.

b) Desarrolle un algoritmo para determinar las deflexiones de una placa cuadrada sujeta a una carga constante por unidad de área resolviendo de manera sucesiva las dos ecuaciones.

Rúbrica: gráfica de malla (5 puntos), desarrollo de expresiones, agrupar constantes, y simplificación (10 puntos), iteraciones para 3 puntos (10 puntos), Revisión de errores (5 puntos). literal b (10 puntos)

Referencia: Deflexiones de una placa. Chapra 32.2 p938, pdf962

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