Ejercicio: 1Eva_IT2011_T1_MN Fondo de inversión
Se desarrolla para la función:
C(t)=Ate^{-t/3}siguiento las instrucciones por partes, se obtienen los siguientes resultados:
los valores resultantes:
derivada de la función: -x*exp(-x/3)/3 + exp(-x/3) valor maximo en : 3.0000001192092896 A para un millon: 906093.94282 el valor de t para la meta es: 11.0779035867
las instrucciones en python para observar la función son:
# 1ra Evaluación I Término 2011 # Tema 1. Fondo de Inversion import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt ft = lambda t: t*np.exp(-t/3) a=0 b=20 tolera = 0.000001 muestras = 101 meta = 0.25 # PROCEDIMIENTO # Observar la función entre [a,b] ti = np.linspace(a,b,muestras) fti = ft(ti) # Salida # Gráfica plt.plot(ti,fti, label='f(t)') plt.axhline(meta, color = 'r') plt.axhline(0, color = 'k') plt.legend() plt.show()
Para desarrollar el literal a), donde se busca el valor máximo, usando la derivada de la función cuando existe el cruce por cero.
Para la derivada se usa la forma simbólica de la función, que se convierte a forma numérica lambda para evaluarla de forma más fácil.
# Literal a) usando derivada simbólica import sympy as sp x = sp.Symbol('x') fxs = x*sp.exp(-x/3) dfxs = fxs.diff(x,1) # convierte la expresión a lambda dfxn = sp.utilities.lambdify(x,dfxs,'numpy') dfxni = dfxn(ti) print('derivada de la función: ') print(dfxs) # Gráfica de la derivada. plt.plot(ti,dfxni, label='df(t)/dt') plt.axhline(0, color = 'k') plt.legend() plt.show()
derivada de la función: -x*exp(-x/3)/3 + exp(-x/3)
Se busca la raiz con algún método, por ejemplo bisección.
# Busca el máximo en dfxni def biseccion(funcionx,a,b,tolera): fa = funcionx(a) fb = funcionx(b) tramo = np.abs(b-a) while (tramo>=tolera): c = (a+b)/2 fc = funcionx(c) cambia = np.sign(fa)*np.sign(fc) if (cambia<0): b = c fb = fc else: a = c fa = fc tramo = np.abs(b-a) return(c) # usa función para encontrar el máximo raizmax = biseccion(dfxn, a, b, tolera) verifica = dfxn(raizmax) print('valor maximo en : ') print(raizmax) # que el máximo sea un millon tmax = raizmax A = (1000000)/ft(tmax) print('A para un millon: ') print(A)
valor maximo en : 3.0000001192092896 A para un millon: 906093.94282
Para el literal b, se busca la laiz usando el metodo de Newton-Raphson como se indica en el enunciado.
En la función nueva se usa el valor de A encontrado, y la meta establecida.
Se obtiene la misa derivada del problema anterio multiplicada por A, por ser solo un factor que multiplica a la función original. El valor de meta es una constante, que se convierte en cero al derivar.
# literal b), buscar cumplir meta de 0.25 millones def newtonraphson(funcionx, fxderiva, c, tolera): tramo = abs(2*tolera) while (tramo>=tolera): xnuevo = c - funcionx(c)/fxderiva(c) tramo = abs(xnuevo-c) c = xnuevo return(c) ft1 = lambda t: A*t*np.exp(-t/3) - 250000 # usar método de newton, # puede usar la misma derivada multiplicada por A dft1s = A*(fxs.diff(x,1)) dft1 = sp.utilities.lambdify(x,dft1s,'numpy') c = 10 raiz4 = newtonraphson(ft1, dft1, c, tolera) ft1i = ft1(ti) print('el valor de t para la meta es: ') print(raiz4) # Gráfica plt.plot(ti,ft1i, label = 'f(t) con A>1') plt.axhline(meta, color = 'r') plt.axhline(0, color = 'k') plt.axvline(raiz4, color = 'm') plt.legend() plt.show()
el valor de t para la meta es: 11.0779035867
