4.2 Diferencias finitas con Python

Referencia: Rodriguez 6.5 Pdf.211, Chapra 18.1.3 pdf.509

Establece relaciones simples entre los puntos dados que describen la funcion f(x). Las tabla de diferencias finitas es un elemento base para varios métodos de interpolación, por lo que se trata como un tema inicial.

Para un ejemplo se toman los siguientes puntos:

xi	0.10	0.2	0.3	0.4
fi	1.45	1.6	1.7	2.0

La tabla de diferencias finitas se construye tomando los datos y sus índices como parte de las primeras columnas.

i	x_i	f_i	Δ¹f_i	Δ²f_i	Δ³f_i	Δ⁴f_i
0	0.1	1.45	0.15	-0.05	0.25	0.
1	0.2	1.6	0.1	0.2	0.	0.
2	0.3	1.7	0.3	0.	0.	0.
3	0.4	2.0	0.	0.	0.	0.

Cada casila de diferencia finita Δ^jf_i se obtiene restando los dos valores consecutivos de la columna anterior. Por ejemplo, para la primera columna:

\Delta ^1 f_0 = 1.6-1.45 = 0.15

\Delta ^1 f_1 = 1.7-1.6 = 0.1

\Delta ^1 f_2 = 2.0-1.7 = 0.3

y la siguiente Δ¹f₃ no es posible calcular.

Siguiendo el mismo procedimiento se calculan los valores de la siguiente columna Δ²f_i como las diferencias de la columna anterior, así sucesivamente.

Si la función f(x) de donde provienen los datos es un polinonio de grado n, entonces la n-ésima diferencia finita será una constante, y las siguientes diferencias se anularán.

Algoritmo en Python

Para crear la tabla de diferencias finitas, las primeras columnas requieren concatenar los valores de los índice i, xi y fi.

xi = np.array([0.10, 0.2, 0.3, 0.4])
fi = np.array([1.45, 1.6, 1.7, 2.0])

Los índices i se crean en un vector ki, pues la variable i es usada como fila en matrices, por lo que evitamos confundirlas al usar la variable.

A la matriz con las tres columnas descritas, se le añade a la derecha una matriz de nxn para calcular las diferencias.

Se calculan las diferencias para cada columna, realizando la operación entre los valores de cada fila. Considere que no se realizan cálculos desde la diagonal hacia abajo en la tabla, los valores quedan como cero.

Al final se muestra el título y el resultado de la tabla.

# Tabla de Diferencias finitas
# resultado en: [título,tabla]
# Tarea: verificar tamaño de vectores
import numpy as np

# INGRESO, Datos de prueba
xi = np.array([0.10, 0.2, 0.3, 0.4])
fi = np.array([1.45, 1.6, 1.7, 2.0])

# PROCEDIMIENTO

# Tabla de Diferencias Finitas
titulo = ['i','xi','fi']
n  = len(xi)
ki = np.arange(0,n,1)
tabla = np.concatenate(([ki],[xi],[fi]),axis=0)
tabla = np.transpose(tabla)

# diferencias finitas vacia
dfinita = np.zeros(shape=(n,n),dtype=float)
tabla   = np.concatenate((tabla,dfinita), axis=1)

# Calcula tabla, inicia en columna 3
[n,m] = np.shape(tabla)
diagonal = n-1
j = 3
while (j < m):
    # Añade título para cada columna
    titulo.append('df'+str(j-2))

    # cada fila de columna
    i = 0
    while (i < diagonal):
        tabla[i,j] = tabla[i+1,j-1]-tabla[i,j-1]
        i = i + 1

    diagonal = diagonal - 1
    j = j + 1

# SALIDA
print('Tabla Diferencia Finita: ')
print([titulo])
print(tabla)

el resultado de aplicar el algoritmo es:

Tabla Diferencia Finita: 
[['i', 'xi', 'fi', 'df1', 'df2', 'df3', 'df4']]
[[ 0.    0.1   1.45  0.15 -0.05  0.25  0.  ]
 [ 1.    0.2   1.6   0.1   0.2   0.    0.  ]
 [ 2.    0.3   1.7   0.3   0.    0.    0.  ]
 [ 3.    0.4   2.    0.    0.    0.    0.  ]]

>>>

Gráfica de puntos con líneas horizontales

Para tener una referencia visual sobre las primeras diferencias finitas, en una gráfica se trazan las líneas horizontales que pasan por cada punto. Para las segundas diferencias se debe graficar las primeras diferencias finitas vs xi repitiendo el proceso. Las líneas de distancia se añadieron con un editor de imágenes.

las intrucciones adicionales al algoritmo anterior para añadir la gráfica son:

# Gráfica
import matplotlib.pyplot as plt

for i in range(0,n,1):
    plt.axhline(fi[i],ls='--', color='yellow')

plt.plot(xi,fi,'o', label = 'Puntos')

plt.legend()
plt.xlabel('xi')
plt.ylabel('fi')
plt.title('Diferencia Finita')
plt.show()