Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Tema 3. Deducir el método iterativo del punto medio para el problema de valor inicial:
\begin{cases} y'= f(t,y), a\leq t \leq b \\ y(a) = \alpha \end{cases}
a partir de y(ti+1) = y(ti) + h T(2) (ti, y(ti))
Donde h es el tamaño de paso.
Tema 2. Un sistema de compensación para un estudiante que hace una maestría o Doctorado en el extranjero utiliza un trazador cúbico natural para establecer el factor f(x) de ayuda de acuerdo con la siguiente tabla:
| x | 1.0 | 1.3 | 1.7 | 2.0 |
| f(x) | 2.0 | 2.3 | 3.3 | 3.5 |
x, nivel de vida del país; f(x), factor de ayuda
a. Encuentre el trazador cúbico natural (S»(1) = 0, S»(2) = 0).
b. Aproxime la integral de f(x) desde x=1, hasta x=2, empleando el resultado obtenido en el literal a.
xi = [ 1.0, 1.3, 1.7, 2.0] fi = [ 2.0, 2.3, 3.3, 3.5]
Tema 1. Dado el sistema de ecuaciones no lineales
3x^2 + 3y^2 - 15 = 0 2x^2y- 1 = 0x∈R; y ≥ 1
a. Realice un bosquejo gráfico y especifique el número de soluciones del sistema.
b. Determine la ecuación en términos de una variable para resolver el sistema.
c. Justifique un intervalo donde se encuentre la solución de la ecuación planteada en literal b.
d. Aproxime la solución empleando el método de Newton-Raphson con tolerancia de 10-6.
e. Escriba correctamente la solución hallada.
Tema 3. (35 puntos) Dados los cinco puntos cuyas coordenadas son:
x = [0.0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0 ] f(x) = [1.0, 1.3210, 1.8244, 2.5878, 3.7183]
Para evaluar la precisión de los métodos numéricos se desea calcular el valor de
A = \int_0^1 f(x) \delta xy estimar el error en el resultado
a. Con la fórmula de Simpson calcule el valor de A usando una parábola con h = 0.5
b. Con la fórmula de Simpson calcule el valor de A usando una parábola con h = 0.25
c. Haga una primera estimación del error comparando estos dos resultados
d. Con la fórmula del error de truncamiento, haga una nueva estimación del error aproximando el valor de la derivada con el valor tabulado de la diferencia finita respectiva.
e. Encuentre el error exacto en el resultado calculado de A comparando con el valor obtenido integrando la función de donde provienen los datos dados:
f(x) = xex + 1
Tema 1. (35 puntos) Dados los datos
(x, f(x)): (1,3), (2,5), (3,4), (4,1)
que pertenecen a la ecuación:
ax3 + bx2 + cx + d = f(x)
a. Sustituya cada dato en la ecuación y resuelva el sistema con el método de eliminación de Gauss
b. Suponga que el valor de x del primer punto se modifica a : (1.1, 3). Resuelva nuevamente el sistema con el método de eliminación de Gauss.
c. Contruya un vector con el valor absoluto de las diferencias entre los valores de X del literales a, b y otro vector con la diferencia entre los coeficientes a, b, c, d obtenidos los literales a y b respectivamente.
Calcule la norma de ambos vectores y comente acerca del sistema y de la eficiencia de usar este método para obtener el polinomio de interpolación comparado con otros métodos.
Tema 1. (30 puntos) Suponga que el precio de un producto f(x) depende del tiempo x en el que se lo ofrece al mercado con la siguiente relacion:
f(x) = 25x e^{-0.1x} 0\leq x \leq 12en donde x es tiempo en meses.
Se desea determinar el dia en el que el precio sube a 80.
a. Evalúe f con x en meses hasta que localice una raíz real (cambio de signo) y trace la forma aproximada de f(x)
b. Use el Método de Newton-Raphson para calcular la respuesta (mes) con precisión 10-4. Exprese esta respuesta en días (1mes = 30 días)
c. Encuentre el día en el cual el precio será máximo. Use el método de Newton con precisión 10-4
Tema 3. (35 puntos) Una empresa debe construir un arco con forma semielíptica como se indica en la figura.
Modelo Elíptico:
Longitud:
2 \int_0^2 \sqrt{1+(y')^2} \delta xPara asignar recursos se debe calcular su longitud con las dimensiones mostradas en el diagrama:
a. Encuentre la longitud del arco mediante una aproximación de la integral con el método de la Cuadratura de Gauss con n=2 subintervalos
b. Encuentre el área bajo la curva y la cota del error, utilizando el método de Simpson 1/3, n=4
Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), literal a (15 puntos), literal b (15 puntos).
Referencia: The Impossible Bridge | National Geographic.
Tema 2. (35 puntos) La importación de combustible por año en un país de Centroamérica en el 2004 (año 0) fue de 15527 de miles de barriles de 42 galones. 
El crecimiento anual de las importaciones de combustible en % se indica en la tabla
| Año | % Incremento anual |
| 1 (1 ene. 2005 – 31 dic 2005) | -2.0 |
| 2 (1 ene. 2006 – 31 dic 2006) | 9.7 |
| 3 (1 ene. 2007 – 31 dic 2007) | 16.4 |
| 4 (1 ene. 2008 – 31 dic 2008) | 9.9 |
a. Encuentre el polinomio de interpolación para estimar el crecimiento anual al final del tercer mes del año 2. Use el polinomio de Lagrange o el polinomio de Newton. Muestre el desarrollo.
b. Aproxime la primera y segunda derivada al final de los años 2 y Use fórmulas de segundo orden.
c. Explique lo que significa el valor de la primera derivada y segunda derivada del crecimiento anual de las importaciones de combustible al final de los años 2 y 3.
datos = [[1, -2.0],
[2, 9.7],
[3, 16.4],
[4, 9.9]]
Tema 1. (30 puntos) Un distribuidor de gasolina llena el depósito al inicio de cada semana. La proporción del contenido que vende semanalmente es una variable x cuyo valor puede estar entre 0 y 1.
La probabilidad que ésta variable x esté en algún intervalo [a, b] ⊂ [0, 1] se obtiene integrando entre a y b el siguiente modelo
f(x) = 20 x3 (1+x).
Encuentre el intervalo [0, b] tal que la probabilidad sea igual a 0.5
Para calcular b use el método de Newton, muestre los valores intermedios.
Tema 4. Resolver el siguiente problema de valor en la frontera:
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -2 0\lt x \lt 1 0\lt y \lt 1 \begin {cases} u(0,y)=0\\ u(1,y)=\sinh (\pi) \sin (\pi y), & 0\leq y \leq 1\\ u(x,0) = u(x,1) = x(1-x), & 0\leq x \leq 1 \end{cases}con h = k = 1/3