Ejercicio: 1Eva_IIT2018_T3 Interpolar con sistema de ecuaciones
Los datos del ejercicio proporcionados son:
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x | 1.0 | 1.1 | 1.3 | 1.5 | 1.9 | 2.1 |
| y(x) | 1.84 | 1.90 | 2.10 | 2.28 | 2.91 | 3.28 |
Literal a
El tema es semejante al tema 1, cambiando el método de interpolación.
Se usan los puntos de las posiciones 0, 3 y 5.
en la fórmula:
punto x[0] = 1, y[0]= 1.84
1.84 = b_0 + b_1(1) + b_2 (1)^2 1.84 = b_0 + b_1 + b_2punto x[3] = 1.5, y[3]= 2.28
2.28 = b_0 + b_1(1.5) + b_2 (1.5)^2 2.28 = b_0 + 1.5 b_1 + 2.25 b_2punto x[5] = 2.1, y[5]= 3.28
3.28= b_0 + b_1(2.1) + b_2 (2.1)^2 3.28= b_0 + 2.1 b_1 + 4.41 b_2se obtiene el sistema de ecuaciones:
b_0 + b_1 + b_2 = 1.84 b_0 + 1.5 b_1 + 2.25 b_2 = 2.28 b_0 + 2.1 b_1 + 4.41 b_2 = 3.28Con lo que se plantea la forma Ax=B:
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1.5 & 2.25 \\1 & 2.1 & 4.41 \end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 1.84\\ 2.28 \\ 3.28 \end{bmatrix}Matriz Aumentada
AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1.84 \\ 1 & 1.5 & 2.25 & 2.28 \\1 & 2.1 & 4.41 &3.28 \end{bmatrix}Pivoteo parcial por filas
Para el primer pivote no se requieren cambio de filas.
para el segundo pivote de la diagonal se deben intercambiar la fila segunda con la tercera
Se aplica eliminación hacia adelante:
fila = 0, columna=0 pivote = AB[0,0]=1
factor entre las filas es 1/1=1.
\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1.84 \\ 1-1 & 2.1-1 & 4.41 -1 &3.28 -1.84 \\ 1-1 & 1.5 -1 & 2.25 -1 & 2.28 - 1.84 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1.84 \\ 0 & 1.1 & 3.41 &1.44 \\ 0 & 0.5 & 1.25 & 0.44 \end{bmatrix}fila =1, columna=1, pivote=AB[1,1] =1.1
factor entre filas es 0.5/1.1 = 1/2.2
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1.84 \\ 0 & 1.1 & 3.41 &1.44 \\ 0 & 0.5 -\frac{0.5}{1.1}(1.1)& 1.25 -\frac{0.5}{1.1}(3.41)& 0.44-\frac{0.5}{1.1}(1.44) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1.84 \\ 0 & 1.1 & 3.41 &1.44 \\ 0 & 0 & -0.3 & -0.214545 \end{bmatrix}aplicando sustitución hacia atrás
b2 = -0.21/(-0.3) = 0.71515 b1= \frac{1.44-3.41 b_2}{1.1} = \frac{1.44-3.41( 0.71515)}{1.1}=-0.9078 b3= \frac{1.84-b_1-b_2}{1} = \frac{1.84-(-0.9078)-(0.71515)}{1} =2.0327con lo que el polinomio buscado es:
p_2(x) = 2.0327 -0.9078 x + 0.71515 x^2y se obtiene el resultado de la interpolación.
Observación: En la gráfica se muestra que el polinomio pasa por los puntos seleccionados de la tabla. En los otros puntos hay un error que se puede calcular como la resta del punto y su valor con p(x). Queda como tarea.
Literal b
Se requiere calcular una norma de suma de filas. es suficiente para demostrar el conocimiento del concepto el usar A.
Se adjunta el cálculo del número de condición y la solución al sistema de ecuaciones:
suma de columnas: [3. 4.75 7.51] norma A: 7.51 numero de condición: 97.03737354737129 solución: [ 2.03272727 -0.90787879 0.71515152]
El comentario importante corresponde al número de condición, que es un número muy alto para usar un método iterativo, por lo que la solución debe ser un método directo.
Se puede estimar será un número mucho mayor que 1, pues la matriz no es diagonal dominante.
Instrucciones en Python
# 1ra Evaluación II Término 2018 # Tema 3. Interpolar con sistema de ecuaciones import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # -------------------------- # forma matricial para interpolar A = np.array([[1, 1. , 1. ], [1, 1.5, 2.25], [1, 2.1, 4.41]]) B = np.array([1.84, 2.28, 3.28]) # literal b sumacolumnas = np.sum(A, axis =1) norma = np.max(sumacolumnas) print('suma de columnas: ', sumacolumnas) print('norma A: ', norma) numerocondicion = np.linalg.cond(A) print('numero de condicion: ', numerocondicion) solucion = np.linalg.solve(A,B) print('solucion: ') print(solucion)