Ejercicio: 1Eva_IIT2019_T1 Ecuación Recursiva
la ecuación recursiva es:
x_n = g(x_{n-1}) = \sqrt{3 + x_{n-1}}
literal a y b
g(x) es creciente en todo el intervalo, con valor minimo en g(1) = 2, y máximo en g(3) =2.449. Por observación de la gráfica, la pendiente g(x) es menor que la recta identidad en todo el intervalo
Verifique la cota de g'(x)
g(x) = \sqrt{3 + x} =(3+x)^{1/2} g'(x) =\frac{1}{2}(3+x)^{-1/2} g'(x) =\frac{1}{2\sqrt{3+x}}Tarea: verificar que g'(x) es menor que 1 en todo el intervalo.
Literal c
Usando el algoritmo del punto fijo, iniciando con el punto x0=2
y tolerancia de 10-4, se tiene que:
Iteración 1: x0=2
g(x_0) = \sqrt{3 + 2} = 2.2361error = |2.2361 – 2| = 0.2361
Iteración 2: x1 = 2.2361
g(x_1) = \sqrt{3 + 2.2361} = 2.2882error = |2.2882 – 2.2361| = 0.0522
Iteración 3: x2 = 2.2882
g(x_2) = \sqrt{3 + 2.2882} = 2.2996error = |2.2996 – 2.28821| = 0.0114
Iteración 4: x3 = 2.2996
g(x_3) = \sqrt{3 + 2.2996} = 2.3021error = |2.3021- 2.2996| = 0.0025
Iteración 5: x4 = 2.3021
g(x_4) = \sqrt{3 + 2.3021} = 2.3026error = |2.3021- 2.2996| = 5.3672e-04
con lo que determina que el error en la 5ta iteración es de 5.3672e-04 y el error se reduce en casi 1/4 entre iteraciones. El punto fijo converge a 2.3028
Se muestra como referencia la tabla resumen.
[[ x , g(x), tramo ] [1. 2. 1. ] [2. 2.2361 0.2361] [2.2361 2.2882 0.0522] [2.2882 2.2996 0.0114] [2.2996 2.3021 0.0025] [2.3021 2.3026 5.3672e-04] [2.3026 2.3027 1.1654e-04] [2.3027 2.3028 2.5305e-05] raiz: 2.3027686193257098
con el siguiente comportamiento de la funcion:
literal e
Realizando el mismo ejercicio para el método de la bisección, se requiere cambiar a la forma f(x)=0
x = \sqrt{3 + x} 0 = \sqrt{3 + x} -x f(x) = \sqrt{3 + x} -xtomando como intervalo el mismo que el inicio del problema [1,3], al realizar las operaciones se tiene que:
a = 1 ; f(a) = 1 b = 3 ; f(b) = -0.551 c = (a+b)/2 = (1+3)/2 = 2 f(c) = f(2) = (3 + 2)^(.5) +2 = 0.236 Siendo f(c) positivo, y tamaño de paso 2, se reduce a 1 a = 2 ; f(a) = 0.236 b = 3 ; f(b) = -0.551 c = (a+b)/2 = (2+3)/2 = 2.5 f(c) = f(2.5) = (3 + 2.5)^(.5) +2.5 = -0.155 Siendo fc(c) negativo y tamaño de paso 1, se reduce a .5 a = 2 b = 2.5 ...
Siguiendo las operaciones se obtiene la siguiente tabla:
[ i, a, c, b, f(a), f(c), f(b), paso] 1 1.000 2.000 3.000 1.000 0.236 -0.551 2.000 2 2.000 2.500 3.000 0.236 -0.155 -0.551 1.000 3 2.000 2.250 2.500 0.236 0.041 -0.155 0.500 4 2.250 2.375 2.500 0.041 -0.057 -0.155 0.250 5 2.250 2.312 2.375 0.041 -0.008 -0.057 0.125 6 2.250 2.281 2.312 0.041 0.017 -0.008 0.062 7 2.281 2.297 2.312 0.017 0.005 -0.008 0.031 8 2.297 2.305 2.312 0.005 -0.001 -0.008 0.016 9 2.297 2.301 2.305 0.005 0.002 -0.001 0.008 10 2.301 2.303 2.305 0.002 0.000 -0.001 0.004 11 2.303 2.304 2.305 0.000 -0.001 -0.001 0.002 12 2.303 2.303 2.304 0.000 -0.000 -0.001 0.001 13 2.303 2.303 2.303 0.000 -0.000 -0.000 0.000 14 2.303 2.303 2.303 0.000 -0.000 -0.000 0.000 15 2.303 2.303 2.303 0.000 -0.000 -0.000 0.000 16 2.303 2.303 2.303 0.000 0.000 -0.000 0.000 raiz: 2.302764892578125
Donde se observa que para la misma tolerancia de 10-4, se incrementan las iteraciones a 16. Mientra que con punto fijo eran solo 8.
Nota: En la evaluación solo se requeria calcular hasta la 5ta iteración. Lo presentado es para fines didácticos