2Eva_2022PAOI_T3 EDP parabólica barra enfriada en centro

2da Evaluación 2022-2023 PAO I. 30/Agosto/2022

Tema 3. (40 puntos) Use el método de diferencias progresivas para aproximar la solución de la siguiente ecuación diferencial parcial parabólica:

\frac{\partial U}{\partial t} - \frac{1}{9} \frac{\partial ^2 U}{\partial x^2} = 0 0 \leq x \leq 2, t>0

Con las condiciones iniciales de borde e iniciales:

U(0,t) = U(2,t) = 0, t>0 U(x,0) = \cos \Big( \frac{\pi}{2}(x-3)\Big) , 0 \leq x \leq 2

Aplique un método numérico para encontrar los valores de U(x,t) usando Δx = 1/3, Δt = 0.02 y muestre:

a. La grafica de malla
b. Ecuaciones de diferencias divididas  a usar
c. Encuentre las ecuaciones considerando las condiciones dadas en el problema.
d. Determine el valor de λ, agrupando las constantes durante el desarrollo, revise la convergencia del método.
e. Resuelva para tres pasos
f. Estime el error (solo plantear)
g. Usando el algoritmo, aproxime la solución para t=0.02 y t=0.1

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (2 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), aplicación de condiciones iniciales (5 puntos), literal e (10 puntos), literal f (5 puntos). literal g, usando algoritmo (5 puntos)

Referencia: 2Eva_IT2017_T3 EDP parabólica http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/2eva_it2017_t3-edp-parabolica/


2Eva_2021PAOII_T3 EDP – Línea de transmisión sin pérdidas

2da Evaluación 2021-2022 PAO II. 25/Enero/2022

Tema 3. (40 puntos) En una línea de transmisión eléctrica de longitud 200 m en forma de cable coaxial, que conduce una corriente alterna de alta frecuencia, para el ejercicio se considera la línea “sin pérdida” o sin resistencia equivalente.


El voltaje V en el cable se describe por medio de:

\frac{\partial ^2 V}{\partial x^2} =LC \frac{\partial ^2 V}{\partial t^2}
0 < x < 200
t>0

Donde:
L = 0.1 Faradios/m, es la inductancia por longitud unitaria y
C = 0.3 Henrios/m es la capacitancia por longitud unitaria

Suponga que el voltaje y la corriente también satisfacen:

V(0,t) = V(200,t) = 0
V(x,0) = 110 \sin \frac{\pi x}{200}
\frac{\partial V}{\partial t}(x,0) = 0

Aplique un método numérico para encontrar voltaje o corriente usando Δx = 10, Δt = 0.1 y muestre:

a. la grafica de malla
b. ecuaciones de diferencias divididas a usar
c. encuentre las ecuaciones considerando las condiciones dadas en el problema.
d. determine el valor de λ, agrupando las constantes durante el desarrollo, revise la convergencia del método.
e. Resuelva para tres pasos
f. Estime el error (solo plantear)
g. Aproxime la solución para t=0.2 y t=0.5

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (2 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), aplicación de condiciones iniciales (5 puntos), literal e (10 puntos), literal f (5 puntos). literal g, usando algoritmo (5 puntos)

Referencia: Burden 9Ed Ejercicios 12.3.8 p745

2Eva_2021PAOI_T3 EDP Elíptica con valores en la frontera f(x) g(y)

2da Evaluación 2021-2022 PAO I. 31/Agosto/2021

Tema 3 (40 puntos) Considere la siguiente ecuación diferencial parcial con valores en la frontera (PVF):

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 0 \lt x \lt \frac{1}{2}, 0 \lt y\lt \frac{1}{2} u(x,0)=0, 0 \leq x \leq \frac{1}{2} u(0,y)=0 , 0\leq y \leq \frac{1}{2} u\Big(x,\frac{1}{2} \Big) = 200 x , 0 \leq x \leq \frac{1}{2} u\Big(\frac{1}{2} ,y \Big) = 200 y , 0 \leq y \leq \frac{1}{2}

Use el método de diferencias finitas para aproximar la solución del PVF anterior tomando como tamaño de paso

h=k=\frac{1}{6}

Recuerde: presentar la malla, etiquetando cada eje con valores referenciales de los puntos seleccionados, presentar el planteamiento completo del ejercicio, usar expresiones completas en el desarrollo de cada uno de los pasos.

Rúbrica: Aproximación de las derivadas parciales (5 puntos), construcción de la malla (10), construcción del sistema lineal (20), resolución del sistema (5 puntos).

3Eva_2020PAOII_T3 Deflexiones de una placa

3ra Evaluación 2020-2021 PAO II. 9/Febrero/2021

Tema 3. (40 puntos) Una placa cuadrada, apoyada simplemente en sus extremos está sujeta a un carga por unidad de área q.


La deflexión en la dimensión z de determina resolviendo la EDP elíptica siguiente:

\frac{\partial^4 z}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4 z}{\partial x^2 \partial y^2} +\frac{\partial^4 z}{\partial y^4} =\frac{q}{D}

sujeta a condiciones de frontera en los extremos, donde la deflexión y la pendiente normal a la frontera son cero.

D = \frac{E \Delta x^3}{12(1-\sigma ^2)}

El parámetro D es la rigidez de flexión, donde E=módulo de elasticidad, Δz=espesor de la placa, σ=razón de Poisson.

Para simplificar, se define la variable u como sigue:


u = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}

Permitiendo volver a expresar la ecuación primera como:

\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{q}{D}

Con lo que el problema se reduce a resolver de manera sucesiva las dos ecuaciones de Poisson.


Primero la ecuación respecto a u sujeta a la condición de frontera u = 0 en los extremos, después los resultados se emplean junto con la ecuación respecto a z sujeta a la condición de que z = 0 en los extremos.
Considere una placa de 2 metros de longitud en sus extremos, q= 33.6 k N/m2, σ =0.3, Δz = 0.01 m, E = 2×1011 Pa.

a) Plantee y desarrolle el ejercicio en papel para u(x,y) para al menos 3 puntos en la malla.
Utilice Δx = Δy = 0.5 para las iteraciones.

b) Desarrolle un algoritmo para determinar las deflexiones de una placa cuadrada sujeta a una carga constante por unidad de área resolviendo de manera sucesiva las dos ecuaciones.

Rúbrica: gráfica de malla (5 puntos), desarrollo de expresiones, agrupar constantes, y simplificación (10 puntos), iteraciones para 3 puntos (10 puntos), Revisión de errores (5 puntos). literal b (10 puntos)

Referencia: Deflexiones de una placa. Chapra 32.2 p938, pdf962

3Eva_2020PAOI_T3 EDP Parabólica

3ra Evaluación 2020-2021 PAO I. 22/Septiembre/2020

Tema 3. (35 puntos) Desarrolle con el método implícito para aproximar la solución de la EDP Parabólica

\frac{du}{dt} - c^2 \frac{d^2 u}{dx^2} = g(x)
u(x,0) = f(x) u(0,t) = 0 u(1,t) = 0
f(x) = \begin{cases} 5x , & 0 \le x \le 0.5 \\ 5(1-x) , & 0.5 \lt x \le 1\end{cases} g(x) = 2 , 0 \le x \le 1

Considere para h=0.25, k=0.05, c=1

a. Grafique la malla
b. Escriba las ecuaciones para las derivadas
c. Plantee las ecuaciones
d. Resuelva para tres pasos
e. Estime el error (solo plantear)

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5puntos), literal c (10 puntos), literal d (10 puntos), literal e (5 puntos)

2Eva_IIT2019_T3 EDP elíptica, placa en (1,1)

2da Evaluación II Término 2019-2020. 28/Enero/2020. MATG1013

Tema 3. (30 Puntos) Para la ecuación diferencial parcial elíptica mostrada:

\frac{\delta ^2 u}{\delta x^2} + \frac{\delta ^2 u}{\delta y^2} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}

1 <  x < 2
1 <  y < 2

Y con las siguientes condicines de frontera:

u(x,1)= x \ln (x), u(x,2) = x \ln (4x^{2}),1 \lt x \lt 2 u(1,y)= y \ln(y), u(2,y) = 2y \ln (2y), 1 \lt y \lt 2

Considere los valores hx=hy=0.25

Realice la aproximación numérica para la solución.

Para resolver el sistema de ecuaciones utilice el método de Gauss-Seidel para dos iteraciones.

Rúbrica: Plantear la malla (5 puntos), calcular los bordes (3 puntos), plantear las segundas derivadas (7 puntos), plantear las ecuaciones  (10 puntos), aproximar la solución  (5 puntos)

3Eva_IT2019_T3 Difusión en sólidos

3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013

Tema 3. (30 Puntos).  En el año 1855, los experimentos de Adolf Fick tratan sobre la medición de concentraciones y sus flujos, también ahora aplicados a la difusión en sólidos que en ese tiempo no se consideraba posible.

La gráfica muestra los cambios en el tiempo de concentración Φ de un gas en un sólido (estado no-estacionario) para un sólido semi infinito (eje y).

La segunda ley de Fick predice la forma en que la difusión causa que la concentración cambie con el tiempo. Se trata de una ecuación diferencial parcial que en una dimensión se escribe:

\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}
Φ(0, t) = 5
Φ(L, t) = 0
Φ(x,0) = 0
D = 0.16
L =0.1

a. Plantee las ecuaciones, la malla, desarrolle y obtenga el modelo Φ(xi,tj)

b. Aproxime la solución con Δx = 0.02, Δt = Δx/100. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.

c. Estime el error de Φ(xi,tj)

Rúbrica: Construir la malla (5 puntos), plantear la ecuación en el nodo i,j (5 puntos), modelo de ecuación (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos).

Referencia: https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Fick;
Difusión 2ª Ley de Fick|7/22|UPV (2011) https://www.youtube.com/watch?v=HHBvZDNvTic

2Eva_IT2019_T3 EDP Elíptica Placa 6×5

2da Evaluación I Término 2019-2020. 27/Agosto/2019. MATG1013

Tema 3. (30 Puntos) Una placa rectangular de plata de 6×5 cm tiene calor que se genera uniformemente en todos los puntos, con una rapidez q = 1.5 cal/cm3 s.

Al representar con x la distancia a lo largo del borde de longitud 6 cm y con y la de 5 cm.

Suponga que la temperatura en los bordes se mantiene como se indica:

u(x,0) = x(6-x) u(x,5)=0 0≤x≤6
u(0,y) = y(5-y) u(6,y)=0 0≤y≤5

Donde el origen se encuentra en una esquina de la placa y los bordes se hayan a lo largo de los ejes positivos x, y.

La temperatura de estado estable u(x,y) satisface la ecuación de Poisson:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x,y)+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2 } (x,y) = -\frac{q}{K}

0≤x≤6
0≤y≤5

Donde K, la conductividad térmica es 1.04 cal/cm deg s.

a. Aproxime la temperatura u(x,y) en los nodos de la malla con hx =2, hy= 2.5

b. Exprese el término del error

Rúbrica: literal a expresiones (10 puntos), valor (10 puntos), literal b (5 puntos)


Referencia: Ejercicio 12.1.8, Burden 9Ed, p724.

2Eva_IT2010_T3 EDP elíptica, Placa no rectangular

2da Evaluación I Término 2010-2011. 31/Agosto/2010. ICM00158

Tema 3. La placa plana mostrada en la figura está construida con cierto metal, y se ha determinado que la temperatura en los bordes de la placa es la que se indica en la figura.

Ademas de tiene que el término no homogéneo asociado a la ecuación elíptica respectiva es f(x,y)=20

\frac{\delta^2 u}{\delta x^2} + \frac{\delta^2 u}{\delta y^2} = f

El problema consiste en determinar la temperatura en los puntos del interior de la placa en la malla que se muestra en la figura.

a. Determinar el algoritmo en diferencias finitas que resuelve el problema

b. Plantear el sistema de ecuaciones lineas que resuelve el problema

c. Utilice el método de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones generado

2Eva_IIT2018_T3 EDP

2da Evaluación II Término 2018-2019. 29/Enero/2019. MATG1013

Tema 3. (40 puntos) Resuelva la siguiente ecuación diferencial parcial (EDP) usando un método de diferencias finitas. Considere b = 0

\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + b\frac{\partial u}{\partial x} 0<x<1, t>0

condiciones de frontera U(0,t)=0, U(1,t)=1

condiciones de inicio U(x,0)=0, 0≤x≤1

a) Aproxime la solución con h=0.25, realice dos pasos en t

b) estime el error.

Rúbrica: Plantea la malla (5 puntos), Conoce las fórmulas de las derivadas (5 puntos), Plantea la ecuación en los nodos de la malla (5 puntos), plantea las condiciones iniciales y condiciones de borde (5 puntos), Establece el valor de lamda y calcula el tamaño del paso k, (5 puntos) Realiza dos pasos (5 puntos), Conoce las fórmulas del error (5 puntos), calcula el error (5 puntos).